Pernyataan Beragam Yang Ekuivalen

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “pernyataan majemuk” dan jenis-jenisnya, pada artikel ini kita akan membahas bahan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen yang merupakan bab dari submateri pada “logika matematika“. Ekuivalen suatu pernyataan berarti kita mencari bentuk lain dimana nilai kebenarannya setara atau sama dengan pernyataan semula. Biasanya ada dua pernyataan beragam yang kerap ditanyakan bentuk ekuvalensinya yakni implikasi dan biimplikasi. Untuk memudahkan mempelajari bahan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen ini, kita harus menguasai bahan “pernyataan majemuk”, “nilai kebenaran dan ingkaran pernyataan“, dan “nilai kebenearan pernyataan majemuk” serta bahan “konvers, invers, dan kontraposisi“. Untuk memilih nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, kita juga harus mengetahui cara membuat tabel kebenarannya. Berikut eksklusif saja kita bahas bahan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen yang akan kita mulai dari pengertian dan simbolnya, kemudian contoh-contoh soal yang berkaitan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen.

Pengertian Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
       Dua pernyataan beragam dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika (berekivalensi logis) apabila terdapat nilai kebenaran yang sama. Jika pernyataan beragam X dan Y ekuivalen, ditulis $ X \equiv Y $, maka nilai kebenaran pernyataan beragam X dan Y sama.

$ \clubsuit \, $ Pernyataan beragam yang ekuivalen :
*). Bentuk implikasi $ p \Rightarrow q $ ekuivalen dengan bentuk :
    (i). disjungsi : $ \sim p \vee q $
    (ii). kontraposisi : $ \sim q \Rightarrow \sim p $
    Dapat kita tulis :
    $ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p $.
*). Bentuk biimplikasi $ p \Leftrightarrow q $ ekuvalen dengan $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $.
    ditulis : $ p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $
          atau
    ditulis : $ p \Leftrightarrow q \equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $

Berikut tabel kebenaran bentuk ekuivalensi dari pernyataan beragam di atas :
*). Bentuk : $ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q $
Tabel kebenarannya :

Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Rightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ \sim p \vee q $.

Baca Juga:   Tabel Kebenaran Implikasi Dan Ingkaran Implikasi

*). Bentuk : $ p \Rightarrow q \equiv \sim q \Rightarrow \sim p $
Tabel kebenarannya :
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline p & q & \sim p & \sim q & p \Rightarrow q & \sim q \Rightarrow \sim p \\ \hline B & B & S & S & B & B \\ \hline B & S & S & B & S & S \\ \hline S & B & B & S & B & B \\ \hline S & S & B & B & B & B \\ \hline \end{array} $
Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Rightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ \sim q \Rightarrow \sim p $.

*). Bentuk : $ p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $
Tabel kebenarannya :

Nampak bahwa nilai kebenaran $ p \Leftrightarrow q $ sama dengan nilai kebenaran $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $.

*). Selain bentuk pernyataan beragam yang ekuivalen di atas, ada bentuk ekuivalen yang lain yakni :
-). Hukum Komutatif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ p \vee q \equiv q \vee p $
       $ p \wedge q \equiv q \wedge p $
-). Hukum Asosiatif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ (p \vee q)\vee r \equiv p \vee (q \vee r) $
       $ (p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r ) $
-). Hukum Distirbutif pada disjungsi dan konjungsi :
       $ (p \vee q) \wedge r \equiv (p \wedge r) \vee (q \wedge r) $
       $ (p \wedge q) \vee r \equiv (p \vee r) \wedge (q \vee r) $
       $ p \vee ( q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r) $
       $ p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r) $

Catatan :
*). Jika kita diminta untuk mengatakan apakah dua pernyataan beragam ekuivalen atau tak, cukup menggunkan tabel kebenaran,
Jika kedua pernyataan beragam terdapat nilai kebenaran yang sama, maka ekuivalen.
Jika kedua pernyataan beragam terdapat nilai kebenaran yang tak sama, maka tak ekuivalen.

Baca Juga:   Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

*). Trik gampang mengingat ekuivalensi implikasi dan disjungsi :
“Berikan negasi pada pernyataan sebelah kiri”.
Misalkan :
$ p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q $
$ \sim p \Rightarrow q \equiv \sim (\sim p) \vee q \equiv p \vee q $
$ p \vee q \equiv \sim p \Rightarrow q $
$ \sim p \vee q \equiv \sim (\sim p) \Rightarrow q \equiv p \Rightarrow q $

*). Untuk memudahkan dalam memilih kesetaraan atau ekuivalensi pernyataan majemuk, kita ubah dahulu menjadi notasi-notasi dengan abjad kecil.

Contoh soal Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen :

1). Pernyataan beragam :
Jika hari ini hujan, maka jalan basah
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \Rightarrow q $ : Jika $\underbrace{\text{hari ini hujan}}_{p}$, maka $\underbrace{\text{jalan basah}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili hari ini hujan
$ q $ mewakili jalan basah.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \Rightarrow q $ ekuivalen dengan $ \sim p \vee q $ dan $ \sim q \Rightarrow \sim p $ . Sesampai kemudian dalam kalimat :
$ \sim p \vee q $ : “hari ini tak hujan atau jalan basah
$ \sim q \Rightarrow \sim p $ : “Jika jalan tak basah, maka hari ini tak hujan“.
Jadi, pernyataan “Jika hari ini hujan, maka jalan basah” setara atau ekuivalen dengan pernyataan “hari ini tak hujan atau jalan basah” atau setara dengan “Jika jalan tak basah, maka hari ini tak hujan“.

2). Pernyataan beragam :
Iwan lulus UN apabila dan hanya apabila Iwan Rajin belajar
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \Leftrightarrow q $ : $\underbrace{\text{Iwan lulus UN}}_{p}$ apabila dan hanya apabila $\underbrace{\text{Iwan Rajin belajar}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili Iwan lulus UN
$ q $ mewakili Iwan Rajin belajar.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \Leftrightarrow q $ ekuivalen dengan $ (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $ atau $ (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $ . Sesampai kemudian dalam kalimat :
$(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p) $ : “Jika Iwan lulus UN maka ia rajin berguru dan apabila Iwan rajin berguru maka ia lulus UN
$ (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p) $ : “Iwan tak lulus UN atau rajin berguru dan Iwan tak rajin berguru atau lulus UN“.
Jadi, pernyataan “Iwan lulus UN apabila dan hanya apabila Iwan Rajin belajar” setara atau ekuivalen dengan pernyataan “Jika Iwan lulus UN maka ia rajin berguru dan apabila Iwan rajin berguru maka ia lulus UN” atau setara dengan “Iwan tak lulus UN atau rajin berguru dan Iwan tak rajin berguru atau lulus UN“.

Baca Juga:   Mengubah Kalimat Terbuka Menjadi Pernyataan Berkuantor

3). Pernyataan beragam :
Wati gadis cerdas atau ia menjadi guru
ekuivalen (setara) dengan pernyataan?
Penyelesaian :
*). Kita ubah menjadi simbol-simbol :
$ p \vee q $ : $\underbrace{\text{Wati gadis cerdas}}_{p}$, atau $\underbrace{\text{ia menjadi guru}}_{q} $
Artinya :
$ p $ mewakili Wati gadis cerdas
$ q $ mewakili ia menjadi guru.
*). Berdasarkan ekuivalensi, pernyataan $ p \vee q $ ekuivalen dengan $ \sim p \Rightarrow q $ dan $ \sim q \Rightarrow p $ . Sesampai kemudian dalam kalimat :
$ \sim p \Rightarrow q $ : “Jika Wati bukan gadis cerdas, maka ia menjadi guru
$ \sim q \Rightarrow p $ : “Jika Wati tak menjadi guru, maka ia gadis cerdas“.
Jadi, pernyataan “Wati gadis cerdas atau ia menjadi guru” setara atau ekuivalen dengan pernyataan “Jika Wati bukan gadis cerdas, maka ia menjadi guru” atau setara dengan “Jika Wati tak menjadi guru, maka ia gadis cerdas“.

       Demikian pembahasan bahan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan logika matematika yakni “negasi dari pernyataan majemuk“.