Pernyataan Berkuantor Dan Ingkarannya

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya. Dalam “logika matematika” pembahasan sebelumnya, kita telah memahami perihal apa itu “pernyataan dan kalimat terbuka” dan “Nilai kebenaran dan ingkaran pernyataan” yang tentu berkaitan pribadi dengan bahan Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya pada artikel ini. Dalam penulisan pernyataan, terkadang kita menjumpai kata-kata “semua”, “setiap”, “seluruh”, “ada”, “sedikit”, “sebagian”, dan “terdapat”, semua kata-kata ini bertujuan untuk menyatakan ukuran kuantitas (jumlah). Kata-kata yang mengatakan ukuran kuantitas inilah yang disebut sebagai kuantor/quantifier. Kuantor dibedakan menjadi kuantor universal dan kuantor eksistensial. Setelah mengenal kuantor, kita akan membahas ingkaran pernyataan berkuantor yang tentunya juga tak kalah menarik untuk kita pelajari. Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya sangat penting sebagai pendukung submateri kebijaksanaan matematika berikutnya.

Pernyataan Berkuator
       Pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mempunyai kandungan ukuran kuantitas. Ada dua macam kuantor, ialah kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal dinotasikan $ \forall $ dan kuantor eksistensial dinotasikan $ \exists $ .

Kuantor Universal ($\forall$)
       Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan “semua, setiap, seluruh”. Kuantor universal dilambangkan dengan $ \forall $ (dibaca untuk semua atau untuk setiap atau untuk seluruh).

$ \clubsuit \, $ misalkan terdapat pernyataan $ p $ :
$ \forall p $ dibaca semua $ p $ atau setiap $ p $ atau seluruh $ p $

$ \spadesuit \, $ misalkan terdapat kalimat terbuka $ p(x) $ :
$ \forall x , p(x) $ dibaca “untuk semua $ x $ berlaku sifat $ p(x) $
$ (\forall x \in S) , p(x) $ dibaca “untuk semua $ x $ anggota $ S $ berlaku sifat $ p(x) $

$ \heartsuit \, $ Pernyataan $ (\forall x \in S) , p(x) $ sanggup bernilai benar atau salah. Hal ini tergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka $ p(x) $ .

Baca Juga:   Pernyataan Beragam Yang Ekuivalen

Contoh Soal Kuantor Universal :

1). Berikut merupakan contoh-contoh kuator universal :
a). $ \forall x \in R , x^2 \geq 0 $
Dibaca : “untuk setiap $ x $ anggota bilangan Real berlaku $ x^2 \geq 0 $

b). Semua ikan bernafas dengan insang.
disimbolkan : $ \forall p $ dengan
$ \forall $ : semua
$ p $ : ikan bernafas dengan insang.

2). Nyatakan kalimat terbuka berikut dengan memakai kuantor universal!
$ p(x) : x^2 – 3x + 1 = 5 $, dengan semesta pembicaraan himpunan bilangan lingkaran B.
Penyelesaian :
-). Bentuk kuantor universalnya ialah :
$ (\forall x \in B) , x^2 – 3x + 1 = 5 $.
-). Dibaca :
“untuk setiap x anggota bilangan bulat, berlaku $ x^2 – 3x + 1 = 5 $”
atau sanggup juga kita baca :
“untuk semua bilangan lingkaran $ x $ , berlaku $ x^2 – 3x + 1 = 5 $”

Kuantor Eksistensial ($\exists$)
       Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan “ada, sedikit, sebagian, terdapat”. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan $ \exists $ (dibaca ada, sedikit, terdapat, sebagian).

$ \clubsuit \, $ misalkan terdapat pernyataan $ p $ :
$ \exists p $ dibaca ada $ p $ atau terdapat $ p $ atau sedikit $ p $

$ \spadesuit \, $ misalkan terdapat kalimat terbuka $ p(x) $ :
$ \exists x , p(x) $ dibaca “ada $ x $ sedemikian sesampai lalu berlaku sifat $ p(x) $
$ (\exists x \in S) , p(x) $ dibaca “terdapat $ x $ anggota $ S $ sedemikian sesampai lalu berlaku sifat $ p(x) $

$ \heartsuit \, $ Pernyataan $ (\exists x \in S) , p(x) $ sanggup bernilai benar atau salah. Hal ini tergantung dari himpunan semesta yang ditinjau dan kalimat terbuka $ p(x) $ .

Contoh Soal Kuantor Universal :

3). Berikut merupakan referensi penggunaan kuantor eksistensial :
a). $ \exists x \in R , x^2 + 2x – 10 \leq 0 $
-). Dibaca : “ada $ x $ anggota bilangan real sedemikian sesampai lalu $ x^2 + 2x – 10 \leq 0 $.
atau sanggup juga dibaca :
“ada $ x $ anggota bilangan real dimana berlaku $ x^2 + 2x – 10 \leq 0 $.

b). Ada mamalia yang memakan daging.
-). Simbolnya : $ \exists p $
dengan
$ \exists $ : “ada”
$ p $ : “mamalia yang memakan daging”.

Baca Juga:   Konvers, Invers, Dan Kontraposisi Logika Matematika

4). Diketahui kalimat terbuka $ x^2 = 9 $. Tentukan pernyataan berkuantor eksistensial serta nilai kebenarannya, apabila himpunan semestanya merupakan semua bilanagn real R.
Penyelesaian :
-). Kuantor eksistensialnya : $ \exists x \in R , x^2 = 9 $ .
-). Dibaca : “terdapat $ x $ anggota bilangan real dimana berlaku $ x^2 = 9 $.
-). Nilai kebenaran dari pernyataan $ \exists x \in R , x^2 = 9 $ merupakan Benar lantaran memang terdapat nilai $ x $ real yang memenuhi $ x^2 = 9 $ ialah $ x = -3 $ atau $ x = 3 $.

Ingkaran Pernyataan Berkuantor
       Ingkaran dari pernyataan kuantor universal merupakan kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial merupakan kuantor universal. Dapat kita tulis $ \sim \forall = \exists $ dan $ \sim \exists = \forall $ .

$ \spadesuit \, $ Bentuk ingkaran dari pernyataan berkuantor :
a). $ \sim (\forall x , p(x) ) \equiv \sim \forall x , \sim p(x) \equiv \exists x , \sim p(x) $
b). $ \sim (\exists x , p(x) ) \equiv \sim \exists x , \sim p(x) \equiv \forall x , \sim p(x) $

Catatan :
-). Bentuk $ \sim (\forall x , p(x) ) \equiv \exists x , \sim p(x) $
-). yang dibaca sanggup bab depan ialah $ \sim (\forall x , p(x) ) $ atau bab belakanya ialah $ \exists x , \sim p(x) $ .

Contoh Soal ingkaran pernyataan berkuantor :

5). Berikut referensi ingakran berkuantor :
a). Pernyataan : semua sapi bernafas dengan paru-paru.
-). Simbolnya : $ \forall p $
-). Ingakrannya : $ \sim (\forall p ) \equiv \exists (\sim p) $
-). ingkarannya dibaca :
“tak semua sapi bernafas dengan paru-paru”. atau
“bukan semua sapi bernafas dengan paru-paru”. atau
“ada sapi bernafas tak dengan paru-paru”. atau
“terdapat sapi bernafas tak dengan paru-paru”.

b). Pernyataan : Beberapa siswa Sekolah Menengan Atas rajin mencar ilmu
-). Simbolnya : $ \exists p $
-). Ingakrannya : $ \sim (\exists p ) \equiv \forall (\sim p) $
-). ingkarannya dibaca :
“tak ada siswa Sekolah Menengan Atas rajin belajar”. atau
“semua siswa Sekolah Menengan Atas tak rajin belajar”. atau
“setiap siswa Sekolah Menengan Atas tak rajin belajar”. atau
“seluruh siswa Sekolah Menengan Atas tak rajin belajar”.

Baca Juga:   Hubungan Implikasi, Konvers, Invers, Dan Kontraposisi

       Demikian pembahasan bahan Pernyataan Berkuantor dan Ingkarannya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan logika matematika ialah “pernyataan majemuk“.