Persamaan Asimtot Hiperbola

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Persamaan Asimtot Hiperbola yang sanggup kita singkat menjadi PAH (Persamaan Asimtot Hiperbola). Dari semua jenis “irisan kerucut” menyerupai “lingkaran“, “parabola“, “elips“, dan “hiperbola”, persamaan asimtot hanya terdapat pada irisan kerucut berbentuk hiperbola. Asimtot merupakan sebuah garis lurus yang akan didekati (tak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga kemudian. Ada tiga jenis asimtot yakni asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Sebelumnya juga telah kita bahas persamaan asimtot yakni “Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar“, “Asimtot Miring Fungsi Aljabar“, dan “Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri“. Persamaan Asimtot Hiperbola merupakan salah satu dari jenis asimtot miring. Asimtot hiperbola selalu melalui titik sentra “persamaan hiperbola“. Sebuah persamaan hiperbola biasanya terdapat dua Persamaan Asimtot Hiperbola dimana keduanya selalu berpotongan pada titik sentra hiperbola. Untuk ilustrasi asimtot hiperbola, perhatikan gambar berikut ini, asimtot ditunjukkan oleh garis berwarna biru.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu bahan “persamaan hiperbola dan unsur-unsurnya” secara mendalam dan bahan “sifat-sifat eksponen” khususnya bentuk akar menyerupai $ A^2 = B \rightarrow A = \pm \sqrt{B} $. Langsung saja kita masuk ke bentuk Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) berikut ini.

Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH)
       Bentuk atau rumus Persamaan Asimtot Hiperbola bergantung dari persamaan hiperbolanya. Berikut masing-masing rumus Persamaan Asimtot Hiperbolanya.

1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{b}{a} x $
2). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
3). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{a}{b} x $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $

$ \spadesuit \, $ Trik mengingat dan mengerjakan PAH
(i). Nilai $ a^2 $ selalu ada di bab konkret ($x$ atau $y$), dan sisanya merupakan nilai $ b^2 $ dengan nilai $ a $ dan $ b $ selalu positif.
(ii). Bentuk umum asimtotnya $ y = \pm mx $ atau $ y-q = \pm (x-p) $ dengan
       (a). Jika $ x $ positif, maka $ m = \frac{b}{a} $
       (b). Jika $ y $ positif, maka $ m = \frac{a}{b} $
(iii). Jika tak ingin menggunalan rumus di atas, maka ada cara lain yakni mengmengganti angka 1 dengan 0 pada persamaan hiperbolanya, kemudian selesaikan sesampai kemudian kita peroleh juga persamaan asimtot hiperbolanya.
(iv). Titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola merupakan titik sentra hiperbola yakni titik $ (p,q) $.

Contoh soal Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) :

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Parabola

1). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 $
(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{b}{a} x \\ y & = \pm \frac{4}{3} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan merupakan $ y = \frac{4}{3}x $ dan $ y = -\frac{4}{3}x $.

Cara II : mengmengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} & = 0 \\ \frac{y^2}{16} & = \frac{x^2}{9} \\ y^2 & = \frac{16}{9}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}x^2 } \\ y & = \pm \frac{4}{3}x^2 \end{align} $

(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{a}{b} x \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan merupakan $ y = \frac{2\sqrt{2}}{5}x $ dan $ y = -\frac{2\sqrt{2}}{5}x $.

Cara II : mengmengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 1 \\ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 0 \\ \frac{y^2}{8} & = \frac{x^2}{25} \\ y^2 & = \frac{8}{25}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{ \frac{8}{25}x^2 } \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5}x \end{align} $

2). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} – \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} – \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
$ b^2 = 7 \rightarrow b = \sqrt{7} $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan merupakan $ y+1 = \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $ dan $ y+1 = – \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $.

Cara II : mengmengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{25} – \frac{(y+1)^2}{7} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{25} – \frac{(y+1)^2}{7} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{7} & = \frac{(x-2)^2}{25} \\ (y+1)^2 & = \frac{7}{25} (x-2)^2 \\ y+1 & = \pm \sqrt{ \frac{7}{25} (x-2)^2 } \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $

(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 64 \rightarrow a = 8 $
$ b^2 = 100 \rightarrow b = 10 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y – 3 & = \pm \frac{8}{10} (x +2) \\ y – 3 & = \pm \frac{4}{5} (x +2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y – 15 & = \pm 4(x +2) \\ 5y – 15 & = 4(x +2) \vee 5y – 15 = – 4(x +2) \\ 5y – 15 & = 4x + 8 \vee 5y – 15 = – 4x – 8 \\ 5y -4x & = 23 \vee 5y + 4x = 7 \\ \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan merupakan $ 5y – 4x = 23 $ dan $ 5y + 4x = 7 $.

Baca Juga:   Kedudukan Garis Terhadap Parabola

Cara II : mengmengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 0 \\ \frac{(y-3)^2}{64} & = \frac{(x+2)^2}{100} \\ (y-3)^2 & = \frac{64}{100} (x+2)^2 \\ (y-3) & = \pm \sqrt{ \frac{64}{100} (x+2)^2 } \\ (y-3) & = \pm \frac{8}{10} (x+2) \\ (y-3) & = \pm \frac{4}{5} (x+2) \end{align} $

3). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{(y+3)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu X. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengmengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{(y+3)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} – \frac{(y+3)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+3)^2}{9} & = \frac{(x-1)^2}{4} \\ (y+3)^2 & = \frac{9}{4} (x-1)^2 \\ (y+3) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{4} (x-1)^2 } \\ y+3 & = \pm \frac{3}{2} (x-1) \, \, \, \, \, \text{kali 2)} \\ 2y+6 & = \pm 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 (x-1) \vee 2y+6 & = – 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 x- 3 \vee 2y+6 & = – 3x + 3 \\ 3x – 2y = 9 \vee 3x + 2y & = – 3 \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya merupakan $ 3x – 2y = 9 $ dan $ 3x + 2y = -3 $.
*). Menentukan titik potong sumbu X dengan substitusi $ y = 0 $ :
$ 3x – 2y = 9 \rightarrow 3x – 2.0 = 9 \rightarrow x = 3 $
$ 3x + 2y = -3 \rightarrow 3x + 2.0 = -3 \rightarrow x = -1 $
Sesampai kemudian titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu X merupakan $ A(3,0) $ dan $ B(-1,0) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = 3 – (-1) = 4 $.
Jadi, jarak kedua titik potong merupakan 4 satuan.

4). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu Y. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengmengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+n)^2}{9} & = \frac{(x-m)^2}{16} \\ (y+n)^2 & = \frac{9}{16}(x-m)^2 \\ (y+n) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{16}(x-m)^2 } \\ (y+n) & = \pm \frac{3}{4}(x-m) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y+4n & = \pm 3(x-m) \\ 4y+4n = 3(x-m) \vee 4y+4n & = – 3(x-m) \\ 4y+4n = 3x-3m \vee 4y+4n & = – 3x + 3m \\ 4y – 3x = -3m – 4n \vee 4y + 3x & = 3m – 4n \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya merupakan $ 4y – 3x = -3m – 4n $ dan $ 4y + 3x = 3m – 4n $.
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ 4y – 3x = -3m – 4n \rightarrow 4y – 3.0 = -3m – 4n \rightarrow 4y = -3m – 4n \rightarrow y = -\frac{3}{4}m – \frac{3}{4}n $
$ 4y + 3x = 3m – 4n \rightarrow 4y + 3.0 = 3m – 4n \rightarrow 4y = 3m – 4n \rightarrow y = \frac{3}{4}m – \frac{3}{4}n $
Sesampai kemudian titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu Y merupakan $ A(0,-\frac{3}{4}m – \frac{3}{4}n ) $ dan $ B(0, \frac{3}{4}m – \frac{3}{4}n) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = (\frac{3}{4}m – \frac{3}{4}n) – (-\frac{3}{4}m – \frac{3}{4}n) = \frac{6}{4}m = \frac{3}{2}m $.
Jadi, jarak kedua titik potong merupakan $ \frac{3}{2}m $ satuan.

Baca Juga:   Persamaan Elips Dan Unsur-Unsurnya

5). Tentukan titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ 3x^2 – 2y^2 – 12x – 4y + 4 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan dengan “cara mekomplekskan kuadrat sempurna“.
$ \begin{align} 3x^2 – 2y^2 – 12x – 4y + 4 & = 0 \\ 3x^2 – 12x – 2y^2 – 4y & = -4 \\ 3(x^2 -4x) – 2(y^2 + 2y) & = -4 \\ 3[(x-2)^2 – 2^2] – 2[(y + 1)^2 – 1^2] & = -4 \\ 3[(x-2)^2 – 4] – 2[(y + 1)^2 – 1 ] & = -4 \\ 3(x-2)^2 – 12 – 2(y + 1)^2 + 2 & = -4 \\ 3(x-2)^2 – 2(y + 1)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ \frac{3(x-2)^2 }{6} – \frac{2(y + 1)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x-2)^2 }{2} – \frac{(y + 1)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Titik sentra hiperbola : $ (p,q) = ( 2, – 1 ) $
*). Titik potong kedua persamaan asimtot merupakan titik sentra persamaan hiperbolanya yakni $ (2,-1) $.
Jadi, titik potong kedua asimtot merupakan $ (2,-1) $.

6). Jika titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ -2x^2 + 3y^2 – 4mx – 6ny = 2m^2 – 3n^2 + 6 $ merupakan $ (m-4, -n+2) $, maka tentukan nilai $ m^2 + n^2 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan :
$ \begin{align} -2x^2 + 3y^2 – 4mx – 6ny & = 2m^2 – 3n^2 + 6 \\ -2x^2 – 4mx – 2m^2 + 3y^2 – 6ny + 3n^2 & = 6 \\ -2(x^2 + 2mx +m^2) + 3(y^2 – 2ny + n^2 ) & = 6 \\ -2(x+m)^2 + 3(y-n)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ -\frac{2(x+m)^2}{6} + \frac{3(y-n)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ -\frac{(x+m)^2}{3} + \frac{(y-n)^2}{2} & = 1 \end{align} $
Titik pusatnya : $ (p,q) = (-m , n) $
*). Titik potong kedua asimtot merupakan titik sentra yakni $ (-m,n) $.
*). Pada soal juga diketahui bahwa titik potong kedua asimtot merupakan $ (m-4,-n+2) $, sesampai kemudian kedua titik potong tersebut sama yakni :
$ \begin{align} (-m , n) & = (m-4,-n+2) \\ -m & = m – 4 \rightarrow 2m = 4 \rightarrow m = 2 \\ n & = -n + 2 \rightarrow 2n = 2 \rightarrow n = 1 \end{align} $
Sesampai kemudian nilai $ m^2 + n^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $ .
Jadi, nilai $ m^2 + n^2 = 5 $.

       Demikian pembahasan bahan Persamaan Asimtot Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“.