Persamaan Eksponen

Posted on
         Pondok Soal.comPersamaan Eksponen merupakan persamaan yang melibatkan bentuk eksponen ibarat sifat-sifat eksponen dan bentuk akar yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Pada artikel kali ini, persamaan eksponen dibagi menjadi sedikit adalah persamaan eksponen mudah dan persamaan eksponen lanjut.

         Persamaan eksponen merupakan salah satu bahan wajib yang harus kita kuasai. Materi ini bergotong-royong sudah kita pelajari di tingkat SMP, dan kita lanjutkan lagi di tingkat SMA. Bedanya, untuk tingkat Sekolah Menengan Atas ada pengembangan lagi bentuk persamaannya adalah persamaan eksponen tingkat lanjut yang tentunya terdapat bentuk yang lebih rumit dan lebih kompleks lagi.

         Persamaan eksponen biasanya kerap keluar soal-soalnya untuk Ujian Nasional dan seleksi masuk perguruan tinggi tinggi. Jadi, penting bagi kita untuk menguasainya juga dengan baik dan benar, serta latihan soal-soalnya dengan lebih kerap lagi.

Persamaan Eksponen Sederhana

         Persamaan eksponen mudah maksudnya persamaan yang hanya menyamakan nilai basisnya dan eksklusif sanggup memilih penyelesaiannya, serta basisnya berbentuk bilangan (bukan fungsi) yang sanggup dengan gampang disamakan bentuknya. Berikut teorinya .

       Untuk $ a \in R \, $ ( $ R \, $ menyatakan bilangan real), $ a \neq 0 , \, $ dan $ a \neq 1 \, $ , maka persamaan eksponen :
             $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \, $ memiliki penyelesaian untuk $ f(x) = g(x) $ .

Hint : Samakan nilai basis ($a$) ruas kiri dan kanan terlebih dahulu, lalu coret basisnya sesampai lalu tersisa pangkatnya saja.

Contoh 1.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 4^{2x-1} = \sqrt{8^{3x+1}} \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Samakan basis kedua ruas, memakai sifat-sifat eksponen
$\begin{align} 4^{2x-1} & = \sqrt{8^{3x+1}} \\ (2^2)^{2x-1} & = 8^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = (2^3)^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = 2^\frac{9x+3}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{2}^{4x-2} & = \not{2}^\frac{9x+3}{2} \\ 4x-2 & = \frac{9x+3}{2} \\ 8x – 4 & = 9x + 3 \\ 8x – 9x & = 3 + 4 \\ -x & = 7 \\ x & = -7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -7 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

Contoh 2.

Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left( \frac{1}{9} \right)^{x+1} = \sqrt{27^{2x-3}} \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Samakan basis kedua ruas, memakai sifat-sifat eksponen
$\begin{align} \left( \frac{1}{9} \right)^{x+1} & = \sqrt{27^{2x-3}} \\ (3^{-2})^{x+1} & = 27^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = (3^3)^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = 3^\frac{6x-9}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{3}^{-2x-2} & = \not{3}^\frac{6x-9}{2} \\ -2x-2 & = \frac{6x-9}{2} \\ -4x – 4 & = 6x – 9 \\ 10x & = 5 \\ x & = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{1}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Persamaan Eksponen Lanjut

         Persamaan eksponen lanjut maksudnya persamaan eksponen yang bentuk basis dan pangkatnya bermacam-macam adalah sanggup berupa fungsi atau bentuk basis ruas kiri dan ruas kanan tak sanggup disamakan. Berikut sedikit bentuk persamaan eksponen lanjut dan solusinya .

(i). $ p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0 $
(ii). $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
(iii). $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya merupakan semua :
       a). $ f(x) = h(x) $
       b). $ g(x) = 1 $
       c). $ g(x) = -1 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
           sama-sama genap atau sama-sama ganjil
       d). $ g(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
           sama-sama positif atau sama-sama negatif
(iv). $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya merupakan semua :
       a). $ f(x) = g(x) $
       b). $ h(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ atau $ g(x) $
           tak bernilai nol.
Contoh 3.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 3^{2x-3} = 49^{x-\frac{3}{2}} \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Proses bentuk basisnya
$\begin{align} 3^{2x-3} & = 49^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = (7^2)^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = 7^{2x-3} \\ (\text{berdasarkan } & \, p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0) \\ p=3, \, q & = 7 , \, f(x) = 2x-3 \\ f(x) & = 0 \\ 2x-3 & = 0 \\ 2x & = 3 \\ x & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{3}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

Contoh 4.

Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 2^{3x-1} = 3^{x+1} \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
$\begin{align} 2^{3x-1} & = 3^{x+1} \\ p=2, \, f(x) & = 3x-1 , \, q = 3, \, g(x) = x+1 \\ f(x) . \log p & = g(x) . \log q \\ (3x-1) . \log 2 & = (x+1) . \log 3 \\ 3x \log 2 – \log 2 & = x\log 3 + \log 3 \\ 3x \log 2 – x \log 3 & = \log 3 + \log 2 \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ x(3 \log 2 – \log 3) & = \log (3.2) \\ x( \log 2^3 – \log 3) & = \log 6 \\ x( \log 8 – \log 3) & = \log 6 \\ x( \log \frac{8}{3} ) & = \log 6 \\ x & = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $

Contoh 5.

Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ (3x-4)^{-x+3} = (3x-4)^{5x-2} \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan bentuk : $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-4)^{-x+3} = (3x-4)^{5x-2} \, $
artinya : $ g(x) = 3x-4, \, f(x) = -x+3, \, h(x) = 5x-2 $
Solusinya merupakan semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). \, \, f(x) & = h(x) \\ -x+3 & = 5x-2 \rightarrow 6x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{6} \\ b). \, \, \, g(x) & = 1 \\ 3x-4 & = 1 \rightarrow 3x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{3} \\ c). \, \, \, g(x) & = -1 \\ 3x-4 & = -1 \rightarrow 3x = 3 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = -x+3 = -1 + 3 = 2 \, \text{(genap)} \\ x & = 1 \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.1 – 2 = 3 \, \text{(ganjil)} \\ \text{sebab } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { tak sama-sama genap atau ganjil} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ tak memenuhi persamaan tersebut.} \\ d). \, \, g(x) & = 0 \\ 3x-4 & = 0 \rightarrow 3x = 4 \rightarrow x = \frac{4}{3} \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = \frac{4}{3} \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow f(x) = -x+3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3} \, \text{(positif)} \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.\frac{4}{3} – 2 = \frac{14}{3} \, \text{(positif)} \\ \text{sebab } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { sama-sama positif} , \\ \text{maka } & x = \frac{4}{3} \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x =\frac{5}{6}, \, x = \frac{5}{3} , \, x = \frac{4}{3} . \heartsuit $

Contoh 6.

Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ (3x-1)^{x-1} = (2x+1)^{x-1} \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-1)^{x-1} = (2x+1)^{x-1} \, $
artinya : $ f(x) = 3x-1, \, g(x) = 2x+1 , \, h(x) = x-1 $
Solusinya merupakan semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2x+1 \rightarrow x = 2 \\ b). h(x) & = 0 \\ x-1 & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke basisnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = 3x-1 = 3.1-1=2 \, \text{(tak nol)} \\ x & = 1 \rightarrow g(x) = 2x+1 = 2.1 + 1 = 3 \, \text{(tak nol)} \\ \text{sebab } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, g(x) \, \text { tak ada yang nol} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x = 2, \, x = 1 . \heartsuit $
Baca Juga:   Grafik Fungsi Eksponen Dan Logaritma

         Bagaimana dengan bahan persamaan eksponen dan contohnya?, sesudah di pahamai secara seksama, taklah sulit. Selamat berguru dengan semangat teman-teman, niscaya dapat. !!!^_^!!!