Persamaan Elips Dan Unsur-Unsurnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah membahas artikel “persamaan parabola“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya. Kurva elips kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan berdiri ruang kerucut. Elips sanggup didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana jumlah jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut merupakan tetap. Titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) dan himpunan semua titik P membentuk kurva elips dan persamaannya kita sebut sebagai persamaan elips. Bagaimana cara menemukan persamaan elipsnya?, silahkan teman-teman baca pada artikel “cara menemukan persamaan elips“. Kurva elips terdapat dua bentuk tergantung dari sumbu mayornya (sumbu terpanjang) ialah arah X dan arah Y. Pada artikel ini kita lebih fokus pada Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya, untuk lebih menguasai materinya juga kita kompleksi dengan contoh-contoh soal dan tentu trik gampang dalam mengingat Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya.

Perhatikan ilustrasi kurva elips dan unsur-unsurnya berikut ini.

Unsur-unsur dari kurva elips di atas ialah :
*). Titik $ P(x,y) $ merupakan titik sembarang pada elips sesampai kemudian berlaku $ |F_1P| + |F_2P| = 2a $
*). Titik sentra elips : $ M(0,0) $
*). Titik fokus elips : $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $
*). Sumbu mayor dan sumbu minor :
-). Sumbu mayor (garis AB) merupakan sumbu yang melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $. Panjang sumbu mayor $ = 2a $.
-). Sumbu minor (garis CD) merupakan sumbu yang melalui titik sentra dan tegak lurus sumbu mayor. Panjang sumbu minor $ = 2b $.
*). Sumbu utama atau transvers axis merupakan sumbu simetri kurva elips yang melaui titik folus $ F_1 $ dan $ F_2 $, ditunjukkan oleh sumbu X.
*). Sumbu sekawan atau cojugate axis merupakan sumbu simetri kurva elips yang melaui titik sentra dan tegak lurus dengan sumbu utama, ditunjukkan oleh sumbu Y.
*). Titik puncak elips :
-). Titik $ A(-a.0) $ dan $ B(a,0) $ merupakan titik potong elips dengan sumbu mayor
-). Titik $ C(0,-b) $ dan $ D(0,b) $ merupakan titik potong elips dengan sumbu minor
*). Latus rectum merupakan garis melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $ yang tegak lurus dengan sumbu mayor. Pada gambar, garis latus rectumnya merupakan garis KL dan MN, dimana masing-masing memotong elips di titik K, L, M, dan N. Panjang latus rectum $ = |KL| = |MN| = \frac{2b^2}{a} $ dengan koordinat titik $ K\left( -c, \frac{b^2}{a} \right) $ , $ L\left( -c, \frac{-b^2}{a} \right) $ , $ M\left( c, \frac{b^2}{a} \right) $ , dan $ N\left( c, \frac{-b^2}{a} \right) $ .
*). Hubungan $ a, b$ , dan $ c $ merupakan berlaku pythagoras ialah $ a^2 = b^2 + c^2 $ pada segitiga $ DMF_2 $.
*). Eksentrisitas $(e)$ merupakan perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu mayornya, sesampai kemudian sanggup kita tulis rumusnya : $ e = \frac{c}{a} $.
*). Direktris merupakan sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu mayor dan berada diluar elips yang ditunjukkan oleh garis $ g $ dan gris $ h $. Persamaan direktris masing-masing : garis $ h $ merupakan $ x = -\frac{a^2}{c} $ dan garis $ h $ merupakan $ x = \frac{a^2}{c} $.
*). Adapun persamaan elips yang sesuai dengan ilustrasi di atas merupakan $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.

         Sesuai dengan sumbu mayor dan titik pusat, Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat pecahan ialah :
1). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik sentra $ M(0,0) $
2). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(0,0) $
3). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik sentra $ M(p,q) $
4). Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(p,q) $
       Pada penterangan di atas, persamaan elips jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.

Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(0,0) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
       Pada gambar 3 di atas, persamaan elipsnya merupakan
$ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik sentra : $ (0,0) $
-). Titik puncak : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ $B(0,a)$, $C(-b,0) $, dan $D(b,0) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $

Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik sentra $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
       Pada gambar 4 di atas, persamaan elipsnya merupakan
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik sentra : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q)$ $B(p+a,q)$, $C(p, q – b) $, dan $D(p, q + b) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Hiperbola

Persamaan elips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan elips
       Pada gambar 5 di atas, persamaan elipsnya merupakan
$ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik sentra : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q – c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q – a)$ $B(p, q + a)$, $C(p – b, q) $, dan $D(p + b, q) $ .
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $

       Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal ialah pertama : diketahui persamaan elipsnya dan kita diminta memilih unsur-unsur elipsnya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur elipsnya dan kita diminta memilih persamaan elipsnya.

$ \spadesuit \, $ Trik gampang memilih unsur-unsur pada elips yang diketahui persamaan elipsnya
       Pertanyaan simpel buat teman-teman, apakah teman-teman ingin menghafal semua rumus unsur-unsur elips di keempat jenis persamaannya? Kalau tanggapan admin TENTU TIDAK. Kita butuh triks khusus untuk gampang diingat sesampai kemudian kita sanggup mencari unsur-unsur elipsnya dengan mudah.

Trik (I) : nilai $ a^2 $ merupakan nilai terbesar yang ada dibagian bawah persamaan, sesampai kemudian sisanya merupakan nilai $ b^2 $.
Trik (II) : Letak nilai $ a^2 $ memilih sumbu mayornya. Jika $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elipsnya $ \frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika $ a $ ada di bawah sumbu Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elipsnya $ \frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
Trik (III) : Nilai $ c $ kita tentukan dari $ a^2 = b^2 + c^2 $.
Triks (IV) : Untuk memilih titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik sentra $ M(p,q) $ searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah pecahan $ x $ saja ialah kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah pecahan $ y $ saja ialah ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya ialah $ a $ atau $ b $ atau $ c $. Nilai $ c $ selalu menggeser ke titik fokus, nilai $ a $ menggeser ke klimaks di sumbu mayor, dan nilai $ b $ menggeser ke klimaks di sumbu minor.
Trik (V) : titik fokus selalu ada di sumbu mayor, klimaks A dan ada di sumbu mayor, klimaks C dan D ada di sumbu minor.

Contoh Soal Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips berikut ini :
a). $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
b). $ 9x^2 + 4y^2 = 36 $
Penyelesaian :
a). Persamaan elipsnya : $ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
$ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 25 = 16 + c^2 \rightarrow c^2 = 9 \rightarrow c = 3 $.
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 4 = 8 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.4^2}{5} = \frac{32}{5} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = – \frac{25}{3} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{25}{3} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = – \frac{25}{3} $ atau $ x = \frac{25}{3} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ c = 3 $:
$ F_1(0-3,0) = (-3,0) $
$ F_2(0+3,0) = (3,0) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ a = 5 $:
$ A(0-5,0) = (-5,0) $
$ B(0+5,0) = (5,0) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu minor), $ y $ nya berubah dengan $ b = 4 $:
$ C(0,0-4) = (0,-4) $
$ D(0,0+4) = (0,4) $

b). Persamaan elipsnya : $ 9x^2 + 4y^2 = 36 $
*). Mengubah persamaannya :
$ \begin{align} 9x^2 + 4y^2 & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ \frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 9 = 4 + c^2 \rightarrow c^2 = 5 \rightarrow c = \sqrt{5} $.
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 2 = 4 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.2^2}{3} = \frac{8}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} = – \frac{9}{\sqrt{5}} \, $ atau $ y = \frac{a^2}{c} =\frac{9}{\sqrt{5}} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = – \frac{9}{\sqrt{5}} $ atau $ x = \frac{9}{\sqrt{5}} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ c = \sqrt{5} $:
$ F_1(0,0-\sqrt{5} ) = (0,-\sqrt{5} ) $
$ F_2(0,0 + \sqrt{5} ) = (0,\sqrt{5} ) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0,0-3) = (0,-3) $
$ B(0,0+3) = (0,3) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu minor), $ x $ nya berubah dengan $ b = 2 $:
$ C(0 – 2 , 0) = (-2,0) $
$ D(0+2 , 0) = (2,0) $

Baca Juga:   Kedudukan Titik Terhadap Elips

2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips berikut ini :
a). $ \frac{(x+1)^2}{100} + \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
b). $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{169} = 1 $
Penyelesaian :
a). Persamaan elipsnya : $ \frac{(x+1)^2}{100} + \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
$ a^2 = 100 \rightarrow a = 10 $
$ b^2 = 64 \rightarrow b = 8 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 100 = 64 + c^2 \rightarrow c^2 = 36 \rightarrow c = 6 $.
$ x – p = x + 1 \rightarrow p = -1 $
$ y – q = y – 2 \rightarrow q = 2 $
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 10 = 20 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 8 = 16 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.8^2}{10} = \frac{64}{5} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} + p = – \frac{10^2}{6} + (-1) = – \frac{53}{3} \, $
atau $ x = \frac{a^2}{c} + p = \frac{10^2}{6} + (-1) = \frac{47}{3} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = – \frac{53}{3} $ atau $ x = \frac{47}{3} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (-1,2) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ c = 6 $:
$ F_1(-1-6,2) = (-7,2) $
$ F_2(-1+6,2) = (5,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu mayor), $ x $ nya berubah dengan $ a = 10 $:
$ A(-1-10,2) = (-11,2) $
$ B(-1+10,2) = (9,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu minor), $ y $ nya berubah dengan $ b = 8 $:
$ C(-1,2-8) = (-1,-6) $
$ D(-1,2+8) = (-1,10) $

b). Persamaan elipsnya : $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{169} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
$ a^2 = 169 \rightarrow a = 13 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
$ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 169 = 25 + c^2 \rightarrow c^2 = 144 \rightarrow c = 12 $.
$ x-p = x – 1 \rightarrow p = 1 $
$ y – q = y – 3 \rightarrow q = 3 $
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu Y, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu mayor $ = 2a = 2 . 13 = 26 $
-). Panjang sumbu minor $ = 2b = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.5^2}{13} = \frac{50}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{12}{13} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} + q = – \frac{13^2}{12} + 3 = -\frac{133}{12} \, $
atau $ y = \frac{a^2}{c} + q = \frac{13^2}{12} + 3 = \frac{205}{12} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = -\frac{133}{12} $ atau $ x = \frac{205}{12} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (1,3) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ c = 12 $:
$ F_1(1, 3 – 12) = (1,-9) $
$ F_2(1,3+12) = (1,15) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu mayor), $ y $ nya berubah dengan $ a = 13 $:
$ A(1,3-13) = (1,-10) $
$ B(1,3+13) = (1,16) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu minor), $ x $ nya berubah dengan $ b = 5 $:
$ C(1-5,3) = (-4,3) $
$ D(1+5,3) = (6,3) $

3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan elips $ 9x^2 + 16y^2 + 36x – 32y – 92 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan elipsnya dengan “cara mekomplekskan kuadrat sempurna
$ \begin{align} 9x^2 + 16y^2 + 36x – 32y – 92 & = 0 \\ 9x^2 + 36x + 16y^2 – 32y & = 92 \\ 9(x^2 + 4x) + 16(y^2 – 2y) & = 92 \\ 9[(x + \frac{4}{2})^2 – (\frac{4}{2})^2] + 16[(y – \frac{2}{2})^2 – (\frac{2}{2})^2 ] & = 92 \\ 9[(x +2)^2 – 4] + 16[(y – 1)^2 – 1 ] & = 92 \\ 9(x +2)^2 – 36 + 16(y – 1)^2 – 16 & = 92 \\ 9(x +2)^2 + 16(y – 1)^2 & = 92 + 36 + 16 \\ 9(x +2)^2 + 16(y – 1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x +2)^2}{144} + \frac{16(y – 1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x +2)^2}{16} + \frac{(y – 1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Langkah berikutnya seolah-olah dengan teladan (2) di atas pecahan (a).

$ \clubsuit \, $ Trik gampang memilih persamaan elips yang diketahui unsur-unsurnya
       Berikut ada sedikit trik gampang sesampai kemudian kita tak perlu mengingat semua rumus persamaan elipsnya apabila diketahui unsur-unsur elipsnya.

i). Diketahui titik fokus, perhatikan pecahan $ x $ atau $ y $ kah yang berubah. Jika yang berubah $ x $ nya, maka sumbu mayor sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika yang berubah $ y $ nya, maka sumbu mayor sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus $ = 2c $
Jarak dua klimaks sejajar sumbu mayor = $ 2a $
Jarak dua klimaks sejajar sumbu minor = $ 2b $
iii). gunakan juga teorema pythagoras : $ a^2 = b^2 + c^2 $
iv). Untuk memilih titik sentra $ M(p,q) $ , kita memakai konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik $ (x_1,y_1) $ dan titik $ (x_2,y_2) $ merupakan $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ . Titik sentra selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.

Contoh soal diketahui unsur-unsur elips :

4). Tentukan persamaan elips apabila diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu mayor 8.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $ serta panjang sumbu minor 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (4,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu mayor = 8 ,
$ 2a = 8 \rightarrow a = 4 $
-). Jarak dua fokus = $ 6-2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 16 = b^2 + 4 \rightarrow b^2 = 12 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y-3)^2}{12} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y-3)^2}{12} = 1 $.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Titik Diluar Parabola

b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sesampai kemudian sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu minor = 4 ,
$ 2b = 4 \rightarrow b = 2 $
-). Jarak dua fokus = $ 5 – (-3) = 8 $
$ 2 c = 8 \rightarrow c = 4 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow a^2 = 4 + 16 \rightarrow a^2 = 20 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{20} = 1 $.

5). Tentukan persamaan elips yang diketahui titik fokusnya $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $ serta titik puncaknya $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $, yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sumbu mayornya sejajar sumbu X dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 4 – (-2) = 6 $
$ 2 c = 6 \rightarrow c = 3 $
-). Titik puncak $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $, yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sejajar sumbu X yang merupakan sumbu mayornya.
Jarak dua klimaks = $ 6 – (-4) = 10 $
$ 2 a = 10 \rightarrow a = 5 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 25 = b^2 + 9 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{16} = 1 $.

6). Tentukan persamaan elips yang diketahui titik fokusnya $ (1,1) $ dan $ (1,5) $ serta titik puncaknya $ (-2,3) $ dan $ (4,3) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,1) $ dan $ (1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sesampai kemudian sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 5 – 1 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Titik puncak $ (-2,3) $ dan $ (4,3) $, yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sejajar sumbu X yang merupakan sumbu minor (sebab sumbu mayornya sejajar sumbu Y dari titik fokusnya).
Jarak dua klimaks = $ 4 – (-2) = 6 $
$ 2 b = 6 \rightarrow b = 3 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow a^2 = 9 + 4 \rightarrow a^2 = 13 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{13} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{13} = 1 $.

7). Tentukan persamaan elips apabila diketahui titik puncaknya $ (-3,1) $ dan $ (5,1) $ serta panjang sumbu minornya 6 dimana sumbu minor sejajar sumbu Y!
Penyelesaian :
*). Karena sumbu minor sejajar sumbu Y, maka sumbu mayornya sejajar sumbu X, sesampai kemudian persamaan elipsnya $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua klimaks :
$ (p,q) = \left( \frac{-3+5}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu minor = 6
$ 2 b = 6 \rightarrow b = 3 $
-). Titik puncak $ (-3,1) $ dan $ (5,1) $, yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sejajar sumbu X yang merupakan sumbu mayornya.
Jarak dua klimaks = $ 5 – (-3) = 8 $
$ 2 a = 8 \rightarrow a = 4 $
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $.

8). Tentukan persamaan elips apabila diketahui titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $ serta nilai eksentrisitasnya $ \frac{1}{3} $ !
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $, yang berubah $ y $ nya, sesampai kemudian sumbu mayornya sejajar sumbu Y dengan persamaan elips $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (1,4) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 – 2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Eksentrisitas :
$ e = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{2}{a} = \frac{1}{3} \rightarrow a = 6 $
-). $ a^2 = b^2 + c^2 \rightarrow 36 = b^2 + 4 \rightarrow b^2 = 32 $.
*). Menentukan persamaan elipsnya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{32} + \frac{(y-4)^2}{36} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan elipsnya $ \frac{(x-1)^2}{32} + \frac{(y-4)^2}{36} = 1 $.

       Demikian pembahasan bahan Persamaan Elips dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” ialah “kedudukan titik dan garis terhadap elips”.