Persamaan Garis Singgung Elips

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “kedudukan titik terhadap elips” dan “kedudukan garis terhadap elips” dimana kedua bahan ini merupakan salah satu pendukung dari bahan persamaan garis singgung elips. Pada artikel kali ini gres kita bahas artikel Persamaan Garis Singgung ELips yang merupakan bab dari “persamaan elips dan unsur-unsurnya” pada “irisan kerucut“. Persamaan Garis Singgung ELips kita bagi menjadi tiga menurut yang diketahui pada soal yakni pertama : garis singgung elips melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada pada elips, kedua : garis singgung elips yang diketahui gradiennya, dan ketiga : garis singgung elips yang melalui suatu titik dan titik tersebut tak berada pada elips melainkan di luar kurva elips. Untuk ilustrasi ketiga garis singgung elips tersebut, perhatikan gambar di bawah ini. Sebagai citra dasar Persamaan Garis Singgung elips, teman-teman juga sanggup mempelajari bahan “persamaan garis singgung parabola” dahulu lantaran cara pengerjaannya mirip, hanya saja rumusnya sedikit berbeda terutama untuk diketahui gradiennya.

         Untuk mempermudah mempelajari bahan Persamaan Garis Singgung Elips ini, kita sebaiknya menguasai sedikit bahan dasar yakni “persamaan elips“, “kedudukan titik terhadap elips”, “kedudukan garis terhadap elips”, “Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus“, dan “Hubungan Dua Garis Lurus“.

Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Pertama
       Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Elips yakni garis singgung elips melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik tersebut ada pada elips. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung elipsnya :
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} + \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $

Catatan :
-). Dalam PGSE Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada elips (dilalui oleh elips) atau tak. Silahkan baca artikel kompleksnya di “Kedudukan Titik Terhadap elips“.
-). Trik Praktis mengingat rumus persamaan garis singgung elips yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Persamaan garis singgung elips yang diketahui titik singgungnya, kita gunakan yang namanya CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yakni apabila ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi persobat semua, dan apabila ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut klasifikasi CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung elips :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-p)^2 \, $ menjadi $ (x-p)(x_1-p) $
$ (y-q)^2 \, $ menjadi $ (y-q)(y_1-q) $
Untuk lebih gampang dalam memahaminya, mari kita pelajari teladan berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE Pertama) :

1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $(2,1)$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (2,1)$ pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{2^2}{6} + \frac{1^2}{3} & … 1 \\ \frac{4}{6} + \frac{1}{3} & … 1 \\ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} & … 1 \\ \frac{3}{3} & … 1 \\ 1 & … 1 \\ 1 & = 1 \\ \end{align} $
Karena kesudahannya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 1 dan ruas kanan = 1), maka titik $ (2,1)$ ada pada elips $ \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1 $ sesampai kemudian untuk memilih PGSE-nya sanggup memakai CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{x.x_1}{6} + \frac{y.y_1}{3} & = 1 \\ \frac{x.2}{6} + \frac{y.1}{3} & = 1 \\ \frac{x }{3} + \frac{y}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x + y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ x + y = 3 $.

Baca Juga:   Garis Singgung Elips Titik Diluar Kurva

Catatan :
-). Untuk teladan soal berikutnya yang terkait dengan PGSE Pertama ini, titik yang dilalui oleh elips selalu ada pada elips sesampai kemudian kita tak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun apabila teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan untuk mencobanya secara mandiri.

2). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{20} = 1 $ di titik $(0,-2)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (0,-2) $
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)(x_1+1)}{5} + \frac{(y-2)(y_1-2)}{20} & = 1 \\ \frac{(x+1)(0+1)}{5} + \frac{(y-2)(-2-2)}{20} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{(y-2)(-4)}{20} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{-(y-2) }{5} & = 1 \\ \frac{x+1}{5} + \frac{-y + 2}{5} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ x+1 + (-y + 2) & = 5 \\ x- y & = 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ x – y = 2 $.

3). Tentukan Persamaan Garis singgung di titik yang berabsis 2 pada elips $ 3x^2 + 2y^2 = 66$!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi absis yakni $ x = 2 $ ke persamaan elipsnya :
$ \begin{align} 3x^2 + 2y^2 & = 66 \\ 3.2^2 + 2y^2 & = 66 \\ 12 + 2y^2 & = 66 \\ 2y^2 & = 54 \\ y^2 & = 27 \\ y & = \pm \sqrt{27} \\ y & = \pm 3\sqrt{3} \end{align} $
Sesampai kemudian titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2, \pm 3 \sqrt{3} ) $
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2, \pm 3 \sqrt{3} ) $
$ \begin{align} 3x^2 + 2y^2 & = 66 \\ 3x.x_1 + 2y.y_1 & = 66 \\ 3x.2 + 2y.(\pm 3\sqrt{3}) & = 66 \\ 6x \pm 6\sqrt{3}y & = 66 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ x \pm \sqrt{3}y & = 11 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan garis singgungnya merupakan $ x + \sqrt{3}y = 11 $ atau $ x – \sqrt{3}y = 11 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ x \pm \sqrt{3}y = 11 $.

4). Tentukan Persamaan Garis singgung pada elips $ 4x^2 + 3y^2 – 16x + 6y + 7 = 0 $ di titik $(2,1)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSE :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} 4x^2 + 3y^2 – 16x + 6y + 7 & = 0 \\ 4x.x_1 + 3y.y_1 – 16.\frac{x+x_1}{2} + 6.\frac{y+y_1}{2} + 7 & = 0 \\ 4x.2 + 3y.1 – 8(x+2) + 3(y+1) + 7 & = 0 \\ 8x + 3y – 8x – 16 + 3y+3 + 7 & = 0 \\ 6y – 6 & = 0 \\ 6y & = 6 \\ y & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ y = 1 $.

Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Kedua
       Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Elips yakni garis singgung elips yang diketahui gradiennya ($m$). Berikut bentuk persamaan garis singgung elipsnya :
1). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
2). Persamaan elips : $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
3). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} + \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
4). Persamaan elips : $ \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $

Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ merupakan $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar terdapat gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka persobat semua gradien kedua garis sama dengan $ – 1 $.
-). Trik gampang mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari letak $ a $, apakah ada di bawah $ x $ atau di bawah $ y $, yakni :
1). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
2). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ merupakan yang terbesar.
-). Jika titik sentra elipsnya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sesampai kemudian bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $ .

Baca Juga:   Persamaan Asimtot Hiperbola

Contoh Soal Persamaan garis singgung elips (PGSE Kedua) :

5). Tentukan persamaan garis singgung elips pada :
a). elips $ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
b). elips $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). elips $ \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{3} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 8 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{8.2^2 + 3} \\ y & = 2x \pm \sqrt{8.4 + 3} \\ y & = 2x \pm \sqrt{35} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = 2x \pm \sqrt{35} $.

b). elips $ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 5 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} \\ y & = -1.x \pm \sqrt{5 + 4.(-1)^2} \\ y & = -x \pm \sqrt{5 + 4.1} \\ y & = -x \pm \sqrt{9} \\ y & = -x \pm 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = -x \pm 3 $.

6). Tentukan persamaan garis singgung elips $ \frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-3)^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ \sqrt{5} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 9 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ (y-q) = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = \sqrt{5} \rightarrow m^2 = 5 $ :
$ \begin{align} (y-q) & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} \\ (y-3) & = \sqrt{5}(x+2) \pm \sqrt{9.5 + 4} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm \sqrt{49} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm 7 \\ y & = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 7 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 7 $.

7). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ \frac{(x-4)^2}{16} + \frac{(y+5)^2}{5} $ yang sejajar dengan garis $ x + 2y = -12 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ x + 2y = -12 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yakni $ m = -\frac{1}{2} $.
Silahkan baca artikel : “Hubungan dua garis lurus“.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 16 $ dan $ b^2 = 5 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSE-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -\frac{1}{2} \rightarrow m^2 = \frac{1}{4} $ :
$ \begin{align} y-q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2 } \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{16. \frac{1}{4} + 5} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{4 + 5} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm 3 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y+10 & = – (x-4) \pm 6 \\ 2y+10 & = – x+ 4 \pm 6 \\ 2y & = – x+ 4 – 10 \pm 6 \\ x + 2y & = -6 \pm 6 \end{align} $
pertama : $ x + 2y = -6 + 6 \rightarrow x + 2y = 0 $
pertama : $ x + 2y = -6 – 6 \rightarrow x + 2y = -12 $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya $ x + 2y = 0 $ atau $ x + 2y = -12 $.

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Parabola

8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{6} = 1 $ yang tegak lurus dengan garis $ -x – 2y = 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x – 2y = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-2} = – \frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow – \frac{1}{2} . m_2 = – 1 \rightarrow m_2 = 2 $.
Artinya gradien garis singgungnya merupakan $ m = 2 $.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSE-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} $
*). Menentukan PGSE dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 + b^2m^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{6 + 3.4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{18} \\ y & = 2x \pm 3\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung elipsnya : $ y = 2x \pm 3\sqrt{2} $.

9). Tentukan persamaan garis singgung pada elips $ 4x^2 + 3y^2 + 16x – 12y + 16 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x- 3y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan teladan soal (9) ini, pertama kita ubah dahulu bentuk $ 4x^2 + 3y^2 + 16x – 12y + 16 = 0 $ menjadi persamaan elips standar dengan “cara mekomplekskan kuadrat sempurna“.
*). Langkah berikutnya seolah-olah dengan teladan soal nomor (8) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.

Persamaan Garis Singgung ELips (PGSE) Ketiga
       Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung ELips yakni garis singgung elips yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar kurva elips.

-). Untuk bentuk PGSE Ketiga ini akan kita lanjutkan pada artikel yang lainnya lantaran penterangannya cukup panjang. SIlahkan baca PGSE jenis ketiga ini pada artikel “Garis Singgung ELips titik diluar“.

       Demikian pembahasan bahan Persamaan Garis Singgung Elips dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut”.