Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Posted on

         Pondok Soal.com – Tiba pada artikel ketiga jenis “irisan kerucut” yaitu “Hiperbola”. Salah satu bahan yang terkait dengan “persamaan hiperbola” merupakan Persamaan Garis Singgung Hiperbola. Pada artikel ini kita akan fokus pada bahan Persamaan Garis Singgung Hiperbola. Sebelumnya juga telah kita bahas bahan “Persamaan Garis Singgung Parabola” dan “Persamaan Garis Singgung Elips”. Persamaan Garis Singgung Hiperbola kita bagi menjadi tiga jenis menurut yang diketahui pada soal yaitu pertama : garis singgung Hiperbola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada pada Hiperbola, kedua : garis singgung Hiperbola yang diketahui gradiennya, dan ketiga : garis singgung Hiperbola yang melalui suatu titik dan titik tersebut tak berada pada Hiperbola melainkan di luar kurva Hiperbola. Untuk ilustrasi ketiga garis singgung Hiperbola tersebut, perhatikan gambar di bawah ini. Materi lain yang juga terkait eksklusif dengan Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu “kedudukan titik terhadap hiperbola” dan “kedudukan garis terhadap hiperbola”.

         Sebelum mempelajari bahan Persamaan Garis Singgung Hiperbola ini, kita sebaiknya menguasai sedikit bahan dasar yaitu “persamaan Hiperbola”, “kedudukan titik terhadap Hiperbola“, “kedudukan garis terhadap Hiperbola“, “Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus“, dan “Hubungan Dua Garis Lurus“.

Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Pertama
       Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik tersebut ada pada Hiperbola. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung Hiperbolanya :
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} – \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ -\frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} – \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ -\frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $

Catatan :
-). Dalam PGSH Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada Hiperbola (dilalui oleh Hiperbola) atau tak. Silahkan baca “Kedudukan Titik Terhadap Hiperbola”.
-). Trik Praktis mengingat rumus persamaan garis singgung Hiperbola yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Persamaan garis singgung Hiperbola yang diketahui titik singgungnya, kita gunakan yang namanya CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yaitu apabila ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi persobat semua, dan apabila ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut pembagian terstruktur mengenai CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung Hiperbola :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-p)^2 \, $ menjadi $ (x-p)(x_1-p) $
$ (y-q)^2 \, $ menjadi $ (y-q)(y_1-q) $
Untuk lebih gampang dalam memahaminya, mari kita pelajari pola berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH Pertama) :

1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} – \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $(4,1)$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (4,1)$ pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} – \frac{y^2}{3} = 1 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (4,1) \rightarrow \frac{x^2}{12} – \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{4^2}{12} – \frac{1^2}{3} & … 1 \\ \frac{16}{12} – \frac{1}{3} & … 1 \\ \frac{4}{3} – \frac{1}{3} & … 1 \\ \frac{3}{3} & … 1 \\ 1 & … 1 \\ 1 & = 1 \\ \end{align} $
Karena balasannya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 1 dan ruas kanan = 1), maka titik $ (4,1)$ ada pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} – \frac{y^2}{3} = 1 $ sesampai kemudian untuk memilih PGSH-nya sanggup memakai CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (4,1) $
$ \begin{align} \frac{x^2}{12} – \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{x.x_1}{12} – \frac{y.y_1}{3} & = 1 \\ \frac{x.4}{12} – \frac{y.1}{3} & = 1 \\ \frac{x }{3} – \frac{y}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x – y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ x – y = 3 $.
*). Ilustrasi gambarnya :

Catatan :
-). Untuk pola soal berikutnya yang terkait dengan PGSH Pertama ini, titik yang dilalui oleh Hiperbola selalu ada pada Hiperbola sesampai kemudian kita tak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun apabila teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan untuk mencobanya sendiri.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Parabola

2). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ -\frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{30} = 1 $ di titik $(0,-4)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (0,-4) $
$ \begin{align} -\frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{30} & = 1 \\ -\frac{(x+1)(x_1+1)}{5} + \frac{(y-2)(y_1-2)}{30} & = 1 \\ -\frac{(x+1)(0+1)}{5} + \frac{(y-2)(-4-2)}{30} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{(y-2)(-6)}{20} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{-(y-2) }{5} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{-y + 2}{5} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ -(x+1) + (-y + 2) & = 5 \\ -x- y & = 4 \\ x+ y & = -4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ x + y = -4 $.
*). Ilustrasi gambarnya :

3). Tentukan Persamaan Garis singgung di titik yang berabsis 1 pada Hiperbola $ -3x^2 + 2y^2 = 29 $!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi absis yaitu $ x = 1 $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3.1^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3 + 2y^2 & = 29 \\ 2y^2 & = 32 \\ y^2 & = 16 \\ y & = \pm \sqrt{16} \\ y & = \pm 4 \end{align} $
Sesampai kemudian titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (1, 4 ) $ dan $ (x_2,y_2) = (1,-4) $
(ada dua titik singgungnya, sesampai kemudian garis singgungnya juga ada dua).
*). Menentukan PGSH :
-). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (1,4) $
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3x.x_1 + 2y.y_1 & = 29 \\ -3x.1 + 2y.4 & = 29 \\ -3x + 8y & = 29 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan garis singgung pertamanya merupakan $ -3x + 8y = 29 $ .
-). Titik singgungnya $ (x_2,y_2) = (1,-4) $
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3x.x_1 + 2y.y_1 & = 29 \\ -3x.1 + 2y.(-4) & = 29 \\ -3x – 8y & = 29 \end{align} $
Sesampai kemudian persamaan garis singgung keduanya merupakan $ -3x – 8y = 29 $ .
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ -3x + 8y = 29 $ dan $ -3x – 8y = 29$.
*). Ilustrasi gambarnya :

4). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ 2x^2 – 3y^2 – 8x – 6y = 13 $ di titik $(-1,-1)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-1,-1) $
$ \begin{align} 2x^2 – 3y^2 – 8x – 6y & = 13 \\ 2x.x_1 – 3y.y_1 – 8.\frac{x+x_1}{2} – 6.\frac{y+y_1}{2} & = 13 \\ 2x.x_1 – 3y.y_1 – 4(x+x_1) – 3(y+y_1) & = 13 \\ 2x.(-1) – 3y.(-1) – 4(x+(-1)) – 3(y+(-1)) & = 13 \\ -2x + 3y – 4(x-1) – 3(y -1) & = 13 \\ -2x + 3y – 4x + 4 – 3y + 3 & = 13 \\ -6x & = 6 \\ x & = -1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ x = -1 $.
*). Ilustrasi gambarnya :

Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Kedua
       Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola yang diketahui gradiennya ($m$). Berikut bentuk persamaan garis singgung Hiperbolanya :
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $

Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ merupakan $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar terdapat gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka persobat semua gradien kedua garis sama dengan $ – 1 $.
-). Trik gampang mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari letak $ a $, apakah ada di bawah $ x $ atau di bawah $ y $, yaitu :
1). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
2). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ merupakan yang ada dibagian positif.
-). Jika titik sentra Hiperbolanya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sesampai kemudian bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $ .

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Parabola

Contoh Soal Persamaan garis singgung Hiperbola (PGSH Kedua) :

5). Tentukan persamaan garis singgung Hiperbola pada :
a). Hiperbola $ \frac{x^2}{2} – \frac{y^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
b). Hiperbola $ -\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{12} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). Hiperbola $ \frac{x^2}{2} – \frac{y^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 2 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{2.2^2 – 4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{2.4 – 4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4} \\ y & = 2x \pm 2 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x – 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = 2x + 2 $ dan $ y = 2x – 2$.
*). Ilustrasi gambarnya :

b). Hiperbola $ -\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{12} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 12 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} \\ y & = -1.x \pm \sqrt{12 – 3.(-1)^2} \\ y & = -x \pm \sqrt{12 – 3} \\ y & = -x \pm \sqrt{9} \\ y & = -x \pm 3 \\ y & = -x + 3 \vee y = -x – 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = -x + 3 $ dan $ y = -x – 3 $.
*). Ilustrasi gambarnya :

6). Tentukan persamaan garis singgung Hiperbola $ \frac{(x+2)^2}{2} – \frac{(y-3)^2}{6} = 1 $ dengan gradien $ \sqrt{5} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 2 $ dan $ b^2 = 6 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ (y-q) = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = \sqrt{5} \rightarrow m^2 = 5 $ :
$ \begin{align} (y-q) & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} \\ (y-3) & = \sqrt{5}(x+2) \pm \sqrt{2.5 – 6} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm \sqrt{4} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm 2 \\ y & = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 2 $.

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Elips

7). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x-4)^2}{24} – \frac{(y+5)^2}{2} $ yang sejajar dengan garis $ x + 2y = -12 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ x + 2y = -12 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yaitu $ m = -\frac{1}{2} $.
Silahkan baca artikel : “Hubungan dua garis lurus”.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 24 $ dan $ b^2 = 2 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -\frac{1}{2} \rightarrow m^2 = \frac{1}{4} $ :
$ \begin{align} y-q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 – b^2 } \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{24. \frac{1}{4}- 2} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{6 – 2} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm 2 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y+10 & = – (x-4) \pm 4 \\ 2y+10 & = – x+ 4 \pm 4 \\ 2y & = – x+ 4 – 10 \pm 4 \\ x + 2y & = -6 \pm 4 \end{align} $
pertama : $ x + 2y = -6 + 4 \rightarrow x + 2y = -2 $
pertama : $ x + 2y = -6 – 4 \rightarrow x + 2y = -10 $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya $ x + 2y = -2 $ atau $ x + 2y = -10 $.

8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ -\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{6} = 1 $ yang tegak lurus dengan garis $ -x – 2y = 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x – 2y = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-2} = – \frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow – \frac{1}{2} . m_2 = – 1 \rightarrow m_2 = 2 $.
Artinya gradien garis singgungnya merupakan $ m = 2 $.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 16 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 – b^2m^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{16 – 3.4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4} \\ y & = 2x \pm 2 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x – 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = 2x + 2 $ dan $ y = 2x – 2 $.

9). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ -11x^2 + y^2 + 22x + 4y – 8 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x- 3y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan pola soal (9) ini, pertama kita ubah dahulu bentuk $ -11x^2 + y^2 + 22x + 4y – 8 = 0 $ menjadi persamaan Hiperbola standar dengan “cara mekomplekskan kuadrat sempurna“.
*). Langkah berikutnya seolah-olah dengan pola soal nomor (8) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.

Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Ketiga
       Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar kurva Hiperbola.

-). Untuk bentuk PGSH Ketiga ini akan kita lanjutkan pada artikel yang lainnya alasannya yaitu penterangannya cukup panjang. SIlahkan baca PGSH jenis ketiga ini pada artikel “Garis Singgung Hiperbola titik diluar“.

       Demikian pembahasan bahan Persamaan Garis Singgung Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“.