Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Posted on

         Pondok Soal.comPersamaan garis singgung lingkaran merupakan suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan garis singgung lingkaran, sebaiknya baca dahulu bahan “persamaan lingkaran“. Ada tiga jenis yang diketahui dalam memilih persamaan garis singgung lingkaran, adalah : Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran, Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran, dan garis singgung bulat yang diketahui gradien garisnya.

Persamaan Garis Singgung (PGS) yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
       Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis ada pada ingkaran. Berikut penjabarannya masing-masing
i). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2 $

Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $

ii). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $

Persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 – b)(y-b) = r^2 \end{align} $

iii). Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Persamaan garis singgungnya :
$ x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $

Catatan : Cara ini dinamakan cara BAGI ADIL.

Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca bahan “Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran”.

Contoh :
1). Tunjukkan bahwa titik (6, -8) terletak pada bulat $x^2 + y^2 = 100$, kemudian tentukan pula garis singgungnya.
Penyelesaian :
*). Menunjukkan bahwa titik (6, -8) terletak pada bulat $ x^2 + y^2 = 100 $ , substitusi titik tersebut ke persamaan lingkaran. Jika hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik tersebut dikatakan terletak pada lingkaran.
$\begin{align} (x,y) = (6,-8) \rightarrow x^2 + y^2 & = 100 \\ 6^2 + (-8)^2 & = 100 \\ 36 + 64 & = 100 \\ 100 & = 100 \end{align} $
Karena hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik (6,-8) terletak pada bulat $ x^2 + y^2 = 100 $ .
*). Menentukan persamaan garis singgung bulat
$\begin{align} (x_1,y_1) = (6,-8) \rightarrow x_1.x + y_1.y & = 100 \\ 6x +(-8)y & = 100 \\ 6x – 8y & = 100 \, \, \, \, \text{(bagi 2) } \\ 3x – 4y & = 50 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ 3x – 4y = 50 $

2). Tentukan persamaan garis singgung bulat $ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 58 $ pada titik A(1, -4).
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,-4) $
$\begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 – b)(y-b) & = r^2 \\ (x_1+2)(x+2) + (y_1 – 3)(y-3) & = 58 \\ (1+2)(x+2) + (-4 – 3)(y-3) & = 58 \\ 3(x+2) + (-7)(y-3) & = 58 \\ 3x + 6 – 7y + 21 & = 58 \\ 3x – 7y & = 31 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ 3x – 7y = 31 $

3). Tentukan persamaan garis singgung bulat $ x^2 + y^2 -2x + 4y – 11 = 0 $ pada titik A(1, 2).
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,2) $
$\begin{align} x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C & = 0 \\ x_1.x + y_1.y -2.\frac{(x_1+x)}{2} + 4.\frac{(y_1+y)}{2} – 11 & = 0 \\ 1.x + 2.y -2.\frac{(1+x)}{2} + 4.\frac{(2+y)}{2} – 11 & = 0 \\ x + 2y -(1+x) + 2(2+y) – 11 & = 0 \\ x + 2y -1 -x + 4 + 2y – 11 & = 0 \\ 4y – 8 & = 0 \\ 4y & = 8 \\ y & = 2 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ y = 2 $

Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
       Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar lingkaran. Misalkan titik yang dilalui merupakan titik A($x_1,y_1$). Dari titik yang dilalui tersebut sanggup ditarik dua garis singgung melalui titik pada bulat contohnya B($x_2,y_2$) dan titik C($x_3,y_3$).

Ada dua cara memilih persamaan garis singgungnya, adalah :
$\clubsuit \, $ 1). Persamaan garis singgung melalui titik A($x_1,y_1$) diluar lingkaran,
Langkah-langkah penyelesaian :
i). Misalkan garis singggungnya $ y = mx + n $ ,
ii). Substitusi titik A($x_1,y_1$) ke garis $ y = mx + n $ , dan tentukan nilai $ n \, $ dalam bentuk $ m $ kemudian substitusi nilai $ n \, $ ke garis $ y = mx + n $ .
iii). Substitusi garis yang gres ke persamaan lingkaran, kemudian tentukan nilai diskriminannya ($D$).
iv). Tentukan nilai $ m \, $ dengan syarat garis menyinggung bulat : $ D = 0 $ .
v). Substitusi nilai $ m $ yang diperoleh ke garis gres yang terbentuk.

Baca Juga:   Kedudukan Titik Dan Garis Terhadap Lingkaran

$\clubsuit \, $ 2). Menggunakan garis kutub (polar).
Jika melalui titik A($x_1, y_1$) di luar bulat ditarik dua buah garis singgung pada bulat dengan titik singgungnya B($x_2, y_2$) dan C($x_3, y_3$), maka persamaan garis BC merupakan $x_1.x + y_1.y = r^2$ disebut garis kutub pada bulat dan titik A($x_1, y_1$) disebut titik kutub.

Langkah-langkah penyelesaian :
i). Membuat persamaan garis kutub dari titik A($x_1, y_1$) terhadap lingkaran.
ii). Substitusi garis kutub yang terbentuk ke persamaan lingkaran, kemudian selesaikan untuk memilih nilai $ x \, $ .
iii). Substitusi nilai $ x \, $ atau $ y \, $ yang diperoleh ke persamaan garis kutub untuk memilih titik B dan C.
iv). Titik B dan C merupakan titik pada bulat yang dilalui oleh garis singgung, selanjutnya gunakan cara BAGI ADIL.

Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar bulat $ x^2 + y^2 = 25 $ !
Penyelesaian :
Cara I :
*). Titik (7, 1) berada di luar bulat $ x^2 + y^2 = 25 $ lantaran apabila titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan bulat tersebut diperoleh $ 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 $ .
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sesampai kemudian sanggup disubstitusi ke garis singgung :
$ \begin{align} (x,y)=(7,1) \rightarrow y & = mx + n \\ 1 & = m . 7 + n \\ n & = 1 – 7m \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ n = 1 – 7m \, $ ke garis $ y = mx + n $
diperoleh garis singgung gres : $ y = mx + (1-7m) $
*). Substitusi garis singgung gres ke bulat :
$ \begin{align} y = mx + (1-7m) \rightarrow x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (mx + 1 – 7m)^2 & = 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m & = 25 \\ (m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2m – 14m^2 , \, c & = -49m^2-14m-24 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan ($D$) :
$ \begin{align} D & = b^2 – 4ac \\ & = (2m-14m^2)^2 – 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24) \\ & = 4m^2 – 56m^3 + 196m^4 – 4(49m^2 – 14m – 24 + 49m^4 – 14m^3 – 24m^2) \\ & = -96m^2 + 56m + 96 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung bulat : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ -96m^2 + 56m + 96 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)} \\ 12m^2 – 7m – 12 & = 0 \\ (4m + 3)(3m – 4) & = 0 \\ m = – \frac{3}{4} \vee m & = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ m \, $ ke garis singgung gres :
$ \begin{align} m = – \frac{3}{4} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = – \frac{3}{4} . x + (1-7.(- \frac{3}{4})) \\ y & = – \frac{3}{4} . x + (1 + \frac{21}{4}) \\ y & = – \frac{3}{4} . x + \frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = -3x + 25 \\ 3x + 4y & = 25 \\ m = \frac{4}{3} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1-7.(\frac{4}{3})) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1 – \frac{28}{3}) \\ y & = \frac{4}{3} . x – \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y & = 4x – 25 \\ 4x – 3y & = 25 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x – 3y = 25 $ .

Baca Juga:   Jarak Dua Titik Dan Titik Ke Garis

Cara II : Menggunakan garis kutub (polar)
*). Menentukan persamaan garis kutub di titik (7,1) :
$ \begin{align} x_1x + y_1y & = r^2 \\ 7.x + 1.y & = 25 \\ y & = 25 – 7x \\ y & = 25 – 7x \end{align} $
*). Substitusi $ y = 25 – 7x \, $ ke $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (25 – 7x)^2 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 – 350x + 625 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 – 350x + 600 & = 0 \\ 50x^2 – 350x + 600 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 50)} \\ x^2 – 7x + 12 & = 0 \\ (x – 3 )(x – 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 4 \end{align} $
*). Menentukan titik singgungnya :
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = 25 – 7x \\ y & = 25 – 7.3 \\ y & = 4 \\ x = 4 \rightarrow y & = 25 – 7x \\ y & = 25 – 7.4 \\ y & = -3 \end{align} $
Titik singgungnya : (3,4) dan 4,-3) .
*). Menentukan PGS dengan cara Bagi ADIL
titik $ (x_1,y_1) = (3,4) $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 3x + 4y & = 25 \end{align} $
titik $ (x_1,y_1) = (4,-3) $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 4x -3y & = 25 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x – 3y = 25 $ .

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $
       Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $ kita bagi menjadi tiga menurut jenis persamaan lingkarannya, adalah :
i). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

ii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y – b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

iii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y – b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
Untuk memilih sentra dan jari-jarinya, silahkan baca bahan “Persamaan Lingkaran

Karena ada kaitannya dengan gradien, maka biasanya juga melibatkan hubungan antara dua garis. Silahkan baca bahan “Hubungan Dua Garis“.
*). Dua garis sejajar, maka gradiennya sama : $ m_1 = m_2 $
*). Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $

Baca Juga:   Persamaan Lingkaran

Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca bahan “Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran”.

Contoh :
1). Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $ \sqrt{8} \, $ pada bulat $ x^2 + y^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur bulat :
$ x^2 + y^2 = 16, \, $ jari-jari : $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = \sqrt{8} $
$\begin{align} y & = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + 8} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 . 3 \\ y & = \sqrt{8}x \pm 12 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ y = \sqrt{8}x + 12 \, $ dan $ y = \sqrt{8}x – 12 $

2). Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $ y = 2x – 3 \, $ pada bulat $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur bulat :
$ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1, \, $ jari-jari : $ r^2 = 1 \rightarrow r = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = (2, -1) $
*). Menentukan gradien garis singgungnya
Garis $ y = 2x – 3 \rightarrow m_1 = 2 $
Karena sejajar, maka gradiennya sama, sesampai kemudian $ m = 2 $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = 2 $
$\begin{align} y – b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y – (-1) & = 2(x – 2) \pm 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 & = 2x – 4 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x – 4 – 1 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x – 5 \pm \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ y = 2x – 5 + \sqrt{5} \, $ dan $ y = 2x – 5 – \sqrt{5} $

3). Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $ -3x + 4y – 1 = 0, \, $ pada bulat $ x^2 + y^2 + 4x – 2y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur bulat :
$ x^2 + y^2 + 4x – 2y + 1 = 0, \rightarrow A = 4, B = -2, C = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , – \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2} , – \frac{-2}{2} \right) = (-2,1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 – C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 – 1} = 2 $
*). Menentukan gradien garis singgungnya
Garis $ -3x + 4y – 1 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $
Karena tegak lurus, maka $ m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = – \frac{4}{3} $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = – \frac{4}{3} $
$\begin{align} y – b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y – 1 & = – \frac{4}{3}.(x – (-2)) \pm 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y – 1 & = – \frac{4}{3}.(x + 2) \pm 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y – 1 & = – \frac{4}{3}x – \frac{8}{3} \pm 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y – 1 & = – \frac{4}{3}x – \frac{8}{3} \pm 2 . \frac{5}{3} \\ y – 1 & = – \frac{4}{3}x – \frac{8}{3} \pm \frac{10}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y – 3 & = – 4x – 8 \pm 10 \\ 3y & = – 4x – 8 + 3 \pm 10 \\ 3y & = – 4x – 5 \pm 10 \\ \text{(PGS I) } : 3y & = – 4x – 5 + 10 \\ 3y & = -4x + 5 \\ 4x + 3y & = 5 \\ \text{(PGS II) } : 3y & = – 4x – 5 – 10 \\ 3y & = -4x – 15 \\ 4x + 3y & = -15 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ 4x + 3y = 5 \, $ dan $ 4x + 3y = -15 $