Persamaan Garis Singgung Pada Kurva Memakai Turunan

Posted on

         Pondok Soal.com – Salah satu penerapan atau penggunaan turunan dalam matematika merupakan memilih gradien garis singgung pada suatu kurva pada titik tertentu. Pada artikel kali ini kita akan mempelajari Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan. Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan, sebaiknya juga baca bahan “definisi turunan” , “turunan fungsi aljabar” dan “turunan fungsi trigonometri“.

Menentukan Gradien garis singgung
Perhatikan gambar berikut :

       Titik P($x, y$) merupakan sembarang titik pada kurva $y = f(x) $, sesampai lalu koordinat titik P sanggup dituliskan sebagai ($x, f(x)$). Absis titik Q merupakan ($x + h$) sesampai lalu koordinat titik Q merupakan {$(x + h), (f(x + h)$}. Jika h $\rightarrow $ 0, maka S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P merupakan sebagai berikut.
$ \begin{align} m & = \tan QPR \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) – f(x) }{h} \\ & = f^\prime (x) \end{align} $
Artinya gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) merupakan $ m = f^\prime (a) $ .

Langkah-langkah memilih gradien di titik A($a,f(a)$) pada kurva $ y = f(x) \, $ :
i). Tentukan turunan fungsinya ($f^\prime (x)$)
ii). Substitusi nilai $ x = a \, $ atau absis titik A($a,f(a)$)
iii). Gradiennya ($m$) merupakan $ m = f^\prime (a) $

Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva
       Secara umum persamaan garis di titik A($x_1, y_1$) pada kurva $ y = f(x) \, $ sanggup ditentukan dengan rumus :
Persamaan garis lurus : $ y – y_1 = m(x-x_1) \, $
dengan gradiennya : $ m = f^\prime (x_1) $ .

Untuk lebih kompleks ihwal persamaan garis lurus, silahkan baca bahan “Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus“.

Contoh :
1). Tentukan persamaan garis singgung di titik (2,6) pada kurva $ y = x^3 -3x + 4 $ ?
Penyelesaian :

*). Menentukan turunan fungsinya : $ y = x^3 -3x + 4 \rightarrow f^\prime (x) = 3x^2 – 3 $
*). Menentukan gradien di titik (2,6) :
$ m = f^\prime (2) \rightarrow m = 3.2^2 – 3 = 9 $
*). Menyusun persamaan garis singgung (PGS) di titik (2,6) dan $ m = 9 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-6 & = 9 (x -2 ) \\ y-6 & = 9x – 18 \\ y & = 9x – 12 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ y = 9x – 12 $ .

Baca Juga:   Fungsi Naik Dan Fungsi Turun Memakai Turunan

*). Secara geometri menyerupai gambar berikut :


2). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 – x + 2 \, $ di titik dengan absis 1, dan tentukan titik potong garis singgungnya terhadap sumbu X dan Sumbu Y ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung ($x_1,y_1$) dengan substitusi absis $ x = 1 $ ke persamaan kurvanya,
$ x = 1 \rightarrow y = x^2 – x + 2 = 1^2 – 1 + 2 = 2 $
Sesampai lalu titik singgungnya $(x_1,y_1) = (1,2) $
*). Menentukan turunan fungsi,
$ y = x^2 – x + 2 \rightarrow f^\prime (x) = 2x – 1 $
*). Menentukan gradiennya di titik (1,2)
$ m = f^\prime (1) \rightarrow m = 2.1 – 1 = 1 $
*). Menyusun persamaan garis singgung (PGS) di titik (1,2) dan $ m = 1 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-2 & = 1 (x -1 ) \\ y-2 & = x – 1 \\ y & = x + 1 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ y = x + 1 $ .

*). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu :
Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ y = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow 0 = x + 1 \rightarrow x = -1 $ .
Sesampai lalu titik potong sumbu X di titik ($-1,0$).
Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow y = x + 1 \rightarrow y = 0 + 1 \rightarrow y = 1 $ .
Sesampai lalu titik potong sumbu Y di titik ($0,1$).

3). Garis $ y = x + 1 $ memotong parabola $ y = x^2 + 2x + 1 $ di titik A dan B. Tentukan persamaan garis singgung parabola itu di titik A dan B. Jika titik potong kedua garis singgung merupakan ($a,b$), maka nilai $ a + b = …. $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kedua persamaan yaitu titik A dan B
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 2x + 1 & = x + 1 \\ x^2 + x & = 0 \\ x(x+1) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = -1 \end{align} $
Substitusi $ x = 0 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke salah satu persamaan :
untuk $ x = 0 \rightarrow y = x+1 = 0 + 1 = 1 $
Sesampai lalu titik potong pertamanya A(0,1),
untuk $ x = -1 \rightarrow y = x+1 = -1 + 1 = 0 $
Sesampai lalu titik potong keduanya B($ -1,0$),
Diperoleh titik potongnya di A(0,1) dan B($ -1,0$)
*). Menentukan persamaan garis singgung di titik A dan B pada parabola,
Turunan fungsi : $ y = x^2 + 2x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x + 2 $
Titik A(0,1),
gradien : $ m = f^\prime (0) = 2.0 + 2 = 2 $
PGS : $ y – y_1 = m(x-x_2) \rightarrow y – 1 = 2(x – 0) \rightarrow y = 2x + 1 $

Baca Juga:   Nilai Maksimum Dan Minimum Suatu Fungsi

Titik B($ -1,0$),
gradien : $ m = f^\prime (-1) = 2.(-1) + 2 = 0 $
PGS : $ y – y_1 = m(x-x_2) \rightarrow y – 0 = 0(x – (-1)) \rightarrow y = 0 $

Diperoleh persamaan garis singgung di titik A merupakan $ y = 2x + 1 \, $ dan di titik B merupakan $ y = 0 $ .

*). Menentukan titik potong kedua garis singgung :
garis singgungnya : $ y = 0 \, $ dan $ y = 2x + 1 $
substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow y & = 2x + 1 \\ 0 & = 2x + 1 \\ 2x &= -1 \\ x & = – \frac{1}{2} \\ \end{align} $
Diperoleh titik potong kedua garis singgungnya ($ – \frac{1}{2} , 0 $) ,
pada soal juga dikatakan titik potong kedua garis singgung merupakan ($a,b$) ,
aritnya $ (a,b) = (- \frac{1}{2} , 0) \, $
Sesampai lalu nilai $ a + b = – \frac{1}{2} + 0 = – \frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = – \frac{1}{2} $

Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva apabila diketahi gradiennya
       Dalam menyusun persamaan garis singgung pada kurva, yang kita butuhkan merupakan titik singgung dan gradiennya. Jika diketahui gradiennya, maka kita tinggal mencari titik singgungnya dengan memakai kekerabatan $ m = f^\prime (x) $ .

       Gradien yang diketahui terkadang harus kita cari dahulu alasannya yaitu biasanya ada kaitannya dengan garis lain yaitu sejajar atau tegak lurus. Silahkan baca bahan “hubungan dua garis” untuk lebih terangnya.
Dua garis sejajar maka gradiennya sama ($m_1 = m_2$)
Dua garis tegak lurus berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $ .

Contoh :
4). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 – 2x + 3 \, $ dengan gradien 2.
Penyelesaian :
*). Menentukan turunan,
$ y = x^2 – 2x + 3 \rightarrow f^\prime (x) = 2x – 2 $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 2 $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 2 = 2x-2 \rightarrow x = 2 $
Substitusi $ x = 2 \, $ ke parabola,
$ x = 2 \rightarrow y = x^2 – 2x + 3 = 2^2 – 2.2 + 3 = 3 $
Sesampai lalu titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (2,3) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (2,3) dan $ m = 2 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-3 & = 2 (x -2 ) \\ y-3 & = 2x – 4 \\ y & = 2x – 1 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ y = 2x – 1 $ .

5). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = x^2 + x -1 \, $ yang sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 $ ?
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ y = 7x + 4 \, $ merupakan $ m_1 = 7 $
Karena garis singgung sejajar dengan garis $ y = 7x + 4 \, $ , maka gradiennya sama, sesampai lalu $ m = m_1 = 7 $
artinya gradien garis singgunya merupakan 7.
*). Menentukan turunan,
$ y = x^2 + x -1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x + 1 $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = 7 $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 7 = 2x + 1 \rightarrow x = 3 $
Substitusi $ x = 3 \, $ ke parabola,
$ x = 3 \rightarrow y = x^2 + x -1 = 3^2 + 3 -1 = 11 $
Sesampai lalu titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (3,11) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (3,11) dan $ m = 7 $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-11 & = 7 (x -3 ) \\ y-11 & = 7x – 21 \\ y & = 7x – 10 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ y = 7x – 10 $ .

Baca Juga:   Aturan Rantai Turunan Fungsi

6). Tentukan persamaan garis singgung pada kurva $ y = \sqrt{x-3} \, $ yang tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y – 4 = 0 $ ?
Penyelesaian :
*). Gradien garis $ 6x + 3y – 4 = 0 \, $
$ 6x + 3y – 4 = 0 \rightarrow 3y = -6x + 4 \rightarrow y = -2x + \frac{4}{3} $
gradiennya merupakan $ m_1 = -2 $
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis $ 6x + 3y – 4 = 0 \, $ , maka berlaku
$ m . m_1 = -1 \rightarrow m . (-2) = -1 \rightarrow m = \frac{1}{2} $
artinya gradien garis singgunya merupakan $ \frac{1}{2} $ .
*). Menentukan turunan,
$ y = \sqrt{x-3} \rightarrow f^\prime (x) = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} $ .
*). Menentukan titik singgung dengan gradien $ m = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} m & = f^\prime (x) \\ \frac{1}{2} & = \frac{1}{2\sqrt{x-3}} \\ 2\sqrt{x-3} & = 2 \\ \sqrt{x-3} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{x-3})^2 & = 1^2 \\ x – 3 & = 1 \\ x & = 4 \end{align} $
Substitusi $ x = 4 \, $ ke persamaan kurva,
$ x = 4 \rightarrow y = \sqrt{x-3} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1 $
Sesampai lalu titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (4,1) $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik (4,1) dan $ m = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} y-y_1 & = m (x -x_1 ) \\ y-1 & = \frac{1}{2}(x -4 ) \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y-2 & = x-4 \\ 2y & = x – 2 \\ x – 2y & = 2 \end{align} $
Jadi, PGS nya merupakan $ x – 2y = 2 $ .