Persamaan Garis Singgung Parabola

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Persamaan Garis Singgung Parabola yang merupakan bab dari “irisan kerucut” dan berkaitan pribadi dengan “persamaan parabola”. Persamaan Garis Singgung Parabola dibagi menjadi tiga menurut yang diketahui pada soal yaitu pertama : garis singgung parabola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada pada parabola, kedua : garis singgung parabola yang diketahui gradiennya, dan ketiga : garis singgung parabola yang melalui suatu titik dan titik tersebut tak berada pada parabola. Untuk ilustrasinya perhatikan gambar berikut ini. Persamaan Garis Singgung Parabola berkaitan bersahabat dengan bahan “Kedudukan Garis terhadap Parabola” yang sudah kita pelajari sebelumnya, sesampai kemudian disini teman-teman harus mengetahui dahulu maksud dari sebuah garis menyinggung sebuah kurva parabola.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan Persamaan Garis Singgung Parabola ini, kita sebaiknya menguasai sedikit bahan dasar yaitu “persamaan parabola“, “kedudukan titik terhadap parabola“, “Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus“, dan “Hubungan Dua Garis Lurus“.

Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP) Pertama
       Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Parabola yaitu garis singgung parabola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik tersebut ada pada parabola. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung parabolanya :
1). Persamaan parabola : $ y^2 = 4px $
       PGSP-nya : $ y.y_1 = 2p(x+x_1) $
2). Persamaan parabola : $ y^2 = -4px $
       PGSP-nya : $ y.y_1 = -2p(x+x_1) $
3). Persamaan parabola : $ x^2 = 4py $
       PGSP-nya : $ x.x_1 = 2p(y+y_1) $
4). Persamaan parabola : $ x^2 = -4py $
       PGSP-nya : $ x.x_1 = -2p(y+y_1) $
5). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ (y-b)(y_1-b) = 2p(x+x_1 – 2a) $
6). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = -4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ (y-b)(y_1-b) = -2p(x+x_1 – 2a) $
7). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ (x-a)(x_1-a) = 2p(y+y_1 – 2b) $
8). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = -4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ (x-a)(x_1-a) = -2p(y+y_1 – 2b) $

Catatan :
-). Dalam PGSP Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada parabola (dilalui oleh parabola) atau tak. Silahkan baca artikel kompleksnya di “Kedudukan Titik Terhadap Parabola“.
-). Trik Praktis mengingat rumus persamaan garis singgung parabola yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Tentu kita akan kesulitan apabila harus menghafal 8 rumus PGSP di atas, oleh alasannya ialah itu kita butuh trik khusus. Persamaan garis singgung parabola yang diketahui titik singgungnya, kita sebut CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yaitu apabila ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi persobat semua, dan apabila ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut pembagian terstruktur mengenai CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung Parabola :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-a)^2 \, $ menjadi $ (x-a)(x_1-a) $
$ (y-b)^2 \, $ menjadi $ (y-b)(y_1-b) $
$ x – a \, $ menjadi $ \frac{(x-a)+(x_1 – a)}{2} $
$ y – b \, $ menjadi $ \frac{(y – b)+(y_1 – b)}{2} $
Untuk lebih gampang dalam memahaminya, mari kita pelajari referensi berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP Pertama) :

1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada parabola $ x^2 = 6y $ di titik $(3, \frac{3}{2})$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (3, \frac{3}{2})$ pada parabola $ x^2 = 6y $ :
$ \begin{align} (x,y) = (3, \frac{3}{2}) \rightarrow x^2 & = 6y \\ 3^2 & … 6 \times \frac{3}{2} \\ 9 & … 9 \\ 9 & = 9 \end{align} $
Karena hasilnya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 9 dan ruas kanan = 9), maka titik $ (3, \frac{3}{2})$ ada pada parabola $ x^2 = 6y $ sesampai kemudian untuk memilih PGSP-nya sanggup memakai CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSP :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (3, \frac{3}{2}) $
$ \begin{align} x^2 & = 6y \\ x.x_1 & = 6. \frac{y + y_1}{2} \\ x.x_1 & = 3 (y + y_1) \\ x.3 & = 3 (y + \frac{3}{2}) \\ 3x & = 3 y + \frac{9}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \frac{2}{3} ) \\ 2x & = 2y + 3 \\ 2x – 2y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan $ 2x – 2y = 3 $.

Baca Juga:   Kedudukan Garis Terhadap Hiperbola

Catatan :
-). Untuk referensi soal berikutnya yang terkait dengan PGSP Pertama ini, titik yang dilalui oleh parabola selalu ada pada parabola sesampai kemudian kita tak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun apabila teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan semoga lebih kompleks caranya.

2). Tentukan persamaan garis singgung parabola berikut :
a). Parabola $ y^2 = -\frac{1}{3}x $ di titik $ (-12 , 2) $
b). Parabola $ (y-1)^2 = 2(x + 3) $ di titik $ ( 5, -3 ) $
c). Parabola $ (x- 2)^2 = 3( y + 3 ) $ di titik $ (-1, 0) $
Penyelesaian :
*). Kita kerjakan dengan CARA BAGI ADIL,
a). Parabola $ y^2 = -\frac{1}{3}x $ di titik $ (-12 , 2) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-12,2) $
$ \begin{align} y^2 & = -\frac{1}{3}x \\ y.y_1 & = -\frac{1}{3}. \frac{x+x_1}{2} \\ y.y_1 & = -\frac{1}{6}. (x+x_1) \\ y.2 & = -\frac{1}{6}. (x+(-12)) \\ 2y & = -\frac{1}{6} (x- 12) \, \, \, \, \, \, \text{(kali -6)} \\ -12y & = (x- 12) \\ x – 12y & = -12 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ x – 12y + 12 = 0 $.

b). Parabola $ (y-1)^2 = 2(x + 3) $ di titik $ ( 5, -3 ) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (5,-3) $
$ \begin{align} (y-1)^2 & = 2(x + 3) \\ (y-1)(y_1 – 1) & = 2. \frac{(x + 3) + (x_1+3)}{2} \\ (y-1)(y_1 – 1) & = (x + x_1 + 6) \\ (y-1)(-3 – 1) & = x + 5 + 6 \\ (y-1)(-4) & = x + 11 \\ -4y + 4 & = x + 11 \\ – x -4y & = 7 \\ x + 4y & = – 7 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ x + 4y = -7 $.

c). Parabola $ (x- 2)^2 = 3( y + 3 ) $ di titik $ (-1, 0) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-1,0) $
$ \begin{align} (x- 2)^2 & = 3( y + 3 ) \\ ( x – 2)(x_1-2) & = 3. \frac{(y + 3) + (y_1+3)}{2} \\ 2( x – 2)(x_1-2) & = 3. [(y + 3) + (y_1+3)] \\ 2( x – 2)(x_1-2) & = 3. (y+y_1 + 6) \\ 2( x – 2)(-1-2) & = 3. (y+0 + 6) \\ 2( x – 2)(-3) & = 3. (y + 6) \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ -2( x – 2) & = y + 6 \\ -2 x + 4 & = y + 6 \\ -2 x – y & = 2 \\ 2 x + y & = -2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ 2x + y = -2 $.

3). Tentukan persamaan garis singgung parabola berikut :
a). parabola $ x^2 + 2x – 3y – 5 = 0 $ di titik $ (2,1) $
b). parabola $ 3y^2 + 4x – 18y – 5 = 0 $ di titik $ (-4,-1) $
Penyelesaian :
*). Kita gunakan CARA BAGI ADIL :
a). parabola $ x^2 + 2x – 3y – 5 = 0 $ di titik $ (2,1) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (2,1) $
$ \begin{align} x^2 + 2x – 3y – 5 & = 0 \\ x.x_1 + 2. \frac{x+x_1}{2} – 3.\frac{y+y_1}{2} – 5 & = 0 \\ x.2 + \frac{x+2}{1} – 3.\frac{y+1}{2} – 5 & = 0 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x + 2(x+2) – 3(y+1) – 10 & = 0 \\ 4x + 2x+4 – 3y – 3 – 10 & = 0 \\ 6x – 3y – 9 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ 6x – 3y – 9 = 0 $.

b). parabola $ 3y^2 + 4x – 18y – 5 = 0 $ di titik $ (-4,-1) $
*). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-4,-1) $
$ \begin{align} 3y^2 + 4x – 18y – 5 & = 0 \\ 3y.y_1 + 4. \frac{x+x_1}{2} – 18. \frac{y+y_1}{2} – 5 & = 0 \\ 3y.y_1 +2(x+x_1) – 9(y+y_1) – 5 & = 0 \\ 3y.(-1) +2(x+(-4)) – 9(y+(-1)) – 5 & = 0 \\ -3y + 2x – 8 – 9y + 9 – 5 & = 0 \\ 2x – 12y – 4 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x – 6y – 2 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ x – 6y – 2 = 0 $.

Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP) Kedua
       Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Parabola yaitu garis singgung parabola yang diketahui gradiennya ($m$). Berikut bentuk persamaan garis singgung parabolanya :
1). Persamaan parabola : $ y^2 = 4px $
       PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
2). Persamaan parabola : $ y^2 = -4px $
       PGSP-nya : $ y = mx – \frac{p}{m} $
3). Persamaan parabola : $ x^2 = 4py $
       PGSP-nya : $ y = mx – m^2p $
4). Persamaan parabola : $ x^2 = -4py $
       PGSP-nya : $ y = mx + m^2p $
5). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ y – b = m(x-a) + \frac{p}{m} $
6). Persamaan parabola : $ (y-b)^2 = -4p(x-a) $
       PGSP-nya : $ y – b = m(x-a) – \frac{p}{m} $
7). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ y – b = m(x – a) – m^2p $
8). Persamaan parabola : $ (x-a)^2 = -4p(y-b) $
       PGSP-nya : $ y – b = m(x – a) + m^2p $

Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ merupakan $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar terdapat gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka persobat semua gradien kedua garis sama dengan $ – 1 $.
-). Trik gampang mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Tentu kita tak ingin mengingat kedelapan rumus di atas, alasannya ialah kita niscaya akan gampang lupa saking kayanya rumus yang harus kita pelajari, Benarkan?!!!^_^!!!. Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari jenis persamaan parabolanya dan variabel mana yang pangkat satu ($x $ atau $y$), yaitu :
1). Jika $ x $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
2). Jika $ y $ pangkat satu, maka PGSP-nya : $ y = mx – m^2p $
dengan nilai $ p $ sanggup nyata atau negatif.
-). Jika klimaks parabolanya $(a,b) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ a $ dan $ b $ sesampai kemudian bentuknya $ y – b = m(x – a) + \frac{p}{m} $ atau $ y – b = m(x-a) – m^2p $ .
-). INGAT, titik $ (a,b) $ artinya $ a $ merupakan absis $(x)$ dan $ b $ merupakan ordinat $(y)$.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Elips

Contoh Soal Persamaan garis singgung parabola (PGSP Kedua) :

4). Tentukan persamaan garis singgung parabola :
a). Parabola $ y^2 = 4x $ dengan gradien $ 2 $
b). Parabola $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). Parabola $ y^2 = 4x $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ p $ dari persamaan parabolanya:
Bentuk $ y^2 = 4x $ sama dengan $ y^2 = 4px $
Sesampai kemudian $ 4p = 4 \rightarrow p = 1 $.
*). Dari $ y^2 = 4x $ , yang pangkat satu merupakan $ x $
PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = 1 $ dan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx + \frac{p}{m} \\ y & = 2x + \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 2x + \frac{1}{2} $.

b). Parabola $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ p $ dan klimaks :
Bentuk $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ sama dengan $ (y- b)^2 = 4p(x – a) $
Sesampai kemudian $ 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
$ x – a = x + 2 \rightarrow a = -2 $
$ y – b = y – 1 \rightarrow b = 1 $
*). Dari $ (y- 1)^2 = -8(x + 2) $ , yang pangkat satu merupakan $ x $
PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
Karena ada klimaks $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) + \frac{p}{m} $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -2 $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) + \frac{p}{m} \\ y- 1 & = -1.(x-(-2)) + \frac{-2}{-1} \\ y- 1 & = -1.(x+ 2) + 2 \\ y- 1 & = -x – 2 + 2 \\ y & = -x + 1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = -x + 1 $.

5). Tentukan persamaan garis singgung parabola :
a). Parabola $ x^2 = -12y $ dengan gradien $ 3 $
b). Parabola $ (x – 2)^2 = 4(y + 1) $ dengan gradien $ 2 $
Penyelesaian :
a). Parabola $ x^2 = -12y $ dengan gradien $ 3 $
*). Menentukan nilai $ p $ dari persamaan parabolanya:
Bentuk $ x^2 = -12y $ sama dengan $ x^2 = 4py $
Sesampai kemudian $ 4p = -12 \rightarrow p = -3 $.
*). Dari $ x^2 = -12y $ , yang pangkat satu merupakan $ y $
PGSP-nya : $ y = mx – m^2p $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -3 $ dan $ m = 3 $ :
$ \begin{align} y & = mx – m^2p \\ y & = 3x – 3^2 . (-3) \\ y & = 3x + 27 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 3x + 27 $.

b). Parabola $ (x – 2)^2 = 4(y + 1) $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ p $ dan klimaks :
Bentuk $ (x – 2)^2 = 4(y + 1) $ sama dengan $ (x – a)^2 = 4p(y-b) $
Sesampai kemudian $ 4p = 4 \rightarrow p = 1 $.
$ x – a = x- 2 \rightarrow a = 2 $
$ y – b = y + 1 \rightarrow b = -1 $
*). Dari $ (x – 2)^2 = 4(y + 1) $ , yang pangkat satu merupakan $ y $
PGSP-nya : $ y = mx – m^2p $
Karena ada klimaks $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) – m^2p $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = 1 $ dan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) – m^2p \\ y- (-1) & = 2(x-2) – 2^2. 1 \\ y + 1 & = 2 x- 4 – 4 \\ y & = 2x – 9 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 2x – 9 $.

Baca Juga:   Irisan Kerucut (Konik)

6). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ y^2 = -8(x – 3) $ yang sejajar dengan garis $ 4x – 2y + 7 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ 4x – 2y + 7 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-4}{-2} = 2 $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yaitu $ m = 2 $.
Silahkan baca artikel : “Hubungan dua garis lurus“.
*). Menentukan nilai $ p $ dan klimaks :
Bentuk $ y^2 = -8(x – 3) $ sama dengan $ (y- b)^2 = 4p(x – a) $
Sesampai kemudian $ 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
$ x – a = x – 3 \rightarrow a = 3 $
$ y – b = y \rightarrow b = 0 $
*). Dari $ y^2 = -8(x – 3) $ , yang pangkat satu merupakan $ x $
PGSP-nya : $ y = mx + \frac{p}{m} $
Karena ada klimaks $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) + \frac{p}{m} $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -2 $ dan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) + \frac{p}{m} \\ y- 0 & = 2(x-3) + \frac{-2}{2} \\ y & = 2x- 6 – 1 \\ y & = 2x-7 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 2x – 7 $.

7). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ (x + 1)^2 = -4(y-3) $ yang tegak lurus dengan garis $ -x – 3y = 1 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x – 3y = 1 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-3} = – \frac{1}{3} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow – \frac{1}{3} . m_2 = – 1 \rightarrow m_2 = 3 $.
Artinya gradien garis singgungnya merupakan $ m = 3 $.
*). Menentukan nilai $ p $ dan klimaks :
Bentuk $ (x + 1)^2 = -4(y-3) $ sama dengan $ (x – a)^2 = 4p(y-b) $
Sesampai kemudian $ 4p = -4 \rightarrow p = -1 $.
$ x – a = x + 1 \rightarrow a = -1 $
$ y – b = y – 3 \rightarrow b = 3 $
*). Dari $ (x + 1)^2 = -4(y-3) $ , yang pangkat satu merupakan $ y $
PGSP-nya : $ y = mx – m^2p $
Karena ada klimaks $ (a,b) $ , maka
PGSP-nya : $ y- b = m(x-a) – m^2p $
*). Menentukan PGSP dengan $ p = -1 $ dan $ m = 3 $ :
$ \begin{align} y- b & = m(x-a) – m^2p \\ y- 3 & = 3(x-(-1)) – 3^2. (-1) \\ y- 3 & = 3x + 3 + 9 \\ y & = 3x + 15 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung parabolanya : $ y = 3x + 15 $.

8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ x^2 – 2x – 8y – 7 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x – 2y – 3 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan referensi soal (8) ini, pertama kita ubah dahulu bentuk $ x^2 – 2x – 8y – 7 = 0 $ menjadi $(x – a)^2 = 4p(y-b) $ dengan “cara mekomplekskan kuadrat sempurna“.
*). Langkah berikutnya seakan-akan dengan referensi soal nomor (7) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.

Persamaan Garis Singgung Parabola (PGSP) Ketiga
       Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung Parabola yaitu garis singgung parabola yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar parabola. Bentuk PGSP Ketiga ini :

-). Untuk bentuk PGSP Ketiga ini akan kita lanjutkan lain kali, sementara cukup hingga bentuk PGSP Kedua dahulu ya. Semangat belajar, dan bersabar menantikan kelanjutan pembahasan bab akhirnya.

      Penterangan untuk PGSP Ketiga ini sudah ada dalam artikel “Persamaan Garis Singgung Titik diluar Parabola“. Sengaja kami buat dalam artikel tersendiri alasannya ialah penterangannya cukup panjang.

       Demikian pembahasan bahan Persamaan Garis Singgung Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut“.