Persamaan Hiperbola Dan Unsur-Unsurnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Materi irisan kerucut meliputi lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola, dimana yang sudah kita bahas merupakan “persamaan parabola“, “persamaan lingkaran“, dan “persamaan elips“. Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya. Kurva Hiperbola kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan bangkit ruang kerucut ibarat tampak pada gambar berikut ini. Hiperbola sanggup didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut merupakan tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. Bagaimana cara menemukan persamaan Hiperbolanya?, silahkan teman-teman baca pada artikel “cara menemukan persamaan Hiperbola“. Kurva Hiperbola terdapat dua bentuk tergantung dari sumbu nyatanya ialah sejajar X dan sejajar Y. Pada artikel ini kita lebih fokus pada Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya yang disertai contoh-contoh soal dan tentu trik gampang dalam mengingat Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya.

Perhatikan ilustrasi kurva Hiperbola dan unsur-unsurnya berikut ini.

Unsur-unsur dari kurva Hiperbola di atas ialah :
*). Titik $ P(x,y) $ merupakan titik sembarang pada Hiperbola sesampai kemudian berlaku $ |F_1P| – |F_2P| = 2a $
*). Titik sentra Hiperbola : $ M(0,0) $
*). Titik fokus Hiperbola : $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $
*). Sumbu Simetri :
-). Sumbu utama, ialah sumbu X.
-). Sumbu sekawan, ialah sumbu Y.
*). Sumbu nyata, ialah $ AB = 2a $ .
*). Sumbu imajiner, ialah $ CD = 2b $ .
*). Titik puncak Hiperbola, ialah titik $ A(-a.0) $ dan $ B(a,0) $ merupakan titik potong Hiperbola dengan sumbu faktual
*). Latus rectum merupakan garis melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $ yang tegak lurus dengan sumbu nyata. Pada gambar, garis latus rectumnya merupakan garis warna birus. Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $.
*). Hubungan $ a, b$ , dan $ c $ merupakan berlaku pythagoras ialah $ c^2 = a^2 + b^2 $ pada segitiga $ DMB $.
*). Eksentrisitas $(e)$ merupakan perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu nyatanya, sesampai kemudian sanggup kita tulis rumusnya : $ e = \frac{c}{a} $.
*). Direktris merupakan sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu faktual yang ditunjukkan oleh garis $ g $ dan gris $ h $. Persamaan direktris masing-masing : garis $ g $ merupakan $ x = -\frac{a^2}{c} $ dan garis $ h $ merupakan $ x = \frac{a^2}{c} $.
*). Adapun persamaan Hiperbola yang sesuai dengan ilustrasi di atas merupakan $ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $.

         Sesuai dengan sumbu faktual dan titik pusat, Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat bab ialah :
1). Persamaan Hiperbola dengan sumbu faktual sejajar sumbu X dan titik sentra $ M(0,0) $
2). Persamaan Hiperbola dengan sumbu faktual sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(0,0) $
3). Persamaan Hiperbola dengan sumbu faktual sejajar sumbu X dan titik sentra $ M(p,q) $
4). Persamaan Hiperbola dengan sumbu faktual sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(p,q) $
       Pada penterangan di atas, persamaan Hiperbola jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.

Persamaan Hiperbola dengan sumbu faktual sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(0,0) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 3 di atas, persamaan Hiperbolanya merupakan
$ – \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik sentra : $ (0,0) $
-). Titik Fokus : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ dan $B(0,a)$ .
-). Sumbu Utama merupakan sumbu Y.
-). Sumbu sekawan merupakan sumbu X.
-). Panjang sumbu faktual $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu faktual sejajar sumbu X dan titik sentra $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 4 di atas, persamaan Hiperbolanya merupakan
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik sentra : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q) \, $ dan $ B(p+a,q)$.
-). Sumbu Utama merupakan sumbu X’ (garis $ y = q $).
-). Sumbu sekawan merupakan sumbu Y’ (garis $ x = p $).
-). Panjang sumbu faktual $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu faktual sejajar sumbu Y dan titik sentra $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 5 di atas, persamaan Hiperbolanya merupakan
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik sentra : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q – c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q – a) \, $ dan $ B(p, q + a)$.
-). Sumbu Utama merupakan sumbu Y’ (garis $ x = p $).
-). Sumbu sekawan merupakan sumbu X’ (garis $ y = q $).
-). Panjang sumbu faktual $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Elips

       Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal ialah pertama : diketahui persamaan Hiperbolanya dan kita diminta memilih unsur-unsur Hiperbolanya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur Hiperbolanya dan kita diminta memilih persamaan Hiperbolanya.

$ \spadesuit \, $ Trik gampang memilih unsur-unsur pada Hiperbola yang diketahui persamaan Hiperbolanya
Trik (I) : nilai $ a^2 $ merupakan nilai yang ada dibawah bab positif, sesampai kemudian sisanya merupakan nilai $ b^2 $.
Trik (II) : Letak nilai $ a^2 $ memilih sumbu nyatanya. Jika $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbolanya $ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika $ a $ ada di bawah sumbu Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbolanya $ -\frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2} = 1 $ atau $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
Trik (III) : Nilai $ c $ kita tentukan dari $ c^2 = a^2 + b^2 $.
Triks (IV) : Untuk memilih titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik sentra $ M(p,q) $ searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah bab $ x $ saja ialah kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah bab $ y $ saja ialah ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya ialah $ a $ atau $ c $. Nilai $ c $ selalu menggeser ke titik fokus, nilai $ a $ menggeser ke titik puncak.
Trik (V) : titik fokus dan klimaks selalu ada di sumbu nyata.

Contoh Soal Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 $
b). $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ \frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bab $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 16 \rightarrow c^2 = 25 \rightarrow c = 5 $.
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu faktual $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 4 = 8 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.4^2}{3} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = – \frac{9}{5} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{5} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = – \frac{9}{5} $ atau $ x = \frac{9}{5} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 5 $:
$ F_1(0-5,0) = (-5,0) $
$ F_2(0+5,0) = (5,0) $
-). Titik Puncak pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0-3,0) = (-3,0) $
$ B(0+3,0) = (3,0) $

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
*). Mengubah persamaannya :
$ \begin{align} -9x^2 + 4y^2 & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ -\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ -\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bab $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 4 \rightarrow c^2 = 13 \rightarrow c = \sqrt{13} $.
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu faktual $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 2 = 4 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.2^2}{3} = \frac{8}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = – \frac{9}{\sqrt{13}} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{\sqrt{13}} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = – \frac{9}{\sqrt{13}} $ atau $ x = \frac{9}{\sqrt{13}} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = \sqrt{13} $:
$ F_1(0,0-\sqrt{13}) = (0,-\sqrt{13}) $
$ F_2(0,0+\sqrt{13}) = (0,\sqrt{13}) $
-). Titik Puncak pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0,0-3) = (0,-3) $
$ B(0,0+3) = (0,3) $

2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{(x+1)^2}{36} – \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
b). $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ frac{(x+1)^2}{36} – \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bab $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 36 \rightarrow a = 6 $
$ b^2 = 64 \rightarrow b = 8 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 36 + 64 \rightarrow c^2 = 100 \rightarrow c = 10 $.
$ x – p = x + 1 \rightarrow p = -1 $
$ y – q = y – 2 \rightarrow q = 2 $
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu faktual $ = 2a = 2 . 6 = 12 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 8 = 16 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.8^2}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} + p = – \frac{6^2}{10} + (-1) = – \frac{23}{5} \, $
atau $ x = \frac{a^2}{c} + p = \frac{6^2}{10} + (-1) = \frac{8}{5} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = – \frac{23}{5} $ atau $ x = \frac{8}{5} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (-1,2) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 10 $:
$ F_1(-1-10,2) = (-11,2) $
$ F_2(-1+10,2) = (9,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 6 $:
$ A(-1-6,2) = (-7,2) $
$ B(-1+6,2) = (5,2) $

Baca Juga:   Cara Menemukan Persamaan Hiperbola

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bab $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 144 \rightarrow a = 12 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 144 + 25 \rightarrow c^2 = 169 \rightarrow c = 13 $.
$ x-p = x – 1 \rightarrow p = 1 $
$ y – q = y – 3 \rightarrow q = 3 $
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sesampai kemudian persamaaan yang digunakan $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu faktual $ = 2a = 2 . 12 = 24 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.5^2}{12} = \frac{25}{6} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{13}{12} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} + q = – \frac{12^2}{13} + 3 = -\frac{105}{13} \, $
atau $ y = \frac{a^2}{c} + q = \frac{12^2}{13} + 3 = \frac{183}{13} $
sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = -\frac{105}{13} $ atau $ x = \frac{183}{13} $
-). Titik sentra : $ M(p,q) = (1,3) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = 13 $:
$ F_1(1, 3 – 13) = (1,-10) $
$ F_2(1,3+13) = (1,16) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 12 $:
$ A(1,3-12) = (1,-9) $
$ B(1,3+12) = (1,15) $

3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola $ 9x^2 – 16y^2 + 36x – 32y – 122 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan Hiperbolanya dengan “cara mekomplekskan kuadrat sempurna
$ \begin{align} 9x^2 – 16y^2 + 36x – 32y – 122 & = 0 \\ 9x^2 + 36x – 16y^2 – 32y & = 122 \\ 9(x^2 + 4x) – 16(y^2 + 2y) & = 122 \\ 9[(x + \frac{4}{2})^2 – (\frac{4}{2})^2] – 16[(y + \frac{2}{2})^2 – (\frac{2}{2})^2 ] & = 122 \\ 9[(x +2)^2 – 4] – 16[(y + 1)^2 – 1 ] & = 122 \\ 9(x +2)^2 – 36 – 16(y – 1)^2 + 16 & = 122 \\ 9(x +2)^2 – 16(y – 1)^2 & = 122 + 36 – 16 \\ 9(x +2)^2 – 16(y – 1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x +2)^2}{144} – \frac{16(y – 1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x +2)^2}{16} – \frac{(y – 1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Langkah berikutnya ibarat dengan pola (2) di atas bab (a).

$ \clubsuit \, $ Trik gampang memilih persamaan Hiperbola yang diketahui unsur-unsurnya
       Berikut ada sedikit trik gampang sesampai kemudian kita tak perlu mengingat semua rumus persamaan Hiperbolanya apabila diketahui unsur-unsur Hiperbolanya.

i). Diketahui titik fokus, perhatikan bab $ x $ atau $ y $ kah yang berubah. Jika yang berubah $ x $ nya, maka sumbu faktual sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika yang berubah $ y $ nya, maka sumbu faktual sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ – \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus $ = 2c $
Jarak dua klimaks = $ 2a $
iii). gunakan juga teorema pythagoras : $ c^2 = a^2 + b^2 $
iv). Untuk memilih titik sentra $ M(p,q) $ , kita memakai konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik $ (x_1,y_1) $ dan titik $ (x_2,y_2) $ merupakan $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ . Titik sentra selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.

Contoh soal diketahui unsur-unsur Hiperbola :

4). Tentukan persamaan Hiperbola apabila diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu faktual 2.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $ serta panjang sumbu imajiner 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (4,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu faktual = 2 ,
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). Jarak dua fokus = $ 6-2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = b^2 + 1 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-4)^2}{1} – \frac{(y-3)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-4)^2}{1} – \frac{(y-3)^2}{3} = 1 $.

Baca Juga:   Irisan Kerucut (Konik)

b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sesampai kemudian sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu imajiner = 4 ,
$ 2b = 4 \rightarrow b = 2 $
-). Jarak dua fokus = $ 5 – (-3) = 8 $
$ 2 c = 8 \rightarrow c = 4 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 16 = a^2 + 4 \rightarrow a^2 = 12 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-(-1))^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} = 1 $.

5). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $ serta titik puncaknya $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $, yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-4 + 6}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 – (-4) = 10 $
$ 2 c = 10 \rightarrow c = 5 $
-). Titik puncak $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $.
Jarak dua klimaks = $ 4 – (-2) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{9} – \frac{(y-1)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-1)^2}{9} – \frac{(y-1)^2}{16} = 1 $.

6). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (1,1) $ dan $ (1,5) $ serta titik puncaknya $ (1,2) $ dan $ (1,4) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,1) $ dan $ (1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sesampai kemudian sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 5 – 1 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Titik puncak $ (1,2) $ dan $ (1,4) $.
Jarak dua klimaks = $ 4 – 2 = 2 $
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} = 1 $.

7). Tentukan persamaan Hiperbola apabila diketahui titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $ serta nilai eksentrisitasnya $ 2 $ !
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $, yang berubah $ y $ nya, sesampai kemudian sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (1,4) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 – 2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Eksentrisitas :
$ e = 2 \rightarrow \frac{c}{a} = 2 \rightarrow \frac{2}{a} = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-4)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + (y-4)^2 = 1 $.

8). Tentukan persamaan Hiperbola apabila diketahui klimaks $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $ serta salah satu persamaan direktrisnya merupakan $ x = -\frac{14}{5} $ !
Penyelesaian :
*). Titik puncak $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $, yang berubah $ x $ nya, sesampai kemudian sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik sentra diantara dua titik Puncak :
$ (p,q) = \left( \frac{-4+2}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = (-1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua puncak = $ 2- (-4) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). Persamaan direktrisnya $ x = -\frac{14}{5} $ ada di sebelah kiri titik puncak, sesampai kemudian persamaan direktrisnya $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ :
$ -\frac{a^2}{c} + p = -\frac{14}{5} \rightarrow -\frac{3^2}{c} + (-1) = -\frac{9}{5} -1 \rightarrow -\frac{9}{c} = -\frac{9}{5} \rightarrow c = 5 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} – \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{9} – \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{9} – \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x+1)^2}{9} – \frac{(y-3)^2}{16} = 1 $.

       Demikian pembahasan bahan Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” ialah “kedudukan titik dan garis terhadap Hiperbola”.