Persamaan Parabola Dan Unsur-Unsurnya

Posted on

         Pondok Soal.com – Materi yang akan kita bahas berkaitan dengan “irisan kerucut (konik)” merupakan parabola. Pada artikel ini kita akan membahas bahan Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya. Kurva parabola kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan berdiri ruang berbentuk kerucut. Secara definisi, parabola sanggup diartikan sebagai daerah kedudukan titik-titik (misalkan P) sedemikian sesampai kemudian jarak titik P dengan titik fokus (titik F) sama dengan jarak titik P ke garis direktris (garis arahnya). Himpunan semua titik $ P(x,y) $ pada kurva parabola sanggup kita susun suatu persamaan ialah persamaan parabola. Untuk cara menemukan persamaan parabola, silahkan baca artikel “Cara Menemukan Persamaan Parabola“. Parabola terdapat empat arah ialah hadap kanan, hadap kiri, hadap atas, dan hadap bawah. Pada artikel ini kita akan lebih fokus pada Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya yang kita kompleksi dengan bermacam pola soal serta trik gampang dalam mengingat hal-hal yang berkaitan persamaan bola.

Perhatikan ilustrasi kurva parabola dan unsur-unsurnya berikut ini.

Unsur-unsur dari kurva parabola di atas ialah :
-). Kurva parabolanya ditandai dengan garis lengkung warna biru.
-). Titik $ F(p,0) $ merupakan titik Fokus parabola.
-). Titik $ O(0,0) $ merupakan klimaks parabola
-). Garis $ g $ merupakan garis arah atau direktris.
-). garis mendatar yang melalui titik Fokus dan klimaks parabola serta tegak kurus dengan direktris disebut garis sumbu simetri, pada gambar ini garis sumbu simetrinya merupakan sumbu X.
-). Garis $ L_1 $ ke $ L_2 $ disebut Latus Rectum dengan panjangnya sanggup dihitung ialah $ L_1L_2 = |4p| $.
-). Jarak titik P ke F sama dengan jarak P ke garis direktris (garis $ g $).

         Sesua dengan arah atau hadap dari kurva parabola, Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya sanggup dibagi menjadi empat ialah hadap kanan, kiri, atas, dan bawah. Sesuai letak titik puncaknya, Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya sanggup dibagi menjadi dua ialah persamaan parabola dengan klimaks $ (0,0) $ dan persamaan parabola dengan klimaks $ M(a,b) $. Sebagaimana pada artikel “cara menemukan persamaan parabola”, ada empat rumus persamaan parabola ialah $ x^2 = 4py $, $ x^2 = -4py $, $ y^2 = 4px $ , dan $ y^2 = -4y $ . Untuk memudahkan dalam mengingat persamaan parabola, pada blog ini kita bagi persamaan parabolanya hanya menjadi dua saja ialah $ x^2 = 4py $ dan $ y^2 = 4px $ dengan nilai $ p $ sanggup konkret dan juga sanggup negatif.

Persamaan Parabola dan unsur-unsurnya, klimaks $ (0,0) $
$\clubsuit \, $ Bentuk pertama ialah : $ y^2 = 4px $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (0,0) $
2). Titik Fokus $ F(p,0) $
3). Persamaan direktris : $ x = -p $
4). Sumbu Simetri : $ y = 0 $
5). Parabola searah sumbu X, apabila $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke kanan, dan apabila $ p <0 br="" ke="" kiri.="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
$\spadesuit \, $ Bentuk Kedua ialah : $ x^2 = 4py $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (0,0) $
2). Titik Fokus $ F(0, p) $
3). Persamaan direktris : $ y = -p $
4). Sumbu Simetri : $ x = 0 $
5). Parabola searah sumbu Y, apabila $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke atas, dan apabila $ p <0 bawah.="" div="" ke="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
Persamaan Parabola dan unsur-unsurnya, klimaks $ M(a,b) $
$\clubsuit \, $ Bentuk pertama ialah : $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (a,b) $
2). Titik Fokus $ F(a+p,0) $
3). Persamaan direktris : $ x = a-p $
4). Sumbu Simetri : $ y = b $
5). Parabola searah sumbu X, apabila $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke kanan, dan apabila $ p <0 br="" ke="" kiri.="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
$\spadesuit \, $ Bentuk Kedua ialah : $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (a,b) $
2). Titik Fokus $ F(0,b+ p) $
3). Persamaan direktris : $ y =b -p $
4). Sumbu Simetri : $ x = a $
5). Parabola searah sumbu Y, apabila $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke atas, dan apabila $ p <0 bawah.="" div="" ke="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">

Trik Praktis Mengingat persamaan parabola dan unsur-unsurnya.
*). Bentuk $ y^2 = 4px $ atau $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ :
-). Memiliki arah kurva searah sumbu X (ke kanan atau ke kiri), ciri-cirinya $ x $ pangkat satu.
-). Jika diketahui klimaks dan Fokus, yang berubah $ x $ (absisnya).
-). Memiliki direktris $ x = … $
-). Rumus Fokus Plus ($+$) dan direktris minus ($-$) :
$ \, \, \, \, \, F(a+p, b) \, $ dan $ x = a – p $

*). Bentuk $ x^2 = 4py $ atau $ (x-b)^2 = 4p(y-a) $ :
-). Memiliki arah kurva searah sumbu Y (ke atas atau ke bawah), ciri-cirinya $ y $ pangkat satu.
-). Jika diketahui klimaks dan Fokus, yang berubah $ y $ (absisnya).
-). Memiliki direktris $ y = … $
-). Rumus Fokus Plus ($+$) dan direktris minus ($-$) :
$ \, \, \, \, \, F(a, b+p) \, $ dan $ y = b – p $

*). Ciri-ciri umum :
-). Untuk klimaks $ (a,b) $ , $ a $ mengurangkan $ x $ dan $ b $ mengurangkan $ y $,
dari $ y^2 = 4px $ menjadi $ (y – b)^2 = 4p(x-a) $.
dari $ x^2 = 4py $ menjadi $ (x – a)^2 = 4p(y – b) $.
-). Titik Fokus selalu ada di adalam parabola dan direktris ada di luar kurva serta klimaks selalu ada di antara titik fokus dan direktris.

Contoh-contoh Soal Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ y^2 = 12x $
b). $ y^2 = – 6x $
Penyelesaian :
a). $ y^2 = 12x $
*). Bentuk $ y^2 = 12x $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ y^2 = 4px $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(p,0) = (3,0) $
Direktris : $ x = -p \rightarrow x = -3 $
Sumbu simetri : $ y = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.3| = 12 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ y^2 = 12x $ ialah $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = 3 $ konkret maka arahnya ke kanan.

b). $ y^2 = – 6x $
*). Bentuk $ y^2 = – 6x $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ y^2 = 4px $, artinya :
$ 4p = -6 \rightarrow p = -\frac{3}{2} $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(p,0) = (-\frac{3}{2},0) $
Direktris : $ x = -p \rightarrow x = -(-\frac{3}{2}) \rightarrow x = \frac{3}{2} $
Sumbu simetri : $ y = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-\frac{3}{2})| = |-6| = 6 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ y^2 = -6x $ ialah $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = -\frac{3}{2} $ negatif maka arahnya ke kiri.

2). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ x^2 = 8y $
b). $ x^2 = -12y $
Penyelesaian :
a). $ x^2 = 8y $
*). Bentuk $ x^2 = 8y $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ x^2 = 4py $, artinya :
$ 4p = 8 \rightarrow p = 2 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(0,p) = (0,2) $
Direktris : $ y = -p \rightarrow y = -2 $
Sumbu simetri : $ x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.2| = 8 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ x^2 = 8y $ ialah $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = 2 $ konkret maka arahnya ke atas.

b). $ x^2 = -12y $
*). Bentuk $ x^2 = -12y $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ x^2 = 4py $, artinya :
$ 4p = -12 \rightarrow p = -3 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(0,p) = (0,-3) $
Direktris : $ y = -p \rightarrow y = -(-3) \rightarrow y = 3 $
Sumbu simetri : $ x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-3)| = 12 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ x^2 = -12y $ ialah $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = -3 $ negatif maka arahnya ke bawah.

3). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ (y+1)^2 = 12(x-3) $
b). $ (y-2)^2 = -8(x+5) $
Penyelesaian :
a). $ (y+1)^2 = 12(x-3) $
*). Bentuk $ (y+1)^2 = 12(x-3) $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
$ x – a = x – 3 \rightarrow a = 3 $
$ y – b = y + 1 \rightarrow b = -1 $
$ a + p = 3 + 3 = 6 $ dan $ a – p = 3-3 = 0 $
Titik puncak : $ (a,b) = (3,-1) $
Titik fokus : $ F(a+p,b) = (6,-1) $
Direktris : $ x = a-p \rightarrow x = 0 $
Sumbu simetri : $ y = b \rightarrow y = -1 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.3| = 12 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ (y+1)^2 = 12(x-3) $ ialah $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = 3 $ konkret maka arahnya ke kanan.

 

b). $ (y-2)^2 = -8(x+5) $
*). Bentuk $ (y-2)^2 = -8(x+5) $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $, artinya :
$ 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
$ x – a = x +5 \rightarrow a = -5 $
$ y – b = y -2 \rightarrow b = 2 $
$ a + p = -5 + (-2) = -7 $ dan $ a – p = -5 – (-2) = -3 $
Titik puncak : $ (a,b) = (-5,2) $
Titik fokus : $ F(a+p,b) = (-7,2) $
Direktris : $ x = a-p \rightarrow x = -3 $
Sumbu simetri : $ y = b \rightarrow y = 2 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-2)| = 8 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ (y-2)^2 = -8(x+5) $ ialah $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = -2 $ negatif maka arahnya ke kiri.

4). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ (x-2)^2 = 6(y-3) $
b). $ x^2 = -16(y+5) $
c). $ (x+1)^2 = 12y $
Penyelesaian :
a). $ (x-2)^2 = 6(y-3) $
*). Bentuk $ (x-2)^2 = 6(y-3) $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = 6 \rightarrow p = \frac{3}{2} $.
$ x – a = x – 2 \rightarrow a = 2 $
$ y – b = y -3 \rightarrow b = 3 $
$ b + p = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $ dan $ b – p = 3-\frac{3}{2} = \frac{3}{2} $
Titik puncak : $ (a,b) = (2,3) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (2, \frac{9}{2}) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = \frac{3}{2} $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = 2 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.\frac{3}{2}| = 6 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ (x-2)^2 = 6(y-3) $ ialah $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = \frac{3}{2} $ konkret maka arahnya ke atas.

b). $ x^2 = -16(y+5) $
*). Bentuk $ x^2 = -16(y+5) $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = -16 \rightarrow p = -4 $.
$ x – a = x \rightarrow a = 0 $
$ y – b = y + 5 \rightarrow b = -5 $
$ b + p = -5 + (-4) = -9 $ dan $ b – p = -5 – (-4) = -1 $
Titik puncak : $ (a,b) = (0,-4) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (0, -9) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = -1 $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-4)| = |-16| = 16 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ x^2 = -16(y+5) $ ialah $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = -4 $ negatif maka arahnya ke bawah.

c). $ (x+1)^2 = 12y $
*). Bentuk $ (x+1)^2 = 12y $ seolah-olah dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
$ x – a = x + 1 \rightarrow a = -1 $
$ y – b = y \rightarrow b = 0 $
$ b + p = 0 + 3 = 3 $ dan $ b – p = 0-3 = -3 $
Titik puncak : $ (a,b) = (-1,0) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (-1,3) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = -3 $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = -1 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-4)| = |-16| = 16 $
*). Untuk grafiknya, alasannya persamaan parabolanya $ (x+1)^2 = 12y $ ialah $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = 3 $ konkret maka arahnya ke atas.

5). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ x^2 + 4x – 6y – 14 = 0 $
b). $ y^2 – 6y – 4x – 11 = 0 $
c). $ x^2 + 12y – 24 = 0 $
d). $ 2y^2 – 3x + 15 = 0 $
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan mengerjakan soal nomor 5 ini, kita ubah dahulu persamaan pada soal menjadi bentuk persamaan parabola pada teori di atas dengan cara mekomplekskan kuadrat sempurna. Silahkan pelajari artikelnya di “Cara mekomplekskan Kuadrat Sempurna“.

Baca Juga:   Persamaan Elips Dan Unsur-Unsurnya

a). Mengubah persamaan parabola:
$ \begin{align} x^2 + 4x – 6y – 14 & = 0 \\ x^2 + 4x & = 6y + 14 \\ (x + \frac{4}{2})^2 – (\frac{4}{2})^2 & = 6y + 14 \\ (x + 2)^2 – 4 & = 6y + 14 \\ (x + 2)^2 & = 6y + 18 \\ (x + 2)^2 & = 6(y + 3) \end{align} $
Sesampai kemudian bentuk persamaannya menjadi $ (x+2)^2 = 6(y+3) $, langkah berikutnya seolah-olah dengan pola 4 di atas.
b). Mengubah persamaan parabola:
$ \begin{align} y^2 – 6y – 4x – 11 & = 0 \\ y^2 – 6y & = 4x + 11 \\ (y- \frac{6}{2})^2 – (\frac{6}{2})^2 & = 4x + 11 \\ (y- 3)^2 – 9 & = 4x + 11 \\ (y- 3)^2 & = 4x + 20 \\ (y- 3)^2 & = 4(x + 5) \end{align} $
Sesampai kemudian bentuk persamaannya menjadi $ (y- 3)^2 = 4(x + 5) $, langkah berikutnya seolah-olah dengan pola 3 di atas.
c). Mengubah persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 + 12y – 24 & = 0 \\ x^2 & = -12y + 24 \\ x^2 & = -12(y – 2) \end{align} $
Sesampai kemudian bentuk persamaannya menjadi $ x^2 = -12(y – 2) $, langkah berikutnya seolah-olah dengan pola 4 di atas.
d). Mengubah persamaan parabola :
$ \begin{align} 2y^2 – 3x + 15 & = 0 \\ 2y^2 & = 3x – 15 \\ 2y^2 & = 3(x – 5) \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ y^2 & = \frac{3}{2}(x – 5) \end{align} $
Sesampai kemudian bentuk persamaannya menjadi $ y^2 = \frac{3}{2}(x – 5) $, langkah berikutnya seolah-olah dengan pola 3 di atas.

6). Tentukan persamaan parabola apabila diketahui :
a). klimaks $ (-1,2) $ dan Fokus $ (3,2) $
b). klimaks $ (2,-3) $ dan Fokus $ (2,-4) $
Penyelesaian :
*). Perhatikan klimaks dan titik fokusnya, apabila yang berubah $ x $ (absisnya) maka persamaannya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ , dan apabila yang berubah $ y $ (ordinatnya), maka persamaannya $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $.

Baca Juga:   Persamaan Garis Singgung Parabola

a). Titik puncak $ (-1,2) $ dan Fokus $ (3,2) $ , yang berubah $ x $ dari $ – 1 $ menjadi $ 3 $ sesampai kemudian persamaannya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $.
-). Titik puncak $ (a,b) = (-1,2) $ , nilai $ a = -1 $ dan $ b = 2 $.
-). Titik fokus $ (a+p,b) = ( 3,2) $
$ a + p = 3 \rightarrow -1 + p = 3 \rightarrow p = 4 $.
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-2)^2 & = 4.4(x-(-1)) \\ (y-2)^2 & = 16(x+1) \end{align} $

b). Titik puncak $ (2,-3) $ dan Fokus $ (2,-4) $ , yang berubah $ y $ dari $ – 3 $ menjadi $ -4 $ sesampai kemudian persamaannya $ (x – a)^2 = 4p(y-b) $.
-). Titik puncak $ (a,b) = (2,-3) $ , nilai $ a = 2 $ dan $ b = -3 $.
-). Titik fokus $ (a, b+p) = ( 2, – 4) $
$ b + p = -4 \rightarrow -3 + p = -4 \rightarrow p = -1 $.
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x – a)^2 & = 4p(y-b) \\ (x – 2)^2 & = 4. (-1)(y-(-3)) \\ (x – 2)^2 & = -4(y+3) \end{align} $

7). Tentukan persamaan parabola apabila diketahui :
a). klimaks $ (1,-7) $ dan direktris $ x + 1 = 0 $
b). titik Fokus $ (-3,5) $ dan direktris $ y + 3 = 0 $
Penyelesaian :
*). Perhatikan persamaan direktrisnya, apabila persamaannya dalam bentuk $ x = …$ maka persamaan parabolanya $ (y – b)^2 = 4p(x-a) $ , dan apabila persamaan direktrisnya $ y = … $ maka persamaan parabolanya $ (x – a)^2 = 4p(y-b) $.

a). Direktrisnya $ x +1 = 0 \rightarrow x = -1 $, sesampai kemudian persamaan parabolanya $ (y-b)^2 = 4p( x – a) $
Titik puncak $ (a,b) = (1, -7) $ , nilai $ a = 1 $ dan $ b = -7 $
Direktris $ x = a – p \leftrightarrow x = – 1 $
sesampai kemudian $ a – p = -1 \rightarrow 1 – p = -1 \rightarrow p = 2 $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-(-7))^2 & = 4.2(x-1) \\ (y+7)^2 & = 8(x-1) \end{align} $

b). Direktrisnya $ y + 3 = 0 \rightarrow y = -3 $, sesampai kemudian persamaan parabolanya $ (x-a)^2 = 4p( y – b) $
Titik Fokus $ (a,b+p) = (-3,5) $ , nilai $ a = -3 $ dan $ b + p = 5 $
Direktris $ y = b – p \leftrightarrow y = -3 $
sesampai kemudian $ b – p = -3 $
Dari bentuk $ b + p = 5 $ dan $ b – p = -3 $, dengan eliminasi dan substitusi kita peroleh $ b = 1 $ dan $ p = 4 $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x-a)^2 & = 4p(y – b) \\ (x-(-3))^2 & = 4.4(y – 1) \\ (x+3)^2 & = 16(y – 1) \end{align} $

8). Tentukan persamaan parabola apabila diketahui klimaks $ (-3,1) $ dan melalui titik $ (5, -7) $ !
Penyelesaian :
*). Karena pada soal tak ada undangan arah atau hadap dari parabola, maka semua kecukupan kita hitung (arah sumbu X dan arah sumbu Y).

a). Parabola searah sumbu X dengan persamaan $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ .
titik puncaknya $ (a,b) = ( -3,1) $
*). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-1)^2 & = 4p(x-(-3)) \\ (y-1)^2 & = 4p(x+3) \, \, \, \, \, \, \text{(i)} \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui $ (5, -7) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} (y-1)^2 & = 4p(x+3) \\ (-7-1)^2 & = 4p(5+3) \\ 64 & = 4p.8 \\ 4p & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (y-1)^2 = 8(x+3) $

b). Parabola searah sumbu Y dengan persamaan $ (x – a)^2 = 4p(y – b) $ .
titik puncaknya $ (a,b) = ( -3,1) $
*). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x – a)^2 & = 4p(y – b) \\ (x – (-3))^2 & = 4p(y – 1) \\ (x + 3)^2 & = 4p(y – 1) \, \, \, \, \, \, \text{(ii)} \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui $ (5, -7) $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} (x + 3)^2 & = 4p(y – 1) \\ (5 + 3)^2 & = 4p(-7 – 1) \\ 64 & = 4p. (-8) \\ 4p & = -8 \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (x + 3)^2 = -8(y – 1) $

Baca Juga:   Kedudukan Garis Terhadap Parabola

9). Tentukan persamaan parabola apabila terdapat titik fokus $ (-2,4) $ dan melalui titik $ (2,1) $ serta searah sumbu Y (parabola menghadap atas atau bawah)!
Penyelesaian :
*). Kurva parabola searah sumbu Y terdapat persamaan $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $ .
Titik fokus $ (a, b+p) = ( -2, 4) $ , nilai $ a = -2 $ dan $ b + p = 4 \rightarrow b = 4 – p $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x-a)^2 & = 4p(y-b) \\ (x-(-2))^2 & = 4p(y-(4 – p)) \\ (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \, \, \, \, \, \, \, \text{….(i)} \end{align} $
-). Substitusikan titik yang dilalui $ (2,1) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (2 + 2)^2 & = 4p(1+ p -4) \\ 16 & = 4p(p -3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 & = p(p -3) \\ 4 & = p^2 – 3p \\ 0 & = p^2 – 3p – 4 \\ 0 & = (p + 1)(p-4) \\ p & = -1 \vee p = 4 \end{align} $
-). Sesampai kemudian persamaan parabolanya :
$ \begin{align} p = -1 \rightarrow (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (x + 2)^2 & = 4.(-1)(y+ (-1) -4) \\ (x + 2)^2 & = -4(y – 5) \\ p = 4 \rightarrow (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (x + 2)^2 & = 4.4(y+ 4 -4) \\ (x + 2)^2 & = 16y \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya merupakan $ (x + 2)^2 = -4(y – 5) $ atau $ (x + 2)^2 = 16y $ .

10. Tentukan persamaan parabola yang terdapat persamaan direktris $ x = -4 $ , sumbu simetri $ y = 4 $ dan melalui titik $ (11, – 8 ) $ !
Penyelesaian :
*). Karena direktrisnya $ x = …. $ maka persamaan parabolanya $ ( y – b)^2 = 4p(x-a) $ dan searah sumbu X.
*). Sumbu simetri $ y = b \leftrightarrow y = 4 $ sesampai kemudian $ b = 4 $.
*). Persamaan direktrisnya $ x = a-p \leftrightarrow x = -4 $ sesampai kemudian $ a – p = -4 \rightarrow a = p – 4 $
*). Persamaan parabolnya :
$ \begin{align} ( y – b)^2 & = 4p(x-a) \\ ( y – 4)^2 & = 4p(x-(p -4)) \\ ( y – 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \, \, \, \, \, \, \text{…(i)} \end{align} $
*). Substitusikan titik yang dilalui $ ( 11, -8 ) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} ( y – 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( -8 – 4)^2 & = 4p(11- p + 4) \\ 144 & = 4p(15- p) \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 36 & = p(15- p) \\ 36 & = 15p – p^2 \\ p^2 – 15p + 36 & = 0 \\ (p – 3)(p – 12) & = 0 \\ p = 3 \vee p & = 12 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ p $ ke pers(i) :
$ \begin{align} p = 3 \rightarrow ( y – 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( y – 4)^2 & = 4.3(x- 3 + 4) \\ ( y – 4)^2 & = 12(x+1) \\ p = 12 \rightarrow ( y – 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( y – 4)^2 & = 4.12(x- 12 + 4) \\ ( y – 4)^2 & = 48(x-8) \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ ( y – 4)^2 = 12(x+1) $ atau $ ( y – 4)^2 = 48(x-8) $ .

11). Tentukan persamaan parabola yang melalui tiga titik ialah $ (-2,1) $ , $ (1,4) $ , dan $ (1, -2) $ dan searah sumbu X!
Penyelesaian :
*). Persamaan parabola melaui tiga titik dan searah sumbu X merupakan $ y^2 + Ay + Bx + C = 0 $, persamaan parabola melaui tiga titik dan searah sumbu Y merupakan $ x^2 + Ax + By + C = 0 $.
*). Pada soal ini parabola searah sumbu X sesampai kemudian yang kita gunakan merupakan $ y^2 + Ay + Bx + C = 0 $ .
*). Substitusi ketiga titik yang dilalui oleh kurva parabola :
$ \begin{align} (1,4) \rightarrow 16 + 4A + B + C & = 0 \, \, \, \, ….(i) \\ (1,-2) \rightarrow 4 -2A + B + C & = 0 \, \, \, \, ….(ii) \\ (-2,1) \rightarrow 1 + A – 2B + C & = 0 \, \, \, \, ….(iii) \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 16 + 4A + B + C = 0 & \\ 4 -2A + B + C = 0 & – \\ \hline 12 + 6A = 0 & \\ A = -2 & \end{array} $
Pers(i) : $ 16 + 4A + B + C = 0 \rightarrow 16 + 4.(-2) + B + C = 0 \rightarrow B + C = – 8 \, $ …(iv)
Pers(iii): $ 1 + A – 2B + C = 0 \rightarrow 1 + (-2) – 2B + C = 0 \rightarrow -2B + C = 1 \, $ …(v)
*). Eliminasi pers(iv) dan pers(v) :
$ \begin{array}{cc} B + C = -8 & \\ -2B + C = 1 & – \\ \hline 3B = -9 & \\ B = -3 & \end{array} $
Pers(iv): $ B + C = -8 \rightarrow -3 + C = -8 \rightarrow C = -5 $.
Kita peroleh $ A = -2, B = -3 , C = -5 $.
Sesampai kemudian persamaan parabolanya :
$ y^2 + Ay + Bx + C = 0 \rightarrow y^2 -2y -3x -5 = 0 $
*). Kita ubah persamaan parabolanya :
$ \begin{align} y^2 -2y -3x -5 & = 0 \\ y^2 -2y & = 3x + 5 \\ (y – \frac{2}{2})^2 – (\frac{2}{2})^2 & = 3x + 5 \\ (y – 1)^2 – 1 & = 3x + 5 \\ (y – 1)^2 & = 3x + 6 \\ (y – 1)^2 & = 3(x + 2) \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (y – 1)^2 = 3(x + 2) $ .

       Demikian pembahasan bahan Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya yang dikompleksi dengan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “irisan kerucut” ialah “Kedudukan Garis terhadap Parabola”.