Pertidaksamaan Bentuk Akar

Posted on

         Pondok Soal.comPertaksamaan Bentuk Akar merupakan pertaksamaan yang melibatkan bentuk akar atau fungsi dalam akar. Fungsi yang ada dalam akar bentuknya bermacam macam, sanggup fungsi linear, fungsi kuadrat, bentuk pecahan, atau fungsi lainnya. Untuk memudahkan memahami pertaksamaan bentuk akar ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu bahan “Pertaksamaan secara Umum“, “Sifat-sifat Pertaksamaan“, “Pertaksamaan Linear“, “Pertaksamaan Kuadrat“, dan “Pertaksamaan Pecahan“.

Bentuk Umum dan penyelesaian pertaksamaan bentuk akar
       Pertaksamaan bentuk akar merupakan pertaksamaan yang fungsinya memuat akar.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertaksamaan bentuk akar memakai langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum sanggup dibaca pada bahan “Pertaksamaan secara umum“. Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.

$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar merupakan fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $

$ \spadesuit $ Berikut sedikit bentuk pertaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan bentuk akar $ \sqrt{4-2x} < \sqrt{x+3} $ !
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Solusi umum :
Menentukan akar-akar dengan kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{4-2x} & < \sqrt{x+3} \\ (\sqrt{4-2x})^2 & < (\sqrt{x+3})^2 \\ 4-2x & < x+3 \\ -2x – x & < 3 – 4 \\ – 3 x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi -3, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{-1}{-3} \\ x & > \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya HP1 = $ \{ x > \frac{1}{3} \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). $ \sqrt{4-2x} \geq 0 \rightarrow -2x \geq -4 \rightarrow x \leq 2 \, $ ….(HP2)
*). $ \sqrt{x + 3} > 0 \rightarrow x > -3 \, $ ….(HP3)
Sesampai lalu solusinya merupakan irisan dari semuanya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Pecahan

2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertaksamaan bentuk akar :
a). $ \sqrt{x^2 – x – 2 } < 2 $
b). $ \sqrt{x^2 – 4} > x – 3 $
c). $ \sqrt{x^2 – 4 } < x-3 $
Penyelesaian :
a). $ \spadesuit $ Solusi umum :
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 – x – 2 } & < 2 \\ (\sqrt{x^2 – x – 2 })^2 & < 2^2 \\ x^2 – x – 2 & < 4 \\ x^2 – x – 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
*).Garis bilangannya :

HP1 = $ \{ -2 < x < 3 \} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat (syarat bentuk akar)
$ \sqrt{x^2 – x – 2 } \rightarrow \, $ syaratnya : $ x^2 – x – 2 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 – x – 2 & \geq 0 \\ (x+1)(x-2) & \geq 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :

HP2 = $ \{ x \leq -1 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x \leq -1 \vee 2 \leq x < 3 \} $

b). $ \clubsuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 – 4} & > x – 3 \\ (\sqrt{x^2 – 4})^2 & > (x – 3)^2 \\ x^2 – 4 & > x^2 – 6x + 9 \\ 6x & > 9 + 4 \\ x & > \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{….(HP1)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
$ \sqrt{x^2 – 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 – 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 – 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $

HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > \frac{13}{6} \} $

c). $ \spadesuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 – 4} & < x – 3 \\ (\sqrt{x^2 – 4})^2 & < (x – 3)^2 \\ x^2 – 4 & < x^2 – 6x + 9 \\ 6x & < 9 + 4 \\ x & < \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{….(HP1)} \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 – 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 – 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 – 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $

HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
*).Karena $ \sqrt{x^2 – 4} \geq 0, \, $ maka bentuknya $ 0 \leq \sqrt{x^2 – 4} < (x-3), \, $ artinya
harus berlaku : $ x – 3 > 0 \rightarrow x > 3 \, $ ….(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \, \} \, $ (Himpunan kosong).
artinya tak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 – 4} < x – 3 $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Kuadrat

3). Himpunan penyelesaian (HP) dari pertaksamaan bentuk akar $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \, $ merupakan …!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusi umum
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} x+1 & > \sqrt{5-x^2 } \\ (x+1)^2 & > (\sqrt{5-x^2 })^2 \\ x^2 + 2x + 1 & > 5-x^2 \\ 2x^2 + 2x – 4 & > 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x – 2 & > 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $

HP1 = $ \{ x < -2 \vee x > 1 \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat (syarat dalam akar)
*). Bentuk $ \sqrt{5-x^2 } \, $ , syaratnya : $ 5 – x^2 \geq 0 $
$ \begin{align} 5 – x^2 & \geq 0 \\ 5 – x^2 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{5} \\ x = – \sqrt{5} \vee x & = \sqrt{5} \end{align} $

HP2 = $ \{ -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \} $
*). Karena $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \geq 0 , \, $ , artinya
Haruslah berlaku $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ….(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ 1 < x \leq \sqrt{5} \} $

4). Agar $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x – 2 }{x^2 – x – 2}} \, $ bernilai real (fungsi $ y \, $ terdefinisi), tentukan syarat nilai $ x \, $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Suatu fungsi bentuk akar $ y = \sqrt{f(x)} \, $ bernilai real, maksudnya bentuk $ \sqrt{f(x)} \, $ sanggup dihitung dan nilainya real, yang tercapai untuk dalam akarnya bernilai faktual ($f(x) \geq 0 $).
$ \spadesuit $ Bentuk $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x – 2 }{x^2 – x – 2}} \, $ akan bernilai real apabila $ \frac{x^2 + x – 2 }{x^2 – x – 2} \geq 0 $
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertaksamaan pecahan : $ \frac{x^2 + x – 2 }{x^2 – x – 2} \geq 0 $
$ \begin{align} \frac{x^2 + x – 2 }{x^2 – x – 2} & \geq 0 \\ \frac{(x-1)(x+2) }{(x+1)(x-2)} & \geq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ (x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Akar penyebut : $ (x+1)(x-2) = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 \, $
(akar-akar penyebut tak boleh ikut).
*).Garis bilangannya

Jadi, syarat nilai $ x \, $ semoga fungsi $ y \, $ bernilai real merupakan
HP = $ \{ x \leq -2 \vee -1 < x \leq 1 \vee x > 2 \} $ .