Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak

Posted on

         Pondok Soal.comPertaksamaan Bentuk Nilai Mutlak merupakan pertaksamaan yang melibatkan bentuk nilai mutlak. Untuk memudahkan memahami pertaksamaan bentuk nilai mutlak ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu bahan “Pertaksamaan secara Umum“, “Sifat-sifat Pertaksamaan“, “Pertaksamaan Linear“, “Pertaksamaan Kuadrat“, “Pertaksamaan Pecahan“, dan “Pertaksamaan Bentuk Akar“.

Definisi Nilai Mutlak
       Nilai mutlak dari suatu bilangan $ x \, $ dinotasikan $ |x| $ .
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
              $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.

Contoh :
1). $ |3| = 3 \, \, \, $ dan $ |-3| = -(-3) = 3 $

2). Jabarkan bentuk mutlak $ | x – 1 | \, $ menurut definisi nilai mutlak sesampai kemudian tanda mutlaknya hilang.!
Penyelesaian :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{cc} x – 1 & , x – 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ -(x – 1) & , x – 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Jadi, untuk $ x \geq 1, \, $ nilai $ |x-1| = x-1 \, $ dan untuk $ x < 1 \, $ nilai $ |x-1| = -(x-1) $

3). Tentukan nilai $ | 2 – \sqrt{5} | – \sqrt{5} + 4 – |-1| $ ?
Penyelesaian :
*). $ | 2 – \sqrt{5} | = – (2-\sqrt{5}) = \sqrt{5} – 2 \, $ (sebab nilai $ 2 – \sqrt{5} < 0 $ )
*). $ |-1| = – (-1) = 1 $
*). Menentukan akhirnya :
$ | 2 – \sqrt{5} | – \sqrt{5} + 4 – |-1| = (\sqrt{5} – 2 ) – \sqrt{5} + 4 – (1) = 1 $

Sifat-sifat Nilai Mutlak
       Berikut sedikit sifat-sifat nilai mutlak yang sanggup kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertaksamaan bentuk nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $

Contoh
1). Tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $ | x – 1 | < 3 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 4 : nilai $ a = 3 $
$ \begin{align} | x & – 1 | < 3 \\ -3 < x & – 1 < 3 \, \, \, \, \text{(tambahkan 1 ke semua ruas)} \\ -3 + 1 < x & – 1 + 1 < 3 + 1 \\ -2 < x & < 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ \{ -2 < x < 4 \} $ .

Baca Juga:   Pertidaksamaan Secara Umum

2). Himpunan penyelesaian pertaksamaan $ \frac{|x| + 1 }{x} \leq 2 , \, $ untuk $ x \in R \, $ merupakan …?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} – 2 & \leq 0 \\ \frac{x + 1 }{x} – \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{x + 1 – 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -x + 1 = 0 \rightarrow x = 1 $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tak ikut)
Garis bilangannya :

Karena $ x \geq 0, \, $ maka HP1 = $ \{ x \geq 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq 1 \} = \{ x \geq 1 \} $
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} – 2 & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} – \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 – 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-3x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -3x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3} $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tak ikut)
Garis bilangannya :

Karena $ x < 0, \, $ maka HP2 = $ \{ x < 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq \frac{1}{3} \} = \{ x < 0 \} $
Jadi, solusinya : HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \, \text{ atau } \, x \geq 1 \} $

3). Tentukan himpunan penelesaian pertaksamaan $ \left| \frac{x-1}{x+2} \right| \geq 1 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Kuadratkan kedua ruas menurut sifat 2,
$ \begin{align} \left| \frac{x-1}{x+2} \right| & \geq 1 \\ \left| \frac{x-1}{x+2} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 & \geq 1 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 – 1 & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} – 1 \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} – \frac{x+2}{x+2} \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+2}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2} \right)\left( \frac{(x-1)+(x+2)}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-3}{x+2} \right)\left( \frac{2x + 1 }{x+2} \right) & \geq 0 \\ \frac{-3(2x+1)}{(x+2)^2} & \geq 0 \end{align} $
akar pembilang : $ 2x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} $
akar penyebut : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $
*). Garis bilangannya

Jadi, solusinya HP = $ \{ x < -2 \vee -2 < x < -\frac{1}{2} \} $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Trigonometri

4). Penyelesaian dari pertaksamaan $ |3x-1| > |x+1| \, $ merupakan …?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : $ |A| > |B| \rightarrow (A-B)(A+B)>0 $
Misalkan $ A = 3x -1 \, $ dan $ B = x + 1 $
$ \begin{align} |3x-1| & > |x+1| \\ [(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)] & > 0 \\ [2x – 2][4x] & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 0 \end{align} $

Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee x > 1 \} $

5). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari $ \left| |x| + x \right| \leq 2 $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \left| |x| + x \right| = | x + x| = 2x $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 2x & \leq 2 \\ x & \leq 1 \end{align} $
Diperoleh HP1 = $ \{ x \leq 1 \} $
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \left| |x| + x \right| = | -x + x| = 0 $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 0 & \leq 2 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Artinya semua nilai $ x < 0 \, $ memenuhi pertaksamaan.
Diperoleh HP2 = $ \{ x < 0 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \} \cup \{ x \leq 1 \} = \{ x \leq 1 \} $

6). Jika $ x < 3 \, $ dan $ \left| |x-5| – 2 \right| < x , \, $ maka tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |x-5| = \left\{ \begin{array}{cc} x-5 & , x \geq 5 \\ -(x-5) & , x < 5 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |x-5| = -(x-5) = 5 – x $
Sesampai kemudian : $ \left| |x-5| – 2 \right| = \left| (5-x) – 2 \right| = | 3 – x | $
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |3 – x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3 – x & , x \leq 3 \\ -(3-x) & , x > 3 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |3-x| = 3 – x $
Artinya bentuk $ \left| |x-5| – 2 \right| = 3 – x $
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertaksamaan
$ \begin{align} \left| |x-5| – 2 \right| & < x \\ | 3 – x | & < x \\ 3 – x & < x \\ – 2x & < -3 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x > \frac{3}{2} \} \cap \{ x < 3 \} = \{ \frac{3}{2} < x < 3 \} $