Pertidaksamaan Eksponen

Posted on
         Pondok Soal.com – Sebelumnya kita telah membahas ihwal persamaan eksponen secara mendalam, nah untuk kali ini kita mempelajari kelanjutannya ialah pertaksamaan eksponen. Yang namanya pertaksamaan niscaya memuat tanda ketaksamaan menyerupai $ < , \, \leq , \, > , \, \geq $ . Untuk menuntaskan pertaksamaan eksponen, kita harus benar-benar menguasai sifat-sifat eksponen terlebih dahulu.

         Pertaksamaan eksponen untuk tipe simpel sangatlah mudah, namun pertaksamaan eksponen lanjut akan lebih sulit dan akan kerap dikeluarkan soalnya pada ujian nasional dan soal seleksi masuk akademi tinggi. Tenang saja, pada artikel ini akan kita pelajari untuk tipe pertaksamaan eksponen simpel dan lanjut.

         Pertaksamaan eksponen akan gampang kita pelajari apabila kita sudah menguasai sifat-sifat dan persamaan eksponen. Dan perlu diingat juga, apapun jenis pertaksamaannya, penyelesaiannya langkah-langkahnya sama ialah : memilih akar-akarnya, memilih garis bilangan dan tandanya, arsir kawasan yang diminta, dan buatlah himpunan penyelesaiannya. Cara umum penyelesaian pertaksamaan ini juga berlaku untuk “pertaksamaan eksponen”.

Pertaksamaan Eksponen Sederhana
       Untuk $ a \in R, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ , sanggup dibuat pertaksamaan :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $
Bentuk pertaksamaan tersebut sanggup diselesaikan bergantung dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tak berubah) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $

(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Bentuk Akar

         Pertaksamaan eksponen simpel maksudnya pertaksamaan yang ruas kiri dan ruas kanan tanda ketaksamaannya sudah berbentuk pangkat (masing-masing ruas kiri dan kanan terdapat satu suku berbentuk perpangkatan).

Contoh 1.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan $ 9^{x-1} < 3^{-x+2} \, $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < \frac{4}{3} \} $

Contoh 2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan $ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \leq \frac{5}{4} \} $

Contoh 3.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan $ 3^{x^2-x+1} \leq 9^{x+\frac{5}{2}} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ ketaksamaan tetap)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 – 3x – 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align} $

Jadi, solusinya HP = $ \{ -1 \leq x \leq 4 \} $

Pertaksamaan Eksponen Lanjut

         Pertaksamaan eksponen lanjut maksudnya pertaksamaan eksponen yang bentuknya selain bentuk simpel di atas, misal bentuknya $ \left( a^{f(x)} \right)^m + a^{f(x)} + c \geq 0 \, $ . Untuk menuntaskan bentuk ini, biasanya kita misalkan dan akan mengarah ke suatu bentuk persamaan polinomial menyerupai persamaan kuadrat. Agar lebih terang, mari kita baca referensi berikut.

Contoh

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan $ 2^{2x+1} – 17.2^x + 8 > 0 $ ?

         Untuk pendalaman soal-soal pertaksamaan eksponen, anda sanggup lihat pada artikel kumpulan soal-soal Eksponen. Dengan latihan mengerjakan soal-soal lebih kaya lagi, maka niscaya kita akan lebih gampang dalam menghadapi atau menuntaskan soal-soal yang akan kita kerjakan nantinya. Semoga bermanfaat bahan ini.