Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Posted on

         Pondok Soal.com – Matematika Sekolah Menengah Pertama : Pada artikel ini kita akan membahas bahan Pertaksamaan Linear Satu Variabel yang merupakan lanjutan dari bahan sebelumnya yakni “Persamaan Linear Satu Variabel“. Untuk memudahkan mempelajari bahan Pertaksamaan Linear Satu Variabel, silahkana baca dahulu “Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup” terutama wacana kalimat terbuka.

Pengertian Pertaksamaan
       Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketaksamaan ( memakai tanda ketaksamaan : $<, >$, $\leq$ , atau $ \geq$ ) disebut pertaksamaan.

Cara membaca tanda ketaksamaan :
$ < \, $ dibaca kurang dari,
$ \leq \, $ dibaca kurang dari atau sama dengan,
$ > \, $ dibaca lebih dari,
$ \geq \, $ lebih dari atau sama dengan.

       Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yakni berupa noktah (titik). Demikian halnya pada pertaksamaan linear satu variabel.

Contoh Soal.
1). Misalkan $ x \, $ merupakan bilangan bulat. Apa arti dari pertaksamaan berikut ini,
a). $ x < 2 $
b). $ x \leq 2 $
c). $ x > 2 $
d). $ x \geq 2 $
Penyelesaian :
a). $ x < 2 $
Bentuk $ x < 2 \, $ dibaca $ x \, $ kurang dari 2, artinya nilai $ x \, $ lebih kecil dari 2 (angka 2 tak termasuk), sesampai lalu himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ x = \{ …,-3,-2,-1,0,1 \} $.
Garis bilangannya :

b). $ x \leq 2 $
Bentuk $ x \leq 2 \, $ dibaca $ x \, $ kurang dari atau sama dengan 2, artinya nilai $ x \, $ lebih kecil dari 2 serta sama dengan 2 (angka 2 termasuk), sesampai lalu himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ x = \{ …,-3,-2,-1,0,1,2 \} $.
Garis bilangannya :

c). $ x > 2 $
Bentuk $ x > 2 \, $ dibaca $ x \, $ lebih dari 2, artinya nilai $ x \, $ lebih besar dari 2 (angka 2 tak termasuk), sesampai lalu himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ x = \{ 3,4,5,6,…. \} $.
Garis bilangannya :

d). $ x \geq 2 $
Bentuk $ x \geq 2 \, $ dibaca $ x \, $ lebih dari atau sama dengan 2, artinya nilai $ x \, $ lebih besar dari 2 serta sama dengan 2 (angka 2 termasuk), sesampai lalu himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ x = \{ 2,3,4,5,6,…. \} $.
Garis bilangannya :

Pengertian Pertaksamaan Linear Satu Variabel
       Pertaksamaan linear satu variabel merupakan pertaksamaan yang hanya memiliki satu variabel dan berpangkat satu (linear). Bentuk umum pertaksamaan linear satu variabel yakni :
$ ax + b > 0 \, $ atau $ ax + b \geq 0 \, $ atau $ ax + b \leq 0 \, $ atau $ ax + b < 0 $.

Contoh soal pertaksamaan linear satu variabel :
2). Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertaksamaan linear dengan satu variabel.
a). $ x – 3 < 5 $
b). $ a \leq 1 – 2b $
c). $ x^2 – 3x \geq 4 $
d). $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x – 1) – 7 $
Penyelesaian :
a). $ x – 3 < 5 $
Pertaksamaan $ x – 3 < 5 \, $ memiliki satu variabel, yakni $ x \, $ dan berpangkat 1, sesampai lalu $ x – 3 < 5 \, $ merupakan pertaksamaan linear satu variabel.

Baca Juga:   Uji Kompetensi 2 Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Serta Aritmetika Sosial Kelas Vii Kurikulum 2013+

b). $ a \leq 1 – 2b $
Pertaksamaan $ a \leq 1 – 2b \, $ memiliki dua variabel, yakni $ a $ dan $ b $ yang masing-masing berpangkat 1. Dengan demikian $ a \leq 1 – 2b \, $ bukan suatu pertaksamaan linear satu variabel.

c). $ x^2 – 3x \geq 4 $
Karena pertaksamaan $ x^2 – 3x \geq 4 \, $ memiliki variabel $ x \, $ dan $ x^2 $, maka $ x^2 – 3x \geq 4 \, $ bukan merupakan pertaksamaan linear satu variabel.

d). $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x – 1) – 7 $
Pertaksamaan $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x – 1) – 7 \, $ memiliki satu variabel, yakni $ x \, $ dan berpangkat 1, sesampai lalu $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x – 1) – 7 \, $ merupakan pertaksamaan linear satu variabel.

Penyelesaian Pertaksamaan Linear Satu Variabel
       Pengmengganti variabel dari suatu pertaksamaan, sesampai lalu menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertaksamaan linear satu variabel.

Suatu pertaksamaan sanggup dinyatakan ke dalam pertaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a). Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketaksamaan.
b). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketaksamaan.
c). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tenamun tanda ketaksamaan berubah, dimana
1). $ > \, $ menjadi <
2). $ < $ menjadi $ > $
3). $ \leq $ menjadi $ \geq $
4). $ \geq $ menjadi $ \leq $ .

Catatan :
Pertaksamaan linear satu variabel sanggup diselesaikan dengan bentuk ekuivalennya.

Contoh soal penyelesaian pertaksamaan linear satu variabel :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan linear satu variabel berikut ini.
a). $ 3x – 2 > 4 $
b). $ 3x – 2 \geq 4 $
c). $ x – 2 \leq 3x + 2 $
dengan $ x \, $ merupakan bilangan bulat.
Penyelesaian :
a). $ 3x – 2 > 4 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} 3x – 2 & > 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 3x – 2 + 2 & > 4 + 2 \\ 3x & > 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3)} \\ \frac{3x}{3} & > \frac{6}{3} \\ x & > 2 \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x > 2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{3,4,5,6,…\} \, $
dengan $ x \, $ merupakan bilangan bulat.

Baca Juga:   Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka Dan Kalimat Tertutup

b). $ 3x – 2 \geq 4 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} 3x – 2 & \geq 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 3x – 2 + 2 & \geq 4 + 2 \\ 3x & \geq 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3)} \\ \frac{3x}{3} & \geq \frac{6}{3} \\ x & \geq 2 \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x \geq 2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{2,3,4,5,6,…\} \, $
dengan $ x \, $ merupakan bilangan bulat.

c). $ x – 2 \leq 3x + 2 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} x – 2 & \leq 3x + 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ x – 2 + 2 & \leq 3x + 2 + 2 \\ x & \leq 3x + 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ x – 3x & \leq 3x + 4 – 3x \\ -2x & \leq 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -2, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ \frac{-2x}{-2} & \geq \frac{4}{-2} \\ x & \geq -2 \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x \geq -2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{-2,-1,0,1,2,3,…\} \, $
dengan $ x \, $ merupakan bilangan bulat.

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan $ 4x – 2 \leq 5 + 3x $ , untuk $ x $ variabel pada himpunan bilangan asli. Kemudian, gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya.
Penyelesaian :
$ \begin{align} 4x – 2 & \leq 5 + 3x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 4x – 2 + 2 & \leq 5 + 3x + 2 \\ 4x & \leq 7 + 3x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ 4x – 3x & \leq 7 + 3x – 3x \\ x & \leq 7 \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x \leq 7 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{1,2,3,…,6,7\} \, $
untuk $ x \, $ merupakan bilangan asli.
Garis bilangannya :

5). Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan $ \frac{1}{2}x + 3 \leq \frac{1}{5} x \, $ , dengan $ x \, $ merupakan variabel pada himpunan $ \{-15,-14,-13,…,-1,0\} $.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan menuntaskan pertaksamaan linear satu variabel dalam bentuk pecahan, sebaiknya kita kalikan dengan KPK dari penyebut yang ada.
*). Bentuk $ \frac{1}{2}x + 3 \leq \frac{1}{5} x \, $ terdapat penyebut 2 dan 5, sesampai lalu KPKnya merupakan 10.
$ \begin{align} \frac{1}{2}x + 3 & \leq \frac{1}{5} x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 10)} \\ 10 \times \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) & \leq 10 \times \frac{1}{5} x \\ 10 \times \frac{1}{2}x + 10 \times 3 & \leq 2x \\ 5x + 30 & \leq 2x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 30)} \\ 5x + 30 – 30 & \leq 2x – 30 \\ 5x & \leq 2x – 30 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ 5x – 2x & \leq 2x – 30 – 2x \\ 3x & \leq – 30 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3x}{3} & \leq \frac{- 30}{3} \\ x & \leq -10 \end{align} $
Sesampai lalu penyelesaiannya merupakan $ x \leq -10 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{-15,-14,…,-10 \} \, $
untuk $ x \, $ merupakan himpunan bilangan $ \{-15,-14,-13,…,-1,0\} $.