Pertidaksamaan Linear

Posted on

         Pondok Soal.comPertaksamaan linear merupakan salah satu jenis pertaksamaan khusus. Agar gampang dalam menuntaskan pertaksamaan linear, sebaiknya kita kuasai dahulu bahan “sifat-sifat pertaksamaan” dan “pertaksamaan secara umum“. Di sini teori pertaksamaan linear yang ditampilkan cukup simpel, alasannya yakni penekanannya pada contoh-contoh soal.

         Pertaksamaan Linear sudah dipelajari dikala di SMP, dan dilanjutkan lagi di tingkat SMA. Untuk tingkat SMA, bahan pertaksaman linear lebih kompleks terutama dari tipe soal-soalnya dibandingkan dengan tingkat Sekolah Menengah Pertama sebelumnya. Pertaksamaan linear juga mengikuti penyelesaian bentuk umum pertaksamaan.

Bentuk Umum dan penyelesaian pertaksamaan linear
       Pertaksamaan linear merupakan pertaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.

$\clubsuit $ Bentuk umum pertaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $

$\clubsuit $ Penyelesaian pertaksamaan linear sanggup eksklusif memakai sifat-sifat pertaksamaan .
(tak perlu memakai langkah-langkah umum )

Contoh :
1). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan berikut!
a). $ 2x – 1 < 0 \, $ b). $ -x + 3 \leq 0 \, $ c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
Penyelesaian :
Kita eksklusif memakai sifat-sifat pertaksamaan :
a). $ 2x – 1 < 0 \, $
$ \begin{align} 2x – 1 & < 0 \\ 2x & < 1 \, \, \, \, \text{(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x < \frac{1}{2} \} $
b). $ -x + 3 \leq 0 $
$ \begin{align} -x + 3 & \leq 0 \\ -x & \leq -3 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq 3 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq 3 \} $
c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
$ \begin{align} 3x + 2 & \leq 4x + 3 \\ 3x – 4x & \leq 3 – 2 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq -1 \} $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Kuadrat

2). Tentukan himpunan penyelesaian dari $ x – 1 < 2x + 3 < 2 – x $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Pertaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). $ x – 1 < 2x + 3 $
$ \begin{align} x – 1 & < 2x + 3 \\ x – 2x & < 3 + 1 \\ -x & < 4 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & > -4 \end{align} $
HP1 = $\{ x > -4 \} $
ii). $ 2x + 3 < 2 – x $
$ \begin{align} 2x + 3 & < 2 – x \\ 2x + x & < 2 – 3 \\ 3x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < -\frac{1}{3} \end{align} $
HP2 = $\{ x < -\frac{1}{3} \} $
$ \spadesuit $ Himpunan penyelesaian merupakan nilai $ x $ yang memenuhi HP1 dan HP2 (irisan kedua himpunan alasannya yakni harus memenuhi kedua pertaksamaan)
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x > -4 \} \cap \{ x < -\frac{1}{3} \} = \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
untuk irisan dua himpunan, baca bahan “pertaksamaan secara umum”.
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) merupakan $ \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $

3). Jika diketahui $ x – 2 \leq 0 \, $ dan $ x – 1 > 0 , \, $ maka $ \frac{x^2-4}{x} \, $ merupakan …?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Selesaikan masing-masing pertaksamaan
*). $ x – 2 \leq 0 \rightarrow x \leq 2 \, $ ….(HP1)
*). $ x – 1 > 0 \rightarrow x > 1 \, $ ….(HP2)
$\clubsuit $ Nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan irisan kedua HP
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x \leq 2 \} \cap \{ x > 1 \} = \{ 1 < x \leq 2 \} $
$\clubsuit $ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
$ \begin{align} 1 < & x \leq 2 \\ 1^2 < & x^2 \leq 2^2 \\ 1 < & x^2 \leq 4 \, \, \, \, \text{(kurangkan 4)} \\ 1-4 < & x^2 – 4 \leq 4 – 4 \\ -3 < & x^2 – 4 \leq 0 \end{align} $
$\clubsuit $ Diperoleh interval nilai berikut ,
$ \{ 1 < x \leq 2 \} \, $ nilai terbesar $ x \, $ merupakan 2 dan terkecilnya 1
$ \{ -3 < x^2 – 4 \leq 0 \} \, $ nilai terbesar $ x^2 – 4 \, $ merupakan 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ :
Nilai terbesarnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{0}{1} = 0 $
Nilai terkecilnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{-3}{1} = -3 $
Jadi, interval nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ merupakan $ -3 < \frac{x^2-4}{x} \leq 0 $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Eksponen

4). Nilai terkecil $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ 2x – \frac{3x}{4} \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, $ merupakan …. ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertaksamaannya
$ \begin{align} 2x – \frac{3x}{4} & \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kalikan 4)} \\ 8x – 3x & \leq 6x + 1 \\ 5x & \leq 6x + 1 \\ 5x – 6x & \leq 1 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusinya $ x \geq -1 \, $ artinya nilai terkecil $ x \, $ merupakan $ -1 $ .
Jadi, nilai terkecil $ x \, $ merupakan $ -1 $ .

5). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ -3 < x – 2 < 0 \, $ dan $ 2 < x + 2 < 7 \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertaksamaan masing-masing
*). pertaksamaan pertama :
$ \begin{align} -3 < x & – 2 < 0 \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -3 + 2 < x & – 2 + 2 < 0 + 2 \\ -1 < & x < 2 \, \, \, \, \text{….(HP1)} \end{align} $
*). pertaksamaan kedua :
$ \begin{align} 2 < x & + 2 < 7 \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ 2 – 2 < x & + 2 – 2 < 7 – 2 \\ 0 < & x < 5 \, \, \, \, \text{….(HP2)} \end{align} $
*). Nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan irisannya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ -1 < x < 2 \} \cap \{ 0 < x < 5 \} = \{ 0 < x < 2 \} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x < 2 \} $

6). Pertaksamaan $ 2a – \frac{x+1}{2} < ax + 1 \, $ dipenuhi oleh $ x > 1 \, $ . Tentukan nilai $ a $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Solusinya $ x > 1 , \, $ artinya akar dari pertaksamaan pertaksamaan merupakan $ x = 1 $ .
$\spadesuit $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke pertaksamaan :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 2a – \frac{x+1}{2} & < ax + 1 \\ 2a – \frac{1+1}{2} & = a.1 + 1 \\ 2a – \frac{2}{2} & = a + 1 \\ 2a – 1 & = a + 1 \\ 2a – a & = 1 + 1 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Trigonometri

         Demikian pembahasan wacana pertaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca bahan pertaksamaan kuadrat, pertaksamaan pecahan, pertaksamaan bentuk akar, dan pertaksamaan bentuk nilai mutlak.