Pertidaksamaan Logaritma

Posted on
         Pondok Soal.comPertaksamaan logaritma merupakan pertaksamaan yang memuat bentuk logaritma yang berkaitan pribadi dengan tanda ketaksamaan ialah $ >, \, \geq , \, < , \, $ dan $ \leq \, $ . Pada artikel ini kita akan bahas wacana pertaksamaan logaritma simpel, dan untuk pertaksamaan logaritma yang lebih sulit sanggup anda pribadi lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertaksamaan logaritma mudah (misal bentuknya $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) $ ) , penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a) \, $ dan untuk menyelesaikannya anda harus menguasai sifat-sifat logaritma dengan baik terlebih dahulu. Berikut konsep dasar dari pertaksamaan logaritmanya.

         Penyelesaian Pertaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertaksamaan secara umum dengan tahap-tahap ialah memilih akar-akarnya, memilih garis bilangan dan tandanya, serta mengarsir kawasan yang diminta menurut tanda ketaksamaannya. Untuk memilih akar-akar pertaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.

Konsep Pertaksamaan Logaritma
       Untuk $ a \in R, \, a > 0 , \, a \neq 1, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ bentuk pertaksamaan logaritma sanggup diselesaikan bergantug dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
*). Solusi Umum :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

Baca Juga:   Persamaan Logaritma

*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

       Sesampai lalu solusi totalnya merupakan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat ialah irisan semua himpunan penyelesaiannya.

Hint : Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.
         Berikut sedikit rujukan dari pertaksamaan logaritma.

Contoh 1.

Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ {}^2 \log (x+1) > 3 \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya $(a =2)$ lebih dari 1, sesampai lalu solusinya tanda ketaksamaan tetap
$\clubsuit \,$ Solusi Umum
Memodifikasi soal biar kedua ruas memuat bentuk logaritma
$\begin{align} {}^2 \log (x+1) & > 3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 2^3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 8 \\ \text{(basisnya } a & = 2 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ (x+1) & > 8 \\ x & > 7 \end{align} $
HP1 = $ \{ x > 7 \} $
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma : (numerusnya)
$\begin{align} (x + 1 ) & > 0 \\ x & > – 1 \end{align} $
HP2 = $ \{ x > -1 \} $
Sesampai lalu solusinya :

HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > 7 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x > 7 \} $

Contoh 2.

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertaksamaan $ {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sesampai lalu solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
$\spadesuit \, $ Solusi umum :
$\begin{align} {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{3} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (2x-3) & \leq (x+1) \\ x & \leq 4 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \leq 4 \} $
$\spadesuit \, $ Solusi syaratnya : (numerusnya)
*). $ (2x-3) > 0 \rightarrow 2x > 3 \rightarrow x > \frac{3}{2} \, $ ….(HP2)
*). $ (x+1) > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ….(HP3)
Sesampai lalu solusi totalnya :

HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $

Baca Juga:   Cara Memilih Tanda + Atau - Pada Garis Bilangan

         Pertaksamaan Logaritma sebetulnya taklah sulit, hanya saja kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan juga yang akan menjadi solusi bersama sekaligus syarat tersebut yang menjadi ruang sampel untuk penyelesaian pertaksamaan logaritmanya. Jadi, teman-teman jangan hingga lupa untuk menuntaskan syarat logaritmanya juga.