Pertidaksamaan Pecahan

Posted on

         Pondok Soal.comPertaksamaan Pecahan merupakan pertaksamaan yang melibatkan fungsi bentuk pecahan. Pertaksamaan kepingan juga kerap dikaitkan dengan bahan fungsi kuadrat yaitu pada bab difinit konkret dan definit negatif. Untuk lebih terangnya, baca bahan berikut.

Bentuk Umum dan penyelesaian pertaksamaan kepingan
       Pertaksamaan kepingan merupakan pertaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertaksamaan kepingan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertaksamaan kepingan memakai langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum sanggup dibaca pada bahan “Pertaksamaan secara umum“. Dalam menuntaskan pertaksamaan pecahan, dihentikan untuk mengalikan silang alasannya ialah akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$ \spadesuit $ Syarat kepingan yaitu penyebutnya tak boleh bernilai nol, sesampai kemudian semua akar-akar penyebutnya tak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tak ikut sebagai solusi.

$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertaksamaan kepingan
Materi Definit merupakan bab dari bahan fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tak memiliki akar-akar, maka ada dua kecukupan, yaitu definit konkret atau definit negatif.
*). Definit konkret artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu konkret untuk semua nilai $ x $. Syarat definit konkret : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 – 4ac $

Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit konkret tak perlu membalik tanda kesamaan, lagiakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.

Baca Juga:   Penerapan Pertidaksamaan Dalam Soal Cerita

Contoh :
1). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ \frac{2x-1}{x+2} \leq 0 \, $ merupakan ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menentukan akar-akar dari $ \frac{2x-1}{x+2} $
$ 2x – 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} $
$ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \, $ (akar penyebut tak boleh ikut)
$ \clubsuit $ Garis bilangannya :

Arsir yang negatif, alasannya ialah yang diminta kurang dari ($ < $ ). Jadi, solusinya HP = $ \{ -2 < x \leq \frac{1}{2} \} $

2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertaksamaan
a). $ 2x + \frac{1}{x} > \frac{4-x}{x} \, \, \, \, \, $ b). $ x \leq \frac{x+6}{x+2} $
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} 2x + \frac{1}{x} & > \frac{4-x}{x} \\ 2x + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} – \frac{4-x}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + 1 – (4-x)}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + x – 3}{x} & = 0 \\ \frac{(2x+3)(x-1)}{x} & = 0 \\ (2x+3) & = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \\ (x-1) & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{penyebutnya : } \, x & = 0 \end{align} $
$ \spadesuit $ Karena tanda ketaksamaannya $ > , \, $ maka semua akar-akarnya tak ikut (arsirannya bolong)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya :

Arsir yang konkret alasannya ialah yang diminta lebih dari ($ > $).
Jadi, HP = $ \{ -\frac{3}{2} < x < 0 \vee x > 1 \} $

b). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} x & \leq \frac{x+6}{x+2} \\ x & = \frac{x+6}{x+2} \\ x – \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ x \frac{(x+2)}{(x+2)} – \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x)}{x+2} – \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x – (x+6))}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + x – 6}{x+2} & = 0 \\ \frac{(x+3)(x-2)}{x+2} & = 0 \\ (x+3) & = 0 \rightarrow x = -3 \\ (x – 2) & = 0 \rightarrow x = 2 \\ (x + 2) & = 0 \rightarrow x = – 2 \end{align} $
(akar penyebut tak boleh ikut, arsirannya bolong, yang lainnya arsiran penuh)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya :

Arsir yang negatif alasannya ialah yang diminta kurang dari ($ \leq $).
Jadi, HP = $ \{ x \leq -3 \vee -2 < x \leq 2 \} $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Eksponen

3). Tentukan himpunan penyelesaian pertaksamaan kepingan $ \frac{x^2 – 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $ (x^2 – 2x + 3) \, $ dan $ (x^2+4) \, $ tak punya akar alasannya ialah nilai diskriminannya negatif ($ D < 0 $). Nilai $ a \, $ kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit konkret sesampai kemudian sanggup dicoret tanpa menghipnotis pertaksamaan kepingan semula. Pertaksamaan menjadi :
$ \frac{x^2 – 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 \, $ ekuivalen (setara) dengan $ \frac{1 }{3x^2+5x-2} > 0 $
*). Akar dari : $ 3x^2+5x-2 = 0 \rightarrow (3x-1)(x + 2)=0 \rightarrow x = -2 \vee x = \frac{1}{3} $
(akar-akar penyebutnya tak boleh ikut).
$\clubsuit $ Garis bilangannya :

Arsir yang konkret alasannya ialah yang diminta lebih dari ($ > $).
Jadi, HP = $ \{ x < -2 \vee x > \frac{1}{3} \} $

4). Tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan kepingan
$ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)} $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyederhanakan pertaksamaannya
$ \begin{align} \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)} \\ \text{(coret } 2x-1 \, \text{ dengan syarat } x & \neq \frac{1}{2} ) \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2}{1} \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq 2 \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} & \geq 0 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \neq \frac{1}{2} $
$ \spadesuit $ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $ x^2 + 3 \, $ merupakan definit konkret sesampai kemudian sanggup dicoret. Pertaksamaan menjadi
$ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \, $ ekuivalen dengan $ \frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 $
*). Bentuk $ -x^2+4x-5 \, $ merupakan definit negatif. Karena definit negatif, $ -x^2+4x-5 \, $ sanggup dicoret dengan membalik tanda ketaksamaan. Pertaksamaan menjadi : $ \frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \, $ ekuivalen dengan $ \frac{1}{x^2+x-2} \leq 0 $
*). Akar-akar dari $ x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $
(akar-akar penyebut tak boleh ikut)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya

Arsir yang negatif alasannya ialah yang diminta kurang dari ($ \leq $).
HP2 = $ \{ -2 < x < 1 \} $
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x < \frac{1}{2} \vee \frac{1}{2} < x < 1 \} $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Kuadrat

5). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan :
a). $ \frac{x^2+4}{(x^2 – 3x + 4)(2x^2 – 5x + 5)} > 0 $
b). $ \frac{x^2 -2x + 3}{5 – 4x – x^2} \geq 0 $
Penyelesaian :
a). $ \frac{x^2+4}{(x^2 – 3x + 4)(2x^2 – 5x + 5)} > 0 $
Bentuk $ x^2+4 $ , $ x^2 – 3x + 4 $ , dan $ 2x^2 – 5x + 5 $ merupakan definit konkret semua , sesampai kemudian sanggup kita coret yang artinya pertaksamaan menjadi :
$ \begin{align} \frac{x^2+4}{(x^2 – 3x + 4)(2x^2 – 5x + 5)} & > 0 \\ \frac{\text{positif}}{(\text{positif})(\text{positif})} & > 0 \\ \text{positif} & > 0 \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya pertaksamaan bab (a) ini terpenuhi untuk semua $ x $ anggota bilangan real .
Jadi, HP = $ \{ x \in R \} $.

b). $ \frac{x^2 -2x + 3}{-5 + 4x – x^2} \geq 0 $
Bentuk $ x^2 -2x + 3 $ merupakan definit positif,
Bentuk $ -5 + 4x – x^2 $ merupakan definit negatif,
Sesampai kemudian pertaksamaan ekuivalen dengan :
$ \begin{align} \frac{x^2 -2x + 3}{-5 + 4x – x^2} & \geq 0 \\ \frac{\text{positif}}{\text{negatif}} & \geq 0 \\ \text{negatif} & \geq 0 \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya pertaksamaan bab (b) ini tak ada nilai $ x $ bilangan real yang memenuhi atau himpunan kosong.
Jadi, HP = $ \{ \, \} $.