Pertidaksamaan Secara Umum

Posted on

         Pondok Soal.comPertaksamaan merupakan kalimat matematika yang memuat tanda ketaksamaan. Tanda ketaksamaan terdiri dari : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Pertaksamaan termasuk bahan yang luas cakupannya , diantaranya pertaksamaan linear, pertaksamaan kuadrat, pertaksamaan pecahan, pertaksamaan bentuk akar, pertaksamaan bentuk nilai mutlak, pertaksamaan eksponen, pertaksamaan logaritma, dan lainnya. Salah satu hal penting yang harus dikuasai untuk bisa menuntaskan pertaksamaan merupakan perihal sifat-sifat pertaksamaan.

Penterangan Tanda Ketaksamaan
       Pada pertaksamaan memuat tanda ketaksamaan : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Berikut penterangannya masing-masing,

$\spadesuit $ Tanda $ < \, $ dibaca kurang dari atau lebih kecil
$ x < 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tak boleh ikut.
Himpunannya : $ x = \{ …,-1,0,1 \} \, $ ,
garis bilangannya :

$\spadesuit $ Tanda $ \leq \, $ dibaca kurang dari sama dengan atau lebih kecil sama dengan
$ x \leq 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ …,-1,0,1,2 \} \, $ ,
garis bilangannya :

$\spadesuit $ Tanda $ > \, $ dibaca lebih dari atau lebih besar
$ x > -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tak boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -2,-1,0,1,… \} \, $ ,
garis bilangannya :

$\spadesuit $ Tanda $ \geq \, $ dibaca lebih dari sama dengan atau lebih besar sama dengan
$ x \geq -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -3,-2,-1,0,1,… \} \, $ ,
garis bilangannya :

Berikut sedikit pola pertaksamaan :
$2x +1 < 0, \, \frac{3x+4}{x-2} \geq 6 , \, x^2 – 3x + 4 > 0 , $
$ \sqrt{2x+5} \leq x – 1 , \, | x+5| – 3x \geq 7 , \, x^2 – x + 2 \neq 0 $

Penyelesaian Pertaksamaan
       Penyelesaian yang dimaksud merupakan semua nilai variabel yang ada (misal $x $) yang memenuhi pertaksamaan tersebut. Misal, penyelesaian pertaksamaan $ -2x + 4 < 0 \, $ merupakan $ x > 2, \, $ artinya untuk semua nilai $ x $ yang memenuhi $ x > 2 \, $ niscaya juga akan memenuhi $ -2x+4 < 0 . \, $ Contoh, $ x = 3 \, $ , maka $ -2.(3) + 4 = -2 < 0 $

Cara memilih tanda $+$ atau $ – $ pada garis bilangan
       Untuk memilih tanda $ + $ atau $ – $ pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.

Contoh
1). $ 2x – 1 \geq 3 \rightarrow 2x – 4 \geq 0 $
akar-akarnya : $ 2x – 4 = 0 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
garis bilangannya :

*). Pilih salah satu angka di sebelah kiri 2, misalkan nol
$ x = 0 \rightarrow 2x – 4 = 2.0 – 4 = -4 $
balasannya negatif, artinya tanda di sebelah kiri 2 negatif($-$)
*). Pilih salah satu angka di sebelah kanan 2, misalkan 4
$ x = 4 \rightarrow 2x – 4 = 2.4 – 4 = 4 $
balasannya positif, artinya tanda di sebelah kanan 2 positif($+$)
Garis bilangan dan tandanya :

2). Pertaksamaan $ 2x^2 + 2x – 1 < 1 – x $
*). Menentukan akar-akar, nolkan ruas kanan.
$ \begin{align} 2x^2 + 2x – 1 & < 1 – x \\ 2x^2 + 2x – 1 + x – 1 & < 0 \\ 2x^2 + 3x – 2 & < 0 \\ (2x-1)(x+2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya

*). Menentukan tandanya
Terbentuk tiga selang/interval, pilih satu angka pada setiap selang dan substitusi ke $ (2x-1)(x+2) $
Interval pertama : $ -\infty < x < -2 \, $ , pilih $ x = -3 $
$ x = – 3 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(-3)-1)(-3+2) = -7 . (-1) = 7 \, $ (tanda $+$)
Interval kedua : $ -2 < x < \frac{1}{2} \, $ , pilih $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(0)-1)(0+2) = -1 . 2 = -2 \, $ (tanda $-$)
Interval ketiga : $ \frac{1}{2} < x < \infty \, $ , pilih $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(1)-1)(1+2) = 1 . 3 = 3 \, $ (tanda $+$)
Garis bilangan dan tandanya :

Catatan :
*). Biasanya tanda pada semua interval selang-seling (misalkan +, – , + , – , atau -, + , – , + )
*). Untuk penterangan yang lebih mendalam perihal garis bilangan, silahkan baca artikelnya pada “Cara Menentukan Tanda + atau – pada Garis Bilangan

Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertaksamaan
       Langkah – langkah berikut sanggup dipakai untuk menuntaskan semua jenis pertaksamaan :

Baca Juga:   Sifat-Sifat Pertidaksamaan

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) kemudian difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ – $ setiap daerah)
4). Arsir tempat yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ – $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat apabila ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya merupakan irisan HP1 dan HP2

Contoh
1). Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ 2x – 1 < 7 \, $ merupakan ….?
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akarnya
$ 2x – 1 < 7 \rightarrow 2x – 1 = 7 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 $
*). garis bilangan dan mengarsir wilayahnya (diminta $ < $ , arsir negatif)

Jadi, himpunan penyelesaian HP $ = \{ x < 4 \} $

2). Pertaksamaan $ ax – 3 > 15 \, $ memiliki penyelesaian $ x > 6 $.
Nilai $ a \, $ yang memenuhi merupakan ….?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit $ Solusi dari pertaksamaan diperoleh dari akar-akar pertaksamaan dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
$ \clubsuit $ Solusinya $ x > 6 \, $ artinya akar-akarnya merupakan $ x = 6 $
Substitusi $ x = 6 $ ke persamaan :
$ \begin{align} x = 6 \rightarrow ax – 3 & > 15 \\ a.6 – 3 & = 15 \\ 6a & = 15 + 3 \\ 6a & = 18 \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 3 $

Cara II :
$\clubsuit $ Modifikasi pertaksamaannya
$ ax – 3 > 15 \rightarrow ax > 18 \rightarrow x > \frac{18}{a} $
$\clubsuit $ Solusinya $ x > 6 $
$ \left. \begin{array}{c} x > \frac{18}{a} \\ x > 6 \end{array} \right\} \, $ bentuknya sama
Sesampai kemudian $ \frac{18}{a} = 6 \rightarrow a = \frac{18}{6} = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 $

3). Pertaksamaan $ 3x – a < \frac{5x-2}{3} – \frac{ax-5}{4} \, $ memiliki penyelesaian $ x < 1 $ .
Tentukan nilai $ a ? $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Solusinya $ x < 1 \, $ , artinya akarnya merupakan $ x = 1 $
$ \spadesuit $ Substitusi $ x = 1 $ ke pertaksamaan dan ubah ketaksamaannya menjadi sama dengan.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 3x – a & < \frac{5x-2}{3} – \frac{ax-5}{4} \\ 3.1 – a & = \frac{5.1-2}{3} – \frac{a.1-5}{4} \\ 3 – a & = \frac{3}{3} – \frac{a-5}{4} \\ 3 – a & = 1 – \frac{a-5}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12 – 4a & = 4 – (a-5) \\ 3a & = 3 \\ a & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 $

Baca Juga:   Cara Memilih Tanda + Atau - Pada Garis Bilangan

4). Pertaksamaan $ ax^2 + bx – 3 \leq 0 \, $ memiliki penyelesaian $ – \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ .
Tentukan nilai $ a + b ? $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusinya $ – \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ , akar-akarnya merupakan $ x = – \frac{1}{2} \, $ dan $ x = 3 $
$ \clubsuit $ Substitusi akar-akarnya ke pertaksamaan :
$ \begin{align} x = – \frac{1}{2} \rightarrow ax^2 + bx – 3 & \leq 0 \\ a(-\frac{1}{2})^2 + b.(-\frac{1}{2}) – 3 & = 0 \\ a(\frac{1}{4}) – b.(\frac{1}{2}) – 3 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ a – 2b – 12 & = 0 \\ a – 2b & = 12 \, \, \, \, \text{…pers(i)} \\ x = 3 \rightarrow ax^2 + bx – 3 & \leq 0 \\ a(3)^2 + b.(3) – 3 & = 0 \\ 9a + 3b & = 3 \, \, \, \, \text{…pers(ii)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{c|c|cc} a – 2b = 12 & \text{kali 3} & 3a – 6b = 36 & \\ 9a + 3b = 3 & \text{kali 2} & 18a + 6b = 6 & + \\ \hline & & 21a = 42 & \\ & & a = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ a – 2b = 12 \rightarrow 2 – 2b = 12 \rightarrow b = -5 $
Sesampai kemudian nilai $ a + b = 2 + (-5) = -3 $
Jadi, nilai $ a + b = -3 $

Irisan dan Gabungan dua himpunan
       Irisan lambangnya $ \cap \, $ dan adonan lambangnya $ \cup $
$\clubsuit $ Hasil irisan dua himpunan merupakan himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
$ \clubsuit $ Hasil adonan dua himpunan merupakan himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.

Contoh
1). Himpunan $ A = \{1,2,3,4,5,6\} \, $ dan himpunan $ B = \{ 2,3,4,6,7,8\} $
*). Irisannya : $ A \cap B = \{2,3,4\} \, $ (ambil yang sama saja dari kedua himpunan)
*). Gabungannya : $ A \cup B = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \, $ (diambil semua, yang sama ditulis satu kali)

2). Diketahui : $ HP1 = \{ -2 < x < 4 \} , \, HP2 = \{ 0 < x < 5 \} $
*). Irisannya : $ HP1 \cap HP2 = \{ 0 < x < 4 \} $
*). Gabungannya : $ HP1 \cup HP2 = \{ -2 < x < 5 \} $
garis bilangannya :

       Pertaksamaan secara umum memiliki penyelesaian menyerupai di atas. Artinya apapun jenis pertaksamaannya, penyelesaiannya sama saja mengikuti langkah-langkah umum di atas. Namun untuk lebih maksimal, silahkan baca artikel pertaksamaan secara lebih khusus, yakni pertaksamaan linear, pertaksamaan kuadrat, pertaksamaan pecahan, pertaksamaan bentuk akar, pertaksamaan bentuk nilai mutlak.