Pertidaksamaan Trigonometri

Posted on

         Pondok Soal.comPertaksamaan Trigonometri merupakan pertaksamaan yang memuat bentuk trigonometri ibarat sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Yang namanya pertaksamaan niscaya akan memuat tanda ketaksamaan ibarat $ >, \, \geq , \, \leq, \, $ dan $ < \, $ . Untuk memudahkan mempelajari bahan pertaksamaan trigonometri, kita harus menguasai dahulu bahan “penyelesaian persamaan trigonometri“. Untuk sanggup menuntaskan bentuk pertaksamaan trigonometri, maka kita harus bisa menyelesaiakan persamaan trigonometrinya dahulu.

Penyelesaian Pertaksamaan Trigonometri
       Secara garis besar, apapun jenis pertaksamaannya, penyelesaiannya memakai langkah umum penyelesaian pertaksamaan yang sanggup kita baca pada bahan “Pertaksamaan secara Umum“. Hanya saja kali ini pertaksamaan yang melibatkan bentuk trigonometri yang tentu akan lebih sulit lagi.

Langkah-langkah penyelesaian pertaksamaan trigonometri :
i). Tentukan besar sudut pembuat nolnya (akar-akarnya) dengan cara ubah semua tanda ketaksamaan menjadi persamaan ( = ), kemudian sesesaikan persamaan yang terbentuk untuk mencari akar-akarnya.

ii). Semua akar-akarnya kita kita gambar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap kawasan yang terbentuk ( + atau – ).

iii). Arsir kawasan yang diminta (arsir nyata jikalau tanda ketaksamaannya lebih dari ( > ) atau arsir negatif jikalau tanda ketaksamaannya kurang dari ( < ) ).

iv). Buat himpunan penyelesaiannya dari kawasan arsiran yang terbentuk.

Contoh :
1). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertaksamaan trigonometri $ 2\sin x \leq 1 \, $ untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar persamaannya
$ \begin{align} 2\sin x & \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x & \leq \frac{1}{2} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ , \, 390^\circ \} \end{align} $
Nilai $ x \, $ yang kita ambil merupakan yang mendekati interval yang diminta ($ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ) .
*). Buat garis bilangan dan memilih tandanya

Cek tanda ( + atau – ) : dengan uji titik ( dalam trigonometri merupakan sudutnya) .
Daerah $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ kita pilih nilai $ x = 0^\circ $ , kemudian kita uji ke pertaksamaan :
$ 2\sin x \leq 1 \rightarrow 2\sin x – 1 \leq 0 $
$ x = 0^\circ \rightarrow 2\sin x – 1 = 2\sin 0^\circ – 1 = 2.0 -1 = -1 \, $ (hasilnya negatif).
Karena saat $ x = 0^\circ \, $ kita uji dan nilainya negatif, maka kawasan interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ bernilai negatif. Dan untuk kawasan interval yang lainnya, tandanya selang-seling dengan patokan kawasan interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ $ .
*). Daerah yang diarsir merupakan kawasan bertanda negatif lantaran yang diminta merupakan kurang dari ( $ \leq $ ) .
*). Menentukan himpunan penyelesaian :
$ HP_1 = \{ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 390^\circ \} $
Tapi yang diminta merupakan interval $ x \, $ yakni : $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
Sesampai kemudian solusinya merupakan irisan dari $ HP_1 $ dan syarat interval $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
$ HP = HP_1 \cup \{ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\} = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
irisan masksudnya himpunan yang memenuhi kedua himpunan, untuk lebih kompleksnya, silahkan baca bahan irisan pada artikel “Pertaksamaan secara Umum“.
Jadi, solusinya merupakan $ HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $

Baca Juga:   Nilai Perbandingan Trigonometri Di Aneka Macam Kuadran

2). Himpunan penyelesaian dari $ 2\cos ^2 x < 3\sin x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ merupakan …?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yakni :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 – \sin ^2 x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & < 3\sin x + 3 \\ 2( 1 – \sin ^2 x ) & < 3\sin x + 3 \\ 2 – 2 \sin ^2 x & < 3\sin x + 3 \\ 2 – 2 \sin ^2 x – 3\sin x – 3 & < 0 \\ – 2 \sin ^2 x – 3\sin x – 1 & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x + 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = – \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita eksklusif memilih besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = – \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} , \, x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} , \, x = 570^\circ = \frac{19\pi}{6}$
$ \sin x = – 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Akar-akar yang kita pilih yang berdekatan dengan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi $
*). Menentukan garis bilangan, tanda , dan arsirannya.

Cek $ x = 0^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 0^\circ + 3\sin 0^\circ + 1 = 1 \, $ (positif)
Cek $ x = \frac{8\pi}{6} = 240^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 240^\circ + 3\sin 240^\circ + 1 = -0,098 \, $ (negatif)
Cek $ x = \frac{10\pi}{6} = 300^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 300^\circ + 3\sin 300^\circ + 1 = -0,098 \, $ (negatif)
Cek $ x = 2\pi = 360^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 360^\circ + 3\sin 360^\circ + 1 = 1 \, $ (positif)
Yang di arsir kawasan bertanda nyata lantaran permintaannya lebih dari ( > ).
*). Dari kawasan yang diarsir dan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ , maka solusinya merupakan $ HP = \{0^\circ \leq x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{11\pi}{6} < x \leq 2\pi \} $
Jadi, solusinya : $ HP = \{0^\circ \leq x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{11\pi}{6} < x \leq 2\pi \}$

Baca Juga:   Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-Siku

Catatan :
Untuk memilih tanda pada garis bilangan terutama pada pertaksamaan trigonometri, kita harus lebih teliti lagi lantaran terkadang ada sedikit kawasan terdapat tanda yang sama ibarat pada referensi nomor 2 di atas.