Pertumbuhan Dalam Matematika

Posted on

         Pondok Soal.com – Apa sih yang dimaksud dengan pertumbuhan khususnya dalam matematika? Baik, secara garis besar, Pertumbuhan dalam Matematika merupakan perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati inginpun benda hidup) yang semakin usang semakin meningkat (semakin kaya) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Pertumbuhan yang akan dibahas lebih kaya pada pertumbuhan mahluk hidup menyerupai pertumbuhan pada manusia, bakteri, dan lainnya. Peningkatan yang terjadi pada Pertumbuhan dalam Matematika mengikuti pola atau hukum tertentu yang biasanya sesuai dengan barisan atau deret aritmatika dan barisan atau deret geometri. Untuk memudahkan mempelajari materi pertumbuhan ini, sebaiknya teman-teman kuasai dahulu materi “barisan dan deret aritmatika” dan “barisan dan deret geometri“.

         Adapun Ilustrasi pertumbuhan contohnya terjadi pada model multilevel marketing dimana setiap anggota harus merekrut dua anggota. Misalkan seseorang berhasil merekrut dua anggota, maka kedua anggota tersebut berada pada tingkat 1. Selanjutnya apabila kedua anggota pada tingkat 1 masing-masing berhasil merekrut dua anggota, maka keempat anggota dari tingkat 1 berada pada tingkat 2 dan anggota yang Anda terdapat sekaya 6 orang. Selanjutnya, apabila keempat anggota pada level 2 masing-masing merekrut 2 anggota, maka anggota pada tingkat 3 sekaya 8 orang dan anggota Anda mencapai 14 orang. Tentunya Anda sanggup menghitung kaya anggota yang Anda miliki apabila tingkat Anda semakin tinggi.

         Adapun Ilustrasi lain pertumbuhan misalkan terjadi pada pembelahan bakteri, dimana satu basil sanggup membelah menjadi dua basil dan untuk membelah diri diharapkan waktu 1 jam. Dengan kata lain dari satu basil sesudah 1 jam akan diperoleh dua bakteri. Selanjutnya, apabila setiap basil sanggup membelah diri menjadi dua basil baru, maka sesudah 2 jam akan diperoleh empat bakteri, dan seterusnya.

Rumus pada Barisan dan deret aritmatika serta geometri
       Untuk mengingatkan kembali, kami akan mereview sedikit rumus suku ke-$n$ dan jumlah $ n $ suku pertama ($s_n$) barisan dan deret artimatika serta geometri :
*). Barisan dan deret aritmatika,
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Barisan dan deret geometri,
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ \, s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} $

Baca Juga:   Bunga, Pertumbuhan, Dan Peluruhan Secara Umum

Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama.
$ b = \, $ beda = $ u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = …= u_n – u_{n-1}$ .
$ r = \, $ rasio = $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = … = \frac{u_n}{u_{n-1}} $ .

Contoh soal pertumbuhan dalam matematika :
1). Sebuah penitipan kucing peliharaan mengalami peningkatan penitipan dikala mendekati hari raya besar yang terjadi biasanya 10 hari sebelum hari H. Jika peningkatan setiap harinya selalu tetap, diketahui pada hari kedua ada 4 kucing yang dititipkan oleh pelanggan dan pada hari keenam ada 16 kucing yang dititipkan, maka tentukan :
a). kaya kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh.
b). kaya kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari.

Penyelesaian :
*). Karena peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan pada kasus ini mengikuti hukum barisan dan deret aritmatika.
*). Diketahui : $ u_2 = 4 \, $ dan $ u_6 = 16 $.
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $
$ u_2 = 4 \rightarrow a + b = 4 \, $ ….pers(i)
$ u_6 = 16 \rightarrow a + 5b = 16 \, $ ….pers(ii)
Eleiminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 5b = 16 & \\ a + b = 4 & – \\ \hline 4b = 12 & \\ b = 3 & \end{array} $
pers(i) : $ a + b = 4 \rightarrow a + 3 = 4 \rightarrow a = 1 $.
*). Menyelesaikan soal :
a). kaya kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh ($u_{10}$).
$ u_{10} = a + 9b = 1 + 9 \times 3 = 1 + 27 = 28 \, $ ekor kucing.

b). kaya kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
hari pertama = 1 ,
hari kedua = 1 + 3 = 4 ekor kucing,
hari ke-3 = 4 + 3 = 7 ekor kucing,
hari ke-4 = 7 + 3 = 10 ekor kucing,
hari ke-5 = 10 + 3 = 13 ekor kucing,
hari ke-6 = 13 + 3 = 16 ekor kucing,
hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing,
hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing,
hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing,
hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing.

c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari ($s_{10}$).
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{10} & = \frac{10}{2}(2a + (10-1)b) \\ & = 5(2a + (9)b) \\ & = 5(2 \times 1 + 9 \times 3) \\ & = 5(2 + 27) \\ & = 5 \times (29) \\ & = 145 \end{align} $
Artinya selama 10 hari pertama ada 145 ekor kucing yang dititipkan pelanggan ke penitipan kucing tersebut.

Baca Juga:   Diskonto Dalam Matematika Keuangan

       Bagaimana dengan pertumbuhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk pertumbuhan ini biasanya memakai pola atau barisan geometri. Misalkan pertumbuhan penduduk suatu kawasan setiap tahunnya meningkat sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %), dan kaya penduduk di awal sekaya $ A_0 \, $ serta kaya penduduk sesudah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka sanggup kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
sesudah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 + i \times A_0 = A_0(1 + i) $
sesudah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 + i \times A_1 = A_1(1 + i) = A_0(1 + i)(1+i) = A_0(1+i)^2 $
sesudah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 + i \times A_2 = A_2(1 + i) = A_0(1 + i)^2(1+i) = A_0(1+i)^3 $
dan seterusnya hingga
sesudah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} + i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 + i) = A_0(1 + i)^{n-1}(1+i) = A_0(1+i)^n $

Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 + i)^n \, $ gotong royong menyerupai dengan barisan geometri yakni $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 + i $. Nah untuk pangkatnya mengapa berbeda? hal ini terjadi alasannya pada kasus pertumbuhan kita pribadi menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang gotong royong sama saja yakni :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan pertumbuhan sesudah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1+i)^1 = A_0(1+i) $.

Rumus Pertumbuhan dalam Matematika
       Adapaun rumus pertumbuhan sesudah tahun ke-$n$ yakni :
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1+i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya pribadi (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ r > 1 $

Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya diawal
$A_n = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya sesudah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase kenaikannya/pertumbuhannya
$r = \, $ kelipatan kenaikannya/pertumbuhannya (rasio)

Contoh soal pertumbuhan :
2). Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari kaya penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berkaya 100.000 orang. Hitung kaya penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020?

Baca Juga:   Pengertian Bunga Dalam Matematika Keuangan

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
*). Menentukan kaya penduduk pada tahun 2010 :
Tahun 2010 artinya satu tahun sesudah tahun 2009, sesampai kemudian $ n = 1 $
atau $ n = 2010 – 2009 = 1 $
kaya penduduk tahun 2010 = $ A_1 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_1 & = 100.000 \times (1+0,01)^1 \\ & = 100.000 \times (1 ,01) \\ & = 101.000 \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2010 merupakan 101.000 jiwa.
*). Menentukan kaya penduduk pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 11 tahun sesudah tahun 2009, sesampai kemudian $ n = 11 $
atau $ n = 2020 – 2009 = 11 $
kaya penduduk tahun 2020 = $ A_{11} $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_{11} & = 100.000 \times (1+0,01)^{11} \\ & = 100.000 \times (1 ,01)^{11} \\ & = 100.000 \times 1,115668347 \\ & = 111.566,8347 \\ & = 111.567 \, \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2020 merupakan 111.567 jiwa.

3). Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menujukkan bahwa satu basil sanggup membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukan kaya basil sesudah 20 jam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000 \, $ dan $ r = 2 $
Pembelahan terjadi setiap 2 jam, sesampai kemudian selama 20 jam terjadi 10 kali pembelahan.
atau $ n = \frac{20}{2} = 10 $.
*). Menentukan kaya basil sesudah 20 jam ($A_{10}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_{10} & = 1 .000 \times (2)^{10} \\ & = 1 .000 \times 1.024 \\ & = 1.024.000 \end{align} $
Jadi, ada 1.024.000 basil sesudah 20 jam.

         Demikian pembahasan materi Pertumbuhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan Peluruhan dalam Matematika. Semoga materi ini sanggup bermanfaat. Terima kasih.