Program Linear : Nilai Optimum Dengan Garis Selidik

Posted on

         Pondok Soal.com – Selain metode “uji titik pojok”, terdapat metode lain yang dipakai sebagai alternatif untuk memilih nilai optimum dari suatu fungsi tujuan. Metode alternatif tersebut dikenal sebagai metode garis selidik. Pada artikel ini kita akan membahas Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik. Untuk memudahkan mempelajari bahan Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu bahan “Persamaan dan Grafik Bentuk Linear”, “Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertaksamaan”, dan “Menyusun Model Matematika”.

Nilai Optimum dengan Garis Selidik
       Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan $ \, ax + by = k , $ dengan $ \, k \in R \, $ dimana $ k \, $ sembarang bilangan yang kita pilih. Garis selidik $ ax + by = k (k \in R) $ merupakan himpunan garis-garis yang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar apabila terdapat gradien yang sama.

       Pada dasarnya, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggeser garis selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah hingga garis tersebut memotong titik-titik pojok tempat himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan linear dua variabel. Untuk fungsi tujuan maksimum, titik optimum dicapai apabila semua himpunan penyelesaian dari kendala-kendala sistem pertaksamaan linear dua variabel berada di bawah atau sebelah kiri garis selidik. Adapun untuk fungsi tujuan minimum, titik optimum dicapai apabila semua himpunan penyelesaian berada di atas atau sebelah kanan garis selidik dengan syarat koefisien $ y \, $ harus aktual ($ b > 0 $). Jika koefisien $ y \, $ negatif ($b < 0$), maka berlaku sebaliknya.

Langkah-langkah metode Garis Selidik
Langkah-langkah Menentukan nilai Optimum dengan Garis Selidik :
i). Buat model matemenonaktifkanya yang teridiri dari hambatan dan fungsi tujuan;
ii). Tentukan grafik dan tempat himpunan penyelesaiannya (DHP);
iii). Tentukan persamaan garis selidik dari fungsi tujuannya;
Untuk mendapat nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kanan atau atas hingga memotong titik paling jauh dari tempat himpunan penyelesaian. Titik yang paling jauh tersebut merupakan titik yang memaksimumkan fungsi tujuan.
iv). Untuk mendapat nilai minimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kiri atau bawah hingga memotong titik paling bersahabat dari tempat himpunan penyelesaian. Titik yang paling bersahabat tersebut merupakan titik yang meminimumkan fungsi tujuan.

Baca Juga:   Pengertian Aktivitas Linear Secara Umum

Perhatikan gambar gambaran garis selidik berikut ini :

Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimum kan fungsi tujuan (objektif ) dan titik D merupakan titik yang me maksimum kan tujuan.

Contoh soal nilai optimum dengan garis selidik :
1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan $ z = f(x, y) = 3x + 4y \, $ dan fungsi kendalanya merupakan
$ x + 2y \leq 10 , \, 4x + 3y \leq 24, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $

Penyelesaian :
*). Menentukan grafik dan tempat himpunan penyelesaiannya (DHP) :
Silahkan baca : “Persamaan dan Grafik Bentuk Linear“, dan “Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertaksamaan“.

*). Fungsi tujuannya : $ z = f(x, y) = 3x + 4y $, bentuk umum garis selidiknya merupakan $ 3x + 4y = k $ . Untuk memudahkan menggambar, kita pilih nilai $ k = 12 \, $ sesampai lalu persamaan garis selidiknya merupakan $ 3x + 4y = 12 $.
gambar garis selidiknya :

Berdasarkan gambar garis selidik di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan linear dua variabel yang diketahui, yaitu titik B. Koordinat titik B sesudah dicari merupakan $(\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$.
Artinya fungsi tujuannya maksimum pada titik pojok B.
*). Menentukan nilai maksimumnya dengan substitusi titik B ke fungsi tujuannya :
$ f(x,y) = f(\frac{18}{5}, \frac{16}{5}) = 3 \times \frac{18}{5} + 4 \times \frac{16}{5} = 23,6 $.
Jadi, nilai maksimum dari fungsi tujuannya merupakan 23,6.

*). Bagaimana dengan nilai minimumnya?
Perhatikan gambar garis selidiknya, garis selidik harus digeser ke kiri atau ke bawah ibarat gambar berikut.

Berdasarkan gambar tersebut, titik O(0, 0) merupakan titik paling bersahabat dari himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan linear dua variabel yang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuan yang diberikan dicapai pada titik O(0, 0), yaitu
$ z = f(x, y) = 3x + 4y = 3(0) + 4(0) = 0 $ .
Sesampai lalu nilai minimum fungsi tujuannya merupakan 0.

Baca Juga:   Persamaan Dan Grafik Bentuk Linear Pada Kegiatan Linear

2). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ f(x,y) = 80x + 125y \, $ yang memenuhi hambatan $ x + y \leq 350, \, 600x + 1.000y \leq 300.000 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Gambar grafik dan DHP nya :

*). Fungsi tujuan dari duduk masalah jadwal linear tersebut merupakan $ 80x + 125y $. Bentuk umum garis selidiknya $ ax + by = k \, $ , kita pilih $ k = 10.000 , \, $ sesampai lalu garis selidiknya menjadi $ 80x + 125y = 10.000 \, $ atau $ \, 16x + 25y = 2.000 $ .
catatan : nilai $ k \, $ bebas kita pilih, namun kita pilih yang gampang dalam menggambar.
*). Oleh alasannya yaitu yang dicari merupakan nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan atau atas ibarat pada gambar berikut.
gambar garis selidik dan pergeserannya :

*). Berdasarkan gambar di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian pertaksamaan linear dua variabel di titik B (125, 225).
Dengan demikian, nilai fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ maksimum dicapai di titik B (125, 225).
*). Menentukan nilai maksimum dengan substitusi titik B ke fungsi tujuan :
$ f(x,y) = 80x + 125y \rightarrow f(125,225) = 80 \times 125 + 125 \times 225 = 38.125 $.
Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ merupakan 38.125.

Catatan :
Dari dua teladan soal di atas, sanggup disimpulkan bahwa metode garis selidik dipakai hanya untuk memilih titik pojok mana yang menjadikan fungsi tujuannya terdapat nilai optimum. Hanya saja metode garis selidik memerlukan ketelitian dalam menggambar dan menggeser garis selidiknya, jangan hingga salah.