Program Linear : Nilai Optimum Dengan Metode Gradien

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah kita mempelajari dua metode yaitu “metode uji titik pojok” dan “metode garis selidik” untuk menuntaskan duduk kasus program linear, ada satu metode lagi yang jarang dibahas di sekolah yaitu metode gradien. Pada artikel ini kita akan khusus membahas Program Linear : Nilai Optimum dengan Metode Gradien. Agar lebih gampang memahaminya, silahkan baca bahan yang berkaitan dengan “gradien suatu persamaan garis lurus“.

Nilai Optimum dengan Metode Gradien
       Metode gradien merupakan suatu metode yang secara pribadi memakai gradien. Dengan metode gradien, akan pribadi sanggup kita tentukan titik pojok yang menyebabkan suatu fungsi tujuan memeiliki nilai optimum (maksimum atau minimum).

Misalkan ada fungsi tujuan $ z = f(x,y) = ax + by \, $ dengan gradien $ m_f$,
dan terdapat dua hambatan yaitu hambatan I dengan gradien $ m_1 \, $ dan hambatan II dengan gradien $ m_2, \, $ maka ada tiga kecukupan yang terjadi, yaitu :
i). $ m_f \leq m_1 \leq m_2 \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada titik pojok garis pertama.
ii). $ m_1 \leq m_f \leq m_2 \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada perpotongan kedua garis.
iii). $ m_1 \leq m_2 \leq m_f \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada titik pojok garis kedua.

Syarat yang harus dipenuhi :
*). Semua gradien fungsi tujuan dan kendalanya harus negatif.
*). Tanda ketaksamaannya harus sama semua ($\leq \, $ semua atau $ \, \geq \, $ semua).
*). Banyaknya hambatan sanggup lebih dari 2.
*). Dibatasi oleh sumbu X dan sumbu Y dengan $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $.

Catatan :
*). Metode gradien biasanya sanggup diaplikasikan pada soal cerita.
*). Dengan menganalisa memakai garis selidik, ternyata metode gradien ini hanya berlaku untuk kasus atau soal-soal yang memenuhi syarat di atas.

Gradien persamaan Garis
       Untuk mengingatkan kembali, berikut cara memilih gradien ($m$) suatu persamaan garis :
Garis $ \begin{align} ax + by = c \rightarrow m = \frac{- \text{koefisien } x}{\text{koefisien } y} = \frac{-a}{b} \end{align} $

Contoh soal metode gradien :
1). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = 4x + 6y \, $ dengan
hambatan : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Baca Juga:   Pengertian Aktivitas Linear Secara Umum

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 4x + 6y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} = – 0,67 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien hambatan dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien sanggup kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ merupakan : $ m_2 \leq m_z \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik perpotongan kedua garis alasannya yakni gradien fungsi tujuannya ada diantara gradien kedua kendalanya.
*). Menentukan perpotongan kedua garis hambatan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 5x + 10y = 20 & \times 1 & 5x + 10y = 20 & \\ 3x + y = 5 & \times 10 & 30x + 10y = 50 & – \\ \hline & & -25x = -30 & \\ & & x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Substitusi $ x = \frac{6}{5} \, $ ke persamaan $ 3x + y = 5 $
$ 3x + y = 5 \rightarrow 3x \times \frac{6}{5} + y = 5 \rightarrow y = \frac{7}{5} $.
Sesampai lalu titik perpotongannya merupakan ($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik ($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$)
$ z = 4x + 6y = 4 \times \frac{6}{5} + 6 \times \frac{7}{5} = 13,2 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = 4x + 6y \, $ merupakan 13,2.

2). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = x + 5y \, $ dengan
hambatan : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = x + 5y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-1}{5} = – 0,2 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien hambatan dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien sanggup kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ merupakan : $ m_2 \leq m_1 \leq m_z $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik pojok garis pertama alasannya yakni gradiennya lebih bersahabat dengan gradien garis pertama.
*). Menentukan titik pojok garis I :
$ 5x + 10y = 20 \rightarrow (0,2), (4,0) $.
Kita cek titik (0,2) dan (4,0) ke hambatan yang lainya :
$ (0,2) \rightarrow 3x + y \geq 5 \rightarrow 3.0 + 2 \geq 5 \rightarrow 2 \geq 5 \, $ (salah).
titik (0,2) bukan titik pojok.
$ (4,0) \rightarrow 3x + y \geq 5 \rightarrow 3.4 + 0 \geq 5 \rightarrow 12 \geq 5 \, $ (benar).
titik (4,0) merupakan titik pojok.
Sesampai lalu fungsi tujuan $ z = x + 5y \, $ minimum di titik pojok (4,0).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik (4,0)
$ z = x + 5y = 4 + 5 \times 0 = 4 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = x + 5y \, $ merupakan 4.

Baca Juga:   Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dari Grafik

3). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = 20x + 5y \, $ dengan
hambatan : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 20x + 5y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-20}{5} = – 4 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien hambatan dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien sanggup kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ merupakan : $ m_z \leq m_2 \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik pojok garis kedua alasannya yakni gradiennya lebih bersahabat dengan gradien garis kedua.
*). Menentukan titik pojok garis II :
$ 3x + y = 5 \rightarrow (0,5), (\frac{5}{3},0) $.
Kita cek titik (0,5) dan ($\frac{5}{3}$,0) ke hambatan yang lainya :
$ (0,5) \rightarrow 5x + 10y \geq 20 \rightarrow 5.0 + 10.5 \geq 20 \rightarrow 50 \geq 20 \, $ (benar).
titik (0,5) merupakan titik pojok.
$ (\frac{5}{3},0) \rightarrow 5x + 10y \geq 20 \rightarrow 5.\frac{5}{3} + 10.0 \geq 20 \rightarrow \frac{25}{3} \geq 20 \, $ (salah).
titik ($\frac{5}{3}$,0) bukan titik pojok.
Sesampai lalu fungsi tujuan $ z = 20x + 5y \, $ minimum di titik pojok (0,5).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik (0,5)
$ z = 20x + 5y = 20. \times 0 + 5 \times 5 = 25 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = 20x + 5y \, $ merupakan 25.

Catatan :
*). Sebenarnya soal nomor 1 hingga nomor 3 terdapat hambatan yang sama hanya fungsi tujuannya yang dibedakan biar kita sanggup menuntaskan soal dengan bermacam variasi yang ada terutama cara memilih titik pojoknya dengan tanpa harus menggambar dahulu grafik dan DHPnya.

4). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ z = 20x + 10y \, $ dengan
hambatan : $ x + 2y \leq 4 , \, 5x + 3y \leq 15, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 20x + 10y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-20}{10} = – 2 $
Kendala I : $ x + 2y \leq 4 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -0,5 $
Kendala II : $ 5x + 3y \leq 15 \rightarrow m_2 = \frac{-5}{3} = -1,67 $
Karenan gradien hambatan dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien sanggup kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ merupakan : $ m_z \leq m_2 \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan maksimum pada titik pojok garis kedua alasannya yakni gradiennya lebih bersahabat dengan gradien garis kedua.
*). Menentukan titik pojok garis II :
$ 5x + 3y \leq 15 \rightarrow (0,5), (3,0) $.
Kita cek titik (0,5) dan (3,0) ke hambatan yang lainya :
$ (0,5) \rightarrow x + 2y \leq 4 \rightarrow 0 + 2.5 \leq 4 \rightarrow 10 \leq 4 \, $ (salah).
titik (0,5) bukan titik pojok.
$ (3,0) \rightarrow x + 2y \leq 4 \rightarrow 3 + 2.0 \leq 4 \rightarrow 3 \leq 4 \, $ (benar).
titik (3,0) merupakan titik pojok.
Sesampai lalu fungsi tujuan $ z = 20x + 10y \, $ maksimum di titik pojok (3,0).
*). Menentukan nilai maksimumnya di titik (3,0)
$ z = 20x + 10y = 20 \times 3 + 10 \times 0 = 60 $.
Jadi, nilai maksimum fungsi $ z = 20x + 10y \, $ merupakan 60.

Baca Juga:   Menentukan Nilai Maksimum Fungsi Tujuan Dengan Garis Selidik

5). Agar fungsi tujuan $ z = ax + 4y \, $ minimum pada perpotongan kedua
hambatan : $ 5x + 2y \geq 10 , \, 3x + 4y \geq 12 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $,
Tentukan rentang nilai $ a $?

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = ax + 4y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-a}{4} $
Kendala I : $ 5x + 2y \geq 10 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{2} $
Kendala II : $ 3x + 4y \geq 12 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{4} $
*). Agar penyelesaiannya ada di perpotongan kedua kendala, haruslah gradien fungsi tujuannya ada di antara gradien fungsi kendalanya.
$ \begin{align} m_1 \leq & m_z \leq m_2 \\ \frac{-5}{2} \leq & \frac{-a}{4} \leq \frac{-3}{4} \, \, \, \, \text{(kali -4, tanda dibalik)} \\ \frac{-5}{2} \times (-4) \geq & \frac{-a}{4} \times (-4) \geq \frac{-3}{4} \times (-4) \\ 10 \geq & a \geq 3 \end{align} $
Jadi, rentang nilai $ a \, $ merupakan $ \, 10 \geq a \geq 3 \, $ atau $ 3 \leq a \leq 10 $ .

Catatan :
Untuk soal nomor (5), apabila ada kata solusinya “hanya” di perpotongan kedua kendala, maka yang digunakan merupakan $ m_1 < m_z < m_2 $.