Program Linear : Nilai Optimum Dengan Uji Titik Pojok

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah kita mempelajari sedikit bahan praadminrat untuk program linear menyerupai : “Persamaan dan Grafik Bentuk Linear”, “Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertaksamaan”, dan “Menyusun Model Matematika”, maka datang saatnya kita akan membahas duduk kasus aktivitas linear yang pribadi berkaitan dengan nilai optimum yakni nilai maksimum atau nilai minimum pada artikel Program Linear : Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok.

         Untuk memilih nilai optimum suatu soal dongeng yang berkaitan dengan progrma linear, ada tiga metode yang sanggup kita gunakan yakni metode uji titik pojok, metode garis selidik, dan metode gradien. Namun diatara ketiga metode tersebut, yang paling gampang dan yang paling kerap diajarkan merupakan metode yang pertama yakni metode uji titik pojok.

Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok
       Metode Uji titik pojok merupakan suatu metode dengan mensubstitusikan titik-titik pojok pada suatu tempat himpunan penyelesaian (DHP) ke fungsi tujuannya (fungsi sasaran/fungsi objektif). Nilai maksimum berarti nilai yang paling besar yang kita ambil, begitu juga sebaliknya untuk nilai minimum kita ambil yang paling kecil.

Dari gambar DHP di atas, titik pojoknya merupakan titik A, titik B, dan titik C.

Langkah-langkah memilih nilai Optimum dengan uji titik pojok :
i). Buat model matemenonaktifkanya (terdiri dari fungsi hambatan dan fungsi tujuan).
ii). Tentukan tempat himpunan penyelesaiannya (DHP) dan titik pojoknya.
iii). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, dan tentukan yang diminta apakah nilai maksimum atau nilai minimum.

Contoh soal nilai optimum dengan uji titik pojok :
1). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y \, $ menurut DHP berikut ini.

Penyelesaian :
*). Titik pojoknya merupakan titik A, B, C, dan O. Titik C belum ada koordinatnya, sesampai lalu harus kita cari dahulu dengan eliminasi kedua persamaan garis.
*). Menentukan titik C :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 60 & \times 2.000 & 2.000x + 2.000y = 120.000 & \\ 2.500x + 2.000y = 140.000 & \times 1 & 2.500x + 2.000y = 140.000 & – \\ \hline & & -500x = -20.000 & \\ & & x = 40 & \end{array} $
Substitusi $ x = 40 \, $ ke persamaan $ x + y = 60 $
$ x + y = 60 \rightarrow 40 + y = 60 \rightarrow y = 20 $.
Sesampai lalu titik C merupakan C(40,20).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y $.
$ A(0,60) \rightarrow f = 1.500 \times 0 + 1.250 \times 60 = 75.000 $
$ B(56,0) \rightarrow f = 1.500 \times 56 + 1.250 \times 0 = 84.000 $
$ C(40,20) \rightarrow f = 1.500 \times 40 + 1.250 \times 20 = 85.000 $
$ O(0,0) \rightarrow f = 1.500 \times 0 + 1.250 \times 0 = 0 $
Jadi, fungsi $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y \, $ di titik C(40,20) dengan nilai maksimumnya merupakan $ f = 85.000 $.

Baca Juga:   Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dari Grafik

2). Tentukan nilai maksimum $ f(x, y) = 3x + 4y \, $ pada himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan berikut.
$ x + 2y \leq 10, \, 4x + 3y \leq 24, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Pada soal ini model matemenonaktifkanya sudah ada, sesampai lalu kita lanjutkan dengan memilih DHP dengan menggambar grafiknya dan memilih titik pojoknya.
*). Menggambar grafik dan DHP.
Silahkan baca : “Persamaan dan Grafik Bentuk Linear“, dan “Menentukan DHP sistem Pertaksamaan“.
$ x + 2y = 10 \rightarrow (0,5), (10,0) $
$ 4x + 3y = 24 \rightarrow (0,8), (6,0) $
grafik dan DHP nya :

*). Titik pojoknya merupakan titik O, A, B, dan C.
Titik B belum ada koordinatnya, sesampai lalu kita cari dahulu dengan eliminasi kedua persamaannya :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 10 & \times 4 & 4x + 8y = 40 & \\ 4x + 3y = 24 & \times 1 & 4x + 3y = 24 & – \\ \hline & & 5y = 16 & \\ & & y = \frac{16}{5} & \end{array} $
Substitusi $ y = \frac{16}{5} \, $ ke persamaan $ x + 2y = 10 $
$ x + 2y = 10 \rightarrow x + 2\times \left( \frac{16}{5} \right) = 10 \rightarrow x = \frac{18}{5} $.
Sesampai lalu titik B merupakan B($\frac{18}{5},\frac{16}{5}$).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 3x + 4y \, $ dan risikonya menyerupai tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :

Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x,y) = 3x + 4y \, $ merupakan 23,6.

3). Seorang anak penderita kekurangan gizi diharuskan makan dua jenis tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mempunyai kandungan 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, lagikan tablet kedua mempunyai kandungan 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp400,00/biji dan tablet kedua Rp600,00/biji, tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harinya.

Baca Juga:   Persamaan Dan Grafik Bentuk Linear Pada Kegiatan Linear

Penyelesaian :
*). Pertama kita buat model matemenonaktifkanya dahulu :
Silahkan baca : “Menyusun Model Matematika“.
Misalkan, kayanya tablet 1 sekaya $ x $ biji dan tablet 2 sekaya $ y $ biji.
Tabel untuk membuat model matematika,

Kebutuhan vitamin yang optimal merupakan tak boleh kurang dari, sesampai lalu tanda ketaksamaan yang dipakai merupakan “$\geq$”.
Model matemenonaktifkanya :
Kendalanya : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.
Fungsi Tujuannya : $ z = f(x,y) = 400x + 600y $.
*). Menentukan Grafik dan DHP nya :
$ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow (0,2),(4,0) $
$ 3x + y \geq 5 \rightarrow (0,5),(\frac{5}{3},0) $
grafik dan DHP nya :

*). Titik Pojoknya merupakan titik A, B, dan C.
Kita tentukan koordinat titik B dengan eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 5x + 10y = 20 & \times 1 & 5x + 10y = 20 & \\ 3x + y = 5 & \times 10 & 30x + 10y = 50 & – \\ \hline & & -25x = -30 & \\ & & x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Substitusi $ x = \frac{6}{5} \, $ ke persamaan $ 3x + y = 5 $
$ 3x + y = 5 \rightarrow 3x \times \frac{6}{5} + y = 5 \rightarrow y = \frac{7}{5} $.
Sesampai lalu titik B merupakan B($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ z = f(x,y) = 400x + 600y \, $ dan risikonya menyerupai tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :

Jadi, nilai minimum untuk fungsi tujuan tersebut merupakan 1.320. Artinya, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harinya Rp1.320,00.

4). Sebuah perbisnisan memproduksi sepeda dan skuter dengan memakai dua mesin. Untuk memproduksi sepeda diharapkan waktu 5 jam dengan memakai mesin pertama dan 2 jam dengan memakai mesin kedua. Untuk memproduksi skuter diharapkan waktu 3 jam dengan memakai mesin pertama dan 6 jam dengan memakai mesin kedua. Kapasitas maksimum mesin pertama 150 jam, lagikan kapasitas maksimum mesin kedua 180 jam. Keuntungan higienis yang diperoleh dari tiap satu unit sepeda merupakan Rp480.000,00 dan satu unit skuter merupakan Rp560.000,00. Tentukan jumlah sepeda dan skuter yang harus diproduksi semoga diperoleh laba maksimum!

Baca Juga:   Menentukan Kawasan Penyelesaian (Arsiran) Sistem Pertidaksamaan

Penyelesaian :
*). Langkah pertama merupakan membuat model matematika dari duduk kasus di atas. Misalkan kayanya sepeda dinyatakan dengan $ x $ dan kayanya skuter dinyatakan dengan $ y $.
Tabel model matemenonaktifkanya :

Model matemenonaktifkanya :
Kendala : $ 5x + 3y \leq 150, \, 2x + 6y \leq 180, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $ .
Fungsi tujuan : $ z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y $ .
*). Menentukan Grafik dan DHP nya :
$ 5x + 3y = 150 \rightarrow (0,50),(30,0) $
$ 2x + 6y = 180 \rightarrow (0,30),(90,0) $
grafik dan DHP nya :

*). Titik Pojoknya merupakan titik A, B, dan C.
Kita tentukan koordinat titik B dengan eliminasi kedua persamaan :
Sesampai lalu titik B merupakan B(15,25).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y \, $ dan risikonya menyerupai tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :

Jadi, nilai maksimum dari $ f(x,y) = 480.000x + 560.000y \, $ merupakan 21.200.000.