Proyeksi Ortogonal Vektor Pada Vektor

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas bahan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor. Sebagaimana penterangan pada “pengertian vektor dan penulisannya“, vektor sanggup kita saapabilan dalam bentuk geometri (dalah bentuk gambar yang diwakili sebuah garis berarah). Karena dalam bentuk garis berarah, maka kita sanggup melaksanakan proyeksi satu garis ke garis lainnya (dalam hal ini merupakan vektor ke vektor). Untuk pengertian proyeksi secara mendetail, silahkan baca artikel “Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang“. Sementara kata “Ortogonal” terdapat makna yang terkait dengan tegak lurus. Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor menghasilkan sebuah vektor. Ada tiga hal yang akan kita bahas berkaitan dengan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor yaitu “proyeksi skalar vektor pada vektor (menentukan skalarnya)”, “proyeksi vektor pada vektor (menentukan vektornya)”, dan “panjang proyeksi vektor pada vektor”. Untuk lebih terangnya, mari kita perhatikan gambaran gambar “Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor” berikut ini.

         Misalkan kita akan memproyeksikan vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ ibarat tampak pada gambaran gambar 1 di atas. Proyeksi Ortogonal Vektor $ \vec{a} $ pada Vektor $ \vec{b} $ menghasilkan vektor $ \vec{c} $ dimana ujung vektor $ \vec{c} $ dibatasi oleh sebuah garis tegak lurus terhadap vektor $ \vec{b} $ yang ditarik dari ujung vektor $ \vec{a} $ ke vektor $ \vec{b} $. Ada tiga hal yang sanggup kita tentukan yaitu :
(I). Skalarnya yaitu besar dan arah $ \vec{c} $ terhadap vektor $ \vec{b} $,
Jika positif, maka $ \vec{c} $ searah dengan vektor $ \vec{b} $ dan
Jika negatif, maka $ \vec{c} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $
Jika besarnya nol, maka $ \vec{a} $ tegak lurus $ \vec{b} $

(II). Vektor $ \vec{c} $ itu sendiri (vektor hasil proyeksi)
(III). Panjang vektor $ \vec{c} $ (panjang vektor hasil proyeksinya yang nilainya selalu positif).

         Untuk memudahkan mempelajari bahan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor ini, sebaiknya kita harus menguasai bahan “persobat semua dot dua vektor” dan “panjang vektor“, alasannya ialah kedua bahan ini yang berkaitan pribadi pada penghitungan-penghitungan berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor.

Rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor
       Perhatikan gambaran gambar 1 Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor di atas. Berikut rumus-rumus yang berkaitan dengan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor, yaitu :

$ \clubsuit \, $ Proyeksi Skalar Ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada vektor $ \vec{b} $ :
       Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $
$ \spadesuit \, $ Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
       Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
$ \heartsuit \, $ Panjang Proyeksi vektor Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
       Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

Catatan :
*). Bentuk $ \vec{a}.\vec{b} $ artinya persobat semua dot dan $ |\vec{b}| $ merupakan panjang vektor $ \vec{b} $.
*). Trik mengingat rumusnya merupakan tergantung kata “pada” dimana vektor kedua sehabis kata “pada” selalu sebagai pembagi, misalkan :
-). Proyeksi Ortogonal vektor $ \vec{b} $ pada vektor $ \vec{a} $, rumusnya :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \end{align} $,
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \end{align} $,
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \end{align} $ .
*). Sesuai sifat persobat semua dot yaitu $ \vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a} $
*). Proyeksi Ortogonal $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ sanggup ditulis $ \begin{align} \text{Proy}_\vec{b} \vec{a} \end{align} $.
*). Kata “Ortogonal” boleh kita tulis atau juga boleh tak alasannya ialah proyeksi niscaya tegak lurus.
*). Untuk memilih panjang proyeksi vektor, kita boleh mencari dahulu hasil proyeksi vektornya kemudian memilih panjangnya.
*). Untuk pembuktian rumus-rumus di atas, akan kita saapabilan di bab final sehabis contoh-contoh soalnya.

Contoh soal Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :

1). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -1, 3) $ dan vektor $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $ . Tentukan :
a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
Penyelesaian :
a). Proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{(2, -1, 3).(-1, 2, -2)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} } \\ & = \frac{2.(-1) + -1. 2 + 3. (-2) }{\sqrt{9} } \\ & = \frac{-2 – 2 – 6 }{3} \\ & = \frac{-10}{3} \end{align} $

b). Proyeksi skalar $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ & = \frac{(-1, 2, -2).(2, -1, 3)}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} } \\ & = \frac{-1.2 + 2.(-1) + -2.3}{\sqrt{4 + 1 + 9} } \\ & = \frac{-2 – 2 – 6 }{\sqrt{14}} \\ & = \frac{-10}{\sqrt{14}} \end{align} $

Baca Juga:   Vektor Basis Normal Standar

c). Proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-10}{3^2} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{-10}{9} \right) (-1, 2, -2) \\ & = \left( \frac{10}{9} , -\frac{20}{9} , \frac{20}{9} \right) \end{align} $

d). Proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{14})^2} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-10}{14} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( \frac{-5}{7} \right) (2, -1, 3) \\ & = \left( -\frac{10}{7} , \frac{5}{7} , -\frac{15}{7} \right) \end{align} $

e). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{3} \right| \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $

f). Panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ & = \left| \frac{-10}{\sqrt{14}} \right| \\ & = \frac{10}{\sqrt{14}} \end{align} $

2). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{p} = (2, 4) $ pada $ \vec{q} = (6 , 2) $ dan panjang proyeksi vektor itu!
Penyelesaian :
*). Misalkan hasil proyeksinya merupakan vektor $ \vec{u} $ ibarat gambar berikut,

*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{p} $ pada $ \vec{q} $ :
$ \begin{align} \vec{u} & = \left( \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|^2} \right) \vec{q} \\ & = \left( \frac{2.6 + 4.2}{(\sqrt{6^2 + 2^2})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{12 + 8}{(\sqrt{40})^2} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{20}{40} \right) (6 , 2) \\ & = \left( \frac{1}{2} \right) (6 , 2) \\ & = (3 , 1) \end{align} $
Sesampai kemudian vektor proyeksinya merupakan $ (3, 1) $.
*). Menentukan panjang vektor proyeksinya :
Panjang proyeksi $ = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $.
Sesampai kemudian panjang vektor proyeksinya merupakan $ \sqrt{10} $.

Catatan :
Untuk memilih panjang proyeksi pada tumpuan soal nomor 2 ini, kita tak perlu mencari hasil vektor proyeksinya terlebih dahulu, melainnya sanggup pribadi memakai rumus panjang proyeksi vektornya yaitu :
Panjang proyeksi $ = \left| \frac{\vec{p}.\vec{q}}{|\vec{q}|} \right| = \frac{20}{\sqrt{40}} = \frac{20}{40} \sqrt{40} = \frac{1}{2}. 2\sqrt{10} = \sqrt{10} $.

3). Diketahui titik-titik $ A(-3,1,2) $ , $ B(2,2,1) $ dan $ C(-1,0,3)$. Tentukan proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BC} $ :
$ \vec{AB} = B – A = (2 – (-3) , 2 – 1, 1 – 2) = (5, 1, -1) $
$ \vec{BC} = C – B = (-1 – 2 , 0-2, 3 – 1) = (-3, -2, 2) $.
*). Hasil proyeksi vektor $ \vec{AB} $ pada $ \vec{BC} $ misalkan $ \vec{r} $ :
$ \begin{align} \vec{r} & = \left( \frac{\vec{AB}.\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2} \right) \vec{BC} \\ & = \left( \frac{5.(-3) + 1.(-2) + -1.2}{(\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 2^2})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-15 – 2 – 2}{(\sqrt{9 + 4 + 4})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{(\sqrt{17})^2} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{-19}{17} \right) (-3, -2, 2) \\ & = \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksinya merupakan $ \left( \frac{57}{17} , \frac{38}{17} , -\frac{38}{17} \right) $.

4). Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = (-1,1,-4) $ dan $ \vec{v} = ( 2, -1,3) $ . Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ (2\vec{u} + 3\vec{v}) $ pada $ -2\vec{v} $!
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan dan penyingkatan dalam penulisan, kita misalkan :
$ \vec{a} = (2\vec{u} + 3\vec{v}) = (-2,2,-8) + ( 6, -3,9) = (4, -1 , 1) $
$ \vec{b} = -2 \vec{v} = ( -4, 2,-6) $
Yang kita cari sama saja proyeksi skalar dan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $.
*). Menentukan proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \frac{4.(-4) + (-1). 2 + 1. (-6)}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-6)^2} } \\ & = \frac{-16 – 2 – 6}{\sqrt{16 + 4 + 36 } } \\ & = \frac{-24}{\sqrt{56} } \\ & = \frac{-24}{56} \sqrt{56} \\ & = -\frac{3}{7} \sqrt{56} \end{align} $
sesampai kemudian proyeksi skalarnya merupakan $ -\frac{3}{7} \sqrt{56} $.
*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $
Kita gunakan hasil di atas :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{-24}{(\sqrt{56})^2} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{-24}{56} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( -\frac{3}{7} \right) ( -4, 2,-6) \\ & = \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) \end{align} $
Sesampai kemudian hasil proyeksi vektornya merupakan $ \left( \frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, \frac{18}{7} \right) $.

5). Diketahui vektor $ \vec{p} = 2\vec{i}+\vec{j} +2\vec{k} $ dan $ \vec{q} = 3\vec{i} + b\vec{j} + \vec{k} $. Jika $ |\vec{r}| $ merupakan panjang proyeksi vektor $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ dan $ |\vec{r}| = 4 $, maka tentukan nilai $ b $!
Penyelesaian :
*). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, 1, 2) $ dan $ \vec{q} = (3, b, 1) $ .
*). Menentukan nilai $ b $ dengan proyeksi ortogonal $ \vec{q} $ pada $ \vec{p} $ :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ |\vec{r}| & = \left| \frac{\vec{q}.\vec{p}}{|\vec{p}|} \right| \\ 4 & = \left| \frac{ 2.3 + 1.b + 2.1 }{ \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2 } } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ \sqrt{9} } \right| \\ 4 & = \left| \frac{ b + 8 }{ 3 } \right| \\ | b + 8 | & = 12 \\ b & = 4 \vee b = -20 \end{align} $
Jadi, nilai $ b $ yang cukup merupakan $ b = -20 $ atau $ b = 4 $.

Baca Juga:   Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar Dan Segaris

6). Tentukan proyeksi vektor $ \vec{a} = (2,0,1) $ pada vektor $ \vec{b} $ yang sejajar dan sama panjang tenamun berlawanan arah dengan vektor $ \vec{c} = (0, 2, -2 ) $ !
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{b} = – \vec{c} = -(0, 2, -2) = (0, -2, 2) $.
*). Menentukan proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \frac{2.0 + 0. (-2) + 1.2}{(\sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{(\sqrt{8 })^2 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{2}{8 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( \frac{1}{4 } \right) (0, -2, 2) \\ & = \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksi vektornya merupakan $ \left( 0, -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right) $.

7). Diketahui $ \vec{a} = (4, 2, -3) $ dan $ \vec{b} = (-1, 2, -2) $. Vektor $ \vec{c} $ merupakan proyeksi ortogonal vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $. Jika $ \vec{u} = ( -1, 1, z) $ terdapat panjang yang sama dengan vektor $ \vec{c} $ , maka tentukan nilai $ z $!
Penyelesaian :
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{u} $ :
$ |\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + z^2 } = \sqrt{z^2 + 2} $
*). Menentukan panjang proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ (panjang vektor $ \vec{c}$) :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ |\vec{c}| & = \left| \frac{4.(-1) + 2.2 + (-3). (-2) }{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2 } } \right| \\ & = \left| \frac{-4 + 4 + 6}{\sqrt{9} } \right| \\ & = \left| \frac{6}{3} \right| \\ & = 2 \end{align} $

*). Menentukan nilai $ z $ dengan $ |\vec{u}| = |\vec{c}| $ :
$ \begin{align} |\vec{u}| & = |\vec{c}| \\ \sqrt{z^2 + 2} & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{z^2 + 2})^2 & = 2^2 \\ z^2 + 2 & = 4 \\ z^2 & = 2 \\ z & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ z = -\sqrt{2} $ atau $ z = \sqrt{2} $ .

8). Diketahui $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) $, $ x $ bilangan lingkaran positif. Vektor $ \vec{q} $ merupakan proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ dan $ \theta $ sudut yang dibuat oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $. Jika $ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} $ , maka tentukan $ \vec{q} $!
Penyelesaian :
*). Vektor $ \vec{q} $ merupakan hasil proyeksi $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $, artinya $ \vec{q} $ terletak pada vektor $ \vec{b} $ sesampai kemudian sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{q} $ sama saja dengan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ .
*). Kita terdapat rumus $ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan persobat semua dot :
$ \begin{align} \vec{a}.\vec{b} & = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ (-4, 2).( 3, x ) & = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} . \sqrt{3^2 + x^2} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \sqrt{20} . \sqrt{x^2 + 9} . \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -4.3 + 2.x & = \frac{\sqrt{20} }{\sqrt{2}} . \sqrt{x^2 + 9} \\ -12 + 2x & = \sqrt{10} . \sqrt{x^2 + 9} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4x^2 – 48x + 144 & = 10(x^2 + 9) \\ 4x^2 – 48x + 144 & = 10x^2 + 90 \\ 6x^2 + 48x -54 & = 0 \\ x^2 + 8x -9 & = 0 \\ (x + 9)(x-1) & = 0 \\ x = -9 \vee x = 1 \end{align} $
Karena $ x $ positifi, maka $ x = 1 $ yang memenuhi.
Sesampai kemudian vektor $ \vec{a} = (-4, 2) $ dan $ \vec{b} = ( 3, x ) = ( 3, 1) $.
*). Menetukan vektor $ \vec{q} $ yaitu proyeksi vektor $ \vec{a} $ ke $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \text{Proyeksi vektor } & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ \vec{q} & = \left( \frac{-4.3 + 2.1}{(\sqrt{3^2 + 1^2})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{(\sqrt{10})^2 } \right) ( 3, 1) \\ & = \left( \frac{-10}{10} \right) ( 3, 1) \\ & = \left( -1\right) ( 3, 1) \\ & = (-3,-1) \end{align} $
Jadi, hasil proyeksi vektornya merupakan $ \vec{q} = (-3,-1) $.

9). Diketahui vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ membentuk sudut $ \theta $. Jika panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ sama dengan tiga kali panjang $ \vec{v} $ , maka tentukan perbandingan panjang $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $!
Penyelesaian :
*). Diketahui panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} = 3|\vec{v}| $
*). Menentukan perbandingannya dengan panjang proyeksi $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dan rumus persobat semua dot :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| \frac{|\vec{u}||\vec{v}| \cos \theta }{|\vec{v}|} \right| \\ 3|\vec{v}| & = \left| |\vec{u}| \cos \theta \right| \\ 3|\vec{v}| & = |\vec{u}| \cos \theta \\ \frac{3}{ \cos \theta } & = \frac{ |\vec{u}| }{|\vec{v}|} \end{align} $
Jadi, perbandingan panjang $ \vec{u} $ terhadap panjang $ \vec{v} $ merupakan $ |\vec{u}| : |\vec{v}| = 3 : \cos \theta $.

Baca Juga:   Komponen Vektor Yang Tegak Lurus Terhadap Vektor

10). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan vektor $ \vec{b} $ membentuk sudut $ \theta $. Jika panjang proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ sama dengan $ 2 \sin \theta $ dan panjang vektor $ \vec{b} $ merupakan 1, maka tentukan $ \tan 2\theta $!
(Soal UM-UGM)
Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ dan $ \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 – \tan ^2 \theta } $
*). Diketahui panjang proyeksi $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} = 2 \sin \theta $.
*). Panjang proyeksi vektor $ \vec{b} $ pada $ \vec{a} $ dan persobat semua dot :
$ \begin{align} \text{Panjang proyeksi } & = \left| \frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| \frac{|\vec{b}||\vec{a}| \cos \theta}{|\vec{a}|} \right| \\ 2 \sin \theta & = \left| |\vec{b}| \cos \theta \right| \\ 2 \sin \theta & = 1. \cos \theta \\ 2 \sin \theta & = \cos \theta \\ \frac{ \sin \theta }{\cos \theta } & = \frac{1}{2} \\ \tan \theta & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menetukan nilai $ \tan 2\theta $ :
$\begin{align} \tan 2 \theta = \frac{2\tan \theta}{1 – \tan ^2 \theta } = \frac{2. \frac{1}{2}}{1 – (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \end{align} $.
Jadi, nilai $ \tan 2\theta = \frac{4}{3} $.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian rumus-rumus berkaitan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor :
Perhatikan gambar gambaran I di bawah ini.

Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ membentuk sudut $ \theta $ dan terbentuk segitiga siku-siku.
sesampai kemudian $ \cos \theta = \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} $
*). Pembuktian rumus proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ dan panjangnya :
-). Persobat semua dot $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \cos \theta \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{a}|| \vec{b}| \frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|} \\ \vec{a} . \vec{b} & = |\vec{b}|| \vec{c}| \\ |\vec{c}| & = \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} \end{align} $
-). Karena $ \vec{a} . \vec{b} $ nilainya sanggup positif atau negatif, sementara bentuk $ |\vec{c}| $ menyatakn panjang vektor $ \vec{c} $ yang nilainya selalu popsitif, maka bentuk $ \frac{ \vec{a} . \vec{b} }{ |\vec{b}|} $ menghasilkan besar (panjangnya) dan arah (positif atau negatif). Besarnya saja kita sebut sebagai panjang proyeksinya (panjang vektor $ \vec{c}$) yang selalu positif, sementara besar dan arah kita sebut sebagai proyeksi skalar dengan rumusnya yaitu :
Proyeksi skalar $ = \begin{align} \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align} $
Panjang Proyeksi $ = \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align} $

*). Pembuktian rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
-). Pada pembuktian di atas, kita telah memperoleh proyeksi skalar $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ yaitu besar dan arah $ \vec{c} $. Karena skalar $ \vec{c} $ sudah kita peroleh dan $ \vec{c} $ berimpit dengan vektor $ \vec{b} $ maka vektor $ \vec{c} $ merupakan hasil dari persobat semua skalarnya dengan vektor satuan dari vektor $ \vec{b} $.
$ \begin{align} \vec{c} & = (\text{skalar }) \vec{e}_\vec{b} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Sesampai kemudian rumus proyeksi vektor $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ :
Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $

*). Pembuktian cara II rumus proyeksi vektor :
-).pada gambaran gambar, misalkan garis putus-putus warna merah kita anggap sebagai sebuah vektor $ \vec{d} $ yang tegak lurus vektor $ \vec{b} $, sesampai kemudian $ \vec{d} . \vec{b} = 0 $. Berdasarkan penjumlahan vektor secara geometri yaitu hukum segitiga kita peroleh $ \vec{a} = \vec{c} + \vec{d} $.
-). Vektor $ \vec{c} $ sejajar vektor $ \vec{b} $ sesampai kemudian $ \vec{c} = n \vec{b} $ dan sudutnya $ 0^\circ $.
$ \vec{b}. \vec{c} = |\vec{b}||n\vec{b}| \cos 0^\circ = n|\vec{b}|^2 $
-). Menentukan nilai $ n $ dengan persobat semua dot dan sifat persobat semua dot :
$ \begin{align} \vec{a} . \vec{b} & = (\vec{c} + \vec{d}) . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + \vec{d} . \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} + 0 \\ \vec{a} . \vec{b} & = \vec{c}. \vec{b} \\ \vec{a} . \vec{b} & = n|\vec{b}|^2 \\ n & = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \end{align} $
sesampai kemudian vektor $ \vec{c} $ yaitu :
$ \begin{align} \vec{c} & = n \vec{b} = \left( \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $
Jadi, rumus Proyeksi vektor $ = \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align} $ .

       Demikian pembahasan bahan Proyeksi Ortogonal Vektor pada Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “materi vektor tingkat SMA” yaitu “komponen tegak lurus vektor pada vektor“.