Refleksi Atau Pencerminan Pada Transformasi

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas materi Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi. Tentu teman-teman tak abnormal dengan kata pencerminan yang hampir setiap hari kita lakukan ialah dikala berkaca pada sebuah cermin untuk berdandan atau bergaya. Refleksi atau Pencerminan merupakan salah satu jenis dari transformasi geometri. Dalam transformasi geometri, berdiri atau benda yang kita refleksikan berupa titik, kurva, dan berdiri datar atau ruang. Sementara yang menjadi cermin di sini merupakan sebuah garis. Refleksi atau pencerminan merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan memakai sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan. Sifat bayangan cermin ialah jarak antara benda orisinil dengan cermin akan sama dengan jarak titik bayangan ke cermin, serta ukuran dan bentuknya sama.

         Sebagaimana jenis transformasi geometri lainnya, Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi juga melibatkan bentuk “matriks transformasi geometri“. Hanya saja, bentuk matriksnya cukup kaya tergantuk dari jenis pencerminannya misalkan terhadap sumbu X, sumbu Y, garis $ y = x $ dan garis $ y = -x $. Untuk penghitungannya, kita juga memakai rumus umum transformasi geometri ialah $ \text{bayangan } = \text{ Matriks } \times \text{ awalnya} $. Untuk memudahkan mempelajari materi refleksi atau pencerminan, sebaiknya teman-teman menguasai materi operasi hitung pada matriks terlebih dahulu.

Sifat-sifat Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi
       Berikut sedikit sifat dari Refleksi atau pencerminan ialah :
i). Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
ii). Jarak berdiri (objek) dari cermin (cermin datar) merupakan sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.

Perhatikan gambar berikut,

Matriks Transformasi dan Cara Penghitungannya untuk refleksi
       Berikut merupakan matriks transformasi untuk refleksi menurut garis sebagai cerminnya ialah :
*). Pencerminan terhadap sumbu X
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a , -b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap sumbu Y
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-a , b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = x $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (b,a) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = -x $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-b,-a) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap titik asal ialah sentra koordinat (0,0)
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-a,-b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ x = h $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2h-a,b) $.
$\begin{align} a^\prime = 2h – a & \rightarrow a^\prime = (-1.a + 0 . b )+ 2h \\ b^\prime = b & \rightarrow b^\prime = (0.a + 1. b )+ 0 \\ \end{align} $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) $

Baca Juga:   Dilatasi Pada Transformasi Geometri

*). Pencerminan terhadap garis $ y = k $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a, 2k – b) $.
$\begin{align} a^\prime = a & \rightarrow a^\prime = (1.a + 0 . b )+ 0 \\ b^\prime = 2k – b & \rightarrow b^\prime = (0.a + -1. b )+ 2k \\ \end{align} $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) $

gambar pencerminannya :

Contoh Soal Refleksi atau pencerminan :
1). Tentukan bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) apabila dicerminkan terhadap :
a). Sumbu X,
b). Sumbu Y,
c). garis $ y = x $
d). titik asal,
e). garis $ x = 7 $.

Penyelesaian :
*). Untuk soal bab (a) hingga dengan (d) kita kerjakan sekaligus (bukan titik A atau B atau C sendiri-sendiri).
a). Sumbu X,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Untuk memilih bayangan sedikit titik dengan matriks yang sama, sanggup menghitung satu-satu atau sanggup juga pribadi semua titik.
*). Misalkan menghitung bayangan titik A(1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
sesampai lalu bayangan titik A merupakan $ A^\prime (1,-2) $.

*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (1,-2), \, B^\prime (3,1) \, $ dan $ C^\prime (-4,6) $.

b). Sumbu Y,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 & 4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (-1,2), \, B^\prime (-3,-1) \, $ dan $ C^\prime (4,-6) $.

c). garis $ y = x $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & -6 \\ 1 & 3 & -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (2,1), \, B^\prime (-1,3) \, $ dan $ C^\prime (-6,-4) $.

Baca Juga:   Komposisi Transformasi Pada Translasi

d). titik asal,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 & 4 \\ -2 & 1 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (-1,-2), \, B^\prime (-3,1) \, $ dan $ C^\prime (4,6) $.

2). Tentukan bayangan titik P(2,-5) apabila direfleksikan terhadap :
a). garis $ x = 3 $
b). garis $ y = – 4 $

Penyelesaian :
a). garis $ x = 3 $
Pencerminan titik A(2,-5) oleh garis $ x = 3 $, artinya $ h = 3 $ , bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2. 3 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (4,-5). \, \heartsuit $.

b). garis $ y = – 4 $
Pencerminan titik A(2,-5) oleh garis $ y = -4 $, artinya $ k = -4 $ , bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2.(-4) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (2,-3). \, \heartsuit $.

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^3 – 2x + 1 $ apabila dicerminkan terhadap sumbu X.!

Penyelesaian :
*). Matriks pencerminan terhadap sumbu X :
$ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan korelasi $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x \rightarrow x = x^\prime $
$ y^\prime = -y \rightarrow y = -y^\prime $.
*). Substitusi bentuk $ x = x^\prime $ dan $ y = -y^\prime $ ke persamaan awalnya sesampai lalu kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^3 – 2x + 1 \\ -y^\prime & = {x^\prime}^3 – 2x^\prime + 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ y^\prime & = -{x^\prime}^3 + 2x^\prime – 1 \end{align} $
sesampai lalu bayangannya $ y^\prime = -{x^\prime}^3 + 2x^\prime – 1 $ atau $ y = -x^3 + 2x – 1 $.
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ y = -x^3 + 2x – 1 . \, \heartsuit $

4). Tentukan bayangan persamaan $ x^3 – xy^2 + 3xy – y + 1 = 0 $ apabila direfleksikan oleh garis $ x = -5 $!

Penyelesaian :
Pencerminan oleh garis $ x = -5 $, artinya $ h = -5 $
*). Menentukan korelasi $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2. (-5) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -10 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x – 10 \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -x – 10 \rightarrow x = – x^\prime – 10 $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $.
*). Substitusi bentuk $ x = – x^\prime – 10 $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awalnya sesampai lalu kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} x^3 – xy^2 + 3xy – y + 1 & = 0 \\ (- x^\prime – 10)^3 – (- x^\prime – 10){y^\prime}^2 + 3(- x^\prime – 10)y^\prime – y^\prime + 1 & = 0 \\ -(x^\prime + 10)^3 + (x^\prime + 10){y^\prime}^2 – 3(x^\prime + 10)y^\prime – y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $

Baca Juga:   Komposisi Transformasi Pada Dilatasi

sesampai lalu bayangannya $ -(x^\prime + 10)^3 + (x^\prime + 10){y^\prime}^2 – 3(x^\prime + 10)y^\prime – y^\prime + 1 = 0 $
atau $ -(x + 10)^3 + (x + 10){y}^2 – 3(x + 10)y – y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangannya merupakan $ -(x + 10)^3 + (x + 10){y}^2 – 3(x + 10)y – y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Suatu persamaan garis dicerminkan terhadap garis $ y = 2 $ menghasilkan bayangan $ 3x – y – 1 = 0 $ . Tentukan persamaan awal garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 2 $ , artinya $ k = 2 $.
*). Persamaan bayangannya : $ 3x – y – 1 $ atau $ 3x^\prime – y^\prime – 1 = 0 $.
*). Menentukan korelasi $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2.2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x $
$ y^\prime = -y + 4 $.
*). Substitusi bentuk $ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -y + 4 $ ke persamaan bayangannya sesampai lalu kita dapatkan persamaan awalnya :
$ \begin{align} 3x^\prime – y^\prime – 1 & = 0 \\ 3x – ( – y + 4) – 1 & = 0 \\ 3x + y – 4 – 1 & = 0 \\ 3x + y – 5 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya merupakan $ 3x+y – 5 = 0 . \, \heartsuit $.

       Refleksi atau pencerminan selain terhadap garis vertikal atau garis horizontal, juga sanggup dilakukan pencerminan terhadap garis yang lainnya ialah terhdap garis $ y = mx + c $ atau terhadap garis $ ax + by + c = 0 $. Untuk pencerminan tipe ini, akan kita bahas pada artikel lainnya secara lebih mendalam. Silahkan teman-teman ikuti link : “Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $“.

       Demikian pembahasan materi Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan “regangan dan gusuran“.