Regangan Dan Gusuran Pada Transformasi

Posted on

         Pondok Soal.com – Selain membahas empat jenis transformasi geometri, ada dua lagi jenis transformasi yang akan kita bahasan yang merupakan materi pengayaan (materi tak wajib diajarkan dan hanya sebagai perhiasan saja) di tingkat Sekolah Menengan Atas ialah Regangan dan Gusuran pada Transformasi. Adapun empat jenis transformasi yang sudah kita bayas ialah : translasi, dilatasi, rotasi, dan refleksi.

         Pada materi Regangan dan Gusuran pada Transformasi juga melibatkan matriks transformasi geometri dalam melaksanakan penghitungannya ialah memakai rumus umum transformasi. Sesampai lalu untuk memudahkan mempelajari materi regangan dan gusuran ini teman-teman harus menguasai materi operasi hitung pada matriks dan sifat invers matriks.

         Regangan pada transformasi bantu-membantu lebih seakan-akan dengan dilatasi, hanya saja yang mengalami perbesaran atau perkecilan pada salah satu penggalan ialah absisnya saja ($x$) atau ordinatnya saja ($y$), sementara jikalau dilatasi keduanya berubah ($x,y$). Gusuran pada transformasi lebih seakan-akan dengan translasi (pergeseran) dimana translasi digeser kedua arah ialah searah sumbu X dan searah sumbu Y, sementara untuk gusuran hanya digeser kesalah satu arah saja ialah serah sumbu X saja atau searah sumbu Y saja.

Sifat-sifat Regangan dan Gusuran pada Transformasi
       Adapun sifat-sifat bayangan hasil dari transformasi berupa Regangan atau Gusuran ialah :
1). Regangan atau Gusuran menimbulkan bentuk dan ukuran berdiri semula berubah.
2). Regangan atau Gusuran menimbulkan posisi berdiri semua berubah.

Regangan pada Transformasi Geometri
       Berikut cara menghitung mencari bayangan oleh transformasi berupa Regangan :
*). Perubahan penggalan absis ($x$) :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Regangan searah sumbu X dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Perubahan penggalan ordinat ($y$) :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Regangan searah sumbu Y dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

Contoh Soal Regangan pada Transformasi :
1). Tentukan bayangan titik P(-3,2) apabila mengalami peregangan terhadap sumbu X dengan faktor skala 5?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik P yang mengalami peregangan searah sumbu X :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -15 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik P merupakan $ P^\prime (-15, 2) . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Translasi Pada Transformasi Geometri

2). Tentukan bayangan titik A(1,4) apabila mengalami peregangan terhadap sumbu Y dengan faktor skala -2?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik A yang mengalami peregangan searah sumbu Y :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -8 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (1,-8) . \, \heartsuit $.

3). Persamaan $ 2x – 3y = 1 $ mengalami peregangan terhadap sumbu X dengan faktor skala 4. Tentukan bayangan persamaan tersebut?

Penyelesaian :
*). Menentukan korelasi $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 4x \rightarrow x = \frac{1}{4} x^\prime $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $.
*). Substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{4} x^\prime $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x – 3y & = 1 \\ 2.\frac{1}{4} x^\prime – 3y^\prime & = 1 \\ \frac{1}{2} x^\prime – 3y^\prime & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x^\prime – 6y^\prime & = 2 \end{align} $
sesampai lalu bayangannya merupakan $ x^\prime – 6y^\prime = 2 $ atau $ x – 6y = 2 $.
Jadi, bayangan persamaannya merupakan $ x – 6y = 2 . \, \heartsuit $.

Gusuran pada Transformasi Geometri
       Berikut cara menghitung mencari bayangan oleh transformasi berupa Gusuran :
*). Perubahan searah sumbu X :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Gusuran searah sumbu X dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Perubahan searah sumbu Y :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

4). Bayangan titik B(-1,2) yang mengalami gusuran yang searah sumbu X dengan faktor skala 3 merupakan ….?

Baca Juga:   Pembuktian Matriks Pencerminan Garis Y=Mx+C

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik B yang mengalami gusuran searah sumbu X :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 6 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B merupakan $ B^\prime (5, 2) . \, \heartsuit $.

5). Bayangan titik C(-3,-1) yang mengalami gusuran yang searah sumbu Y dengan faktor skala -2 merupakan ….?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik C yang mengalami gusuran searah sumbu Y :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 6 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C merupakan $ C^\prime (-3,5) . \, \heartsuit $.

6). Persamaan $ -2x + 5y + 1 = 0 $ mengalami gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3. Tentukan bayangan persamaan tersebut?

Penyelesaian :
Cara I : Menggunakan sifat invers Matriks :
$ A = B.X \rightarrow X = B^{-1} . A $
dengan $ B^{-1} \, $ merupakan invers dari matriks B.
*). Menentukan korelasi $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1.1 – 3.0} \left( \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1 – 0} \left( \begin{matrix} 1 . x^\prime + -3y^\prime \\ 0 . x^\prime + 1 . y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime -3y^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} -2x + 5y + 1 & = 0 \\ -2(x^\prime -3y^\prime ) + 5. y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 6y^\prime + 5 y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $
sesampai lalu bayangannya merupakan $ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 = 0 $ atau $ -2x + 11y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangan persamaannya merupakan $ -2x + 11y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Komposisi Transformasi Pada Translasi

Cara II : Jika salah satu entri (isi matriks) matriksnya ada yang bernilai nol, maka sanggup pribadi dikalikan saja.
*). Menentukan korelasi $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + 3y \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ y^\prime = y $ atau $ y = y^\prime $
$ x^\prime = x + 3y \rightarrow x^\prime = x + 3y^\prime \rightarrow x = x^\prime – 3y^\prime $.
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} -2x + 5y + 1 & = 0 \\ -2(x^\prime -3y^\prime ) + 5. y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 6y^\prime + 5 y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $
sesampai lalu bayangannya merupakan $ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 = 0 $ atau $ -2x + 11y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangan persamaannya merupakan $ -2x + 11y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

7). Suatu persamaan garis mengalami gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala $ – 3 $ menghasilkan bayangan $ -10x-5y+2 = 0 $. Tentukan persamaan awalnya?

Penyelesaian :
*).Diketahui pada soal :
Persamaan bayangannya : $ -10x-5y+2 = 0 $ atau $ -10x^\prime -5y^\prime +2 = 0 $
Yang ditanyakan merupakan persamaan awalnya?
*). Menentukan korelasi $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -3x + y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -3x + y $
*). Substitusikan bentuk $ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -3x + y $ ke persamaan bayangan sesampai lalu kita peroleh persamaan awalnya :
$ \begin{align} -10x^\prime -5y^\prime +2 & = 0 \\ -10x -5(-3x + y) +2 & = 0 \\ -10x + 15x -5y + 2 & = 0 \\ 5x -5y + 2 & = 0 \end{align} $
Jadi, bayangan awalnya merupakan $ 5x -5y + 2 = 0 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Regangan dan Gusuran pada Transformasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri.