Relasi

Posted on

         Pondok Soal.com – Pada artikel ini kita akan membahas perihal Relasi dan Fungsi. Relasi dan fungsi keduanya terdapat keterkaitan. Semua fungsi sudah niscaya merupakan suatu relasi, akan tenamun tak berlaku sebaliknya, adalah semua hubungan belum tentu sebagai fungsi. Untuk kali ini kita akan lebih mendalam membahas perihal Relasi . Silahkan juga baca artikel perihal “Fungsi

Pengertian Relasi
       Misalkan A dan B merupakan himpunan. Relasi dari A ke B merupakan hukum pengaitan/ pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

Catatan :
1). Relasi sanggup terbentuk apabila terdapat dua himpunan/kelompok yang terdapat anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain.
2). Relasi sanggup terbentuk apabila ada hukum yang mengaitkan antara anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain.

Beberapa istilah dalam Relasi
Domain (Daerah Asal)
       Daerah asal atau biasa disebut domain suatu hubungan merupakan himpunan tak kosong dimana sebuah hubungan didefinisikan.
Kodomain (Daerah Kawan)
       Daerah mitra atau biasa disebut kodomain suatu hubungan merupakan himpunan tak kosong dimana anggota domain terdapat pasangan sesuai hubungan yang didefinisikan.
Range (Daerah Hasil)
       Daerah hasil atau biasa disebut range suatu hubungan merupakan sebuah himpunan bab dari kawasan mitra (kodomain) yang anggotanya merupakan pasangan anggota domain yang memenuhi hubungan yang didefinisikan.

Penyajian Relasi
       Relasi yang terbentuk sanggup disaapabilan dengan tiga cara adalah :
1). Diagram Panah,
2). Himpunan Pasangan Berurutan,
3). Diagram Kartesius

Pengertian Himpunan Pasangan Berurutan
       Misalkan A dan B dua himpunan. Relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke setiap anggota himpunan B disebut hasil kali kartesius A dan B, dan ditulis:
$ A \times B = \{(x,y) | x \in A \text{ dan } y \in B \}. $

Contoh :
1). Dalam rangka memperingati HUT RI ke- 68 di Kabupaten ABC, Sekolah Menengan Atas Negeri 1 ABC akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar siswa Sekolah Menengan Atas pada pertandingan tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, dan catur. Terdapat 6 siswa (Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, dan Tono) yang akan mengikuti pertandingan tersebut. Sekolah membuat pilihan dalam memilih pertandingan yang akan diikuti oleh keenam siswa tersebut adalah Udin ikut pertandingan tenis lapangan dan bola voli, Joko ikut pertandingan badminton, Dayu ikut pertandingan catur, Siti ikut pertandingan bola voli, Beni ikut pertandingan tenis meja, dan Tono ikut pertandingan tenis meja.
Pasangkanlah siswa dengan jenis pertandingan yang akan diikuti memakai diagram panah, pasangan terurut, dan diagram kartesius. ?
Penyelesaian :
Nama Relasinya merupakan “Mengikuti pertandingan”.
Berikut penyajian Relasinya :
*). Diagram panah

*). Himpunan pasangan berurutan
{(Udin,tenis lapangan), (Udin, bola voli), (Joko, badminton), (Dayu, catur), (Siti, bola voli), (Beni, tenis meja), (Tono, tenis meja)}
*). Diagram kartesius

Adapun domain, kodomain, dan rangenya :
Domain : {Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, Tono}
Kodomain : {tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, catur}
Range : {tenis lapangan, bola voli, badminton, tenis meja, catur}

Baca Juga:   Fungsi Komposisi

2). Sebuah hubungan kerap dinyatakan dalam bentuk persamaan dalam variabel $x$ dan $y$, sebagai contoh: $y = x + 1$ dan $x = y^2$. Nilai $x$ merupakan domain hubungan dan nilai $y$ merupakan kawasan hasil relasi. Pada persamaan $y = x + 1$, apabila domain $x$ dibatasi oleh $ 0 < x \leq 5 $, untuk $x$ bilangan real, maka kawasan alhasil merupakan $ 1 < y \leq 6$.

3). Tidak semua hubungan sanggup dinyatakan dalam bentuk persamaan. Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan Gambar di atas, sanggup diketahui bahwa:
*). Seluruh titik pada $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ merupakan referensi relasi.
*). Kesepuluh titik-titik pada Gambar (ii) merupakan referensi relasi.
Namun kedua jenis diagram kartesius tersebut di atas sulit diubah dalam bentuk persamaan.

Sifat-sifat Relasi
Sifat 1 : Sifat Reflektif
       Misalkan $ R $ sebuah hubungan yang didefinisikan pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat refleksif apabila untuk setiap $p \in P $ berlaku $(p, p) \in R $, artinya setiap anggota himpunan $ P $ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh :
1). Diberikan himpunan $P = {1, 2, 3}$. Didefinisikan hubungan $R$ pada himpunan $P$ dengan hasil hubungan merupakan himpunan $S = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif alasannya setiap anggota himpunan $P$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

2). Diberikan himpunan $Q = \{2,4,5\}$. Didefinisikan hubungan $R$ pada himpunan $Q$ dengan $R = \{(a,b)| a \text{ kelipatan lingkaran } b, \text{ dengan } a,b \in Q\}$, sesampai lalu diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif alasannya setiap anggota himpunan $Q$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

3). Diberikan himpunan $ C = \{2,4,5\}$. Didefinisikan hubungan $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{(a,b)|a + b < 9, \text{ dengan } a,b \in C\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tak bersifat refleksif alasannya ada anggota himpunan $C$, adalah 5 tak berelasi dengan dirinya sendiri atau $(5, 5) \not \in R$.

Sifat 2 : Sifat Simetris
       Misalkan $R$ sebuah hubungan pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap $(x, y) \in R$ berlaku $ (y, x) \in R$, artinya apabila $(x,y) $ ada dalam himpunan $ R $ , maka $ (y,x) $ juga harus ada dalam himpunan $ R $ .

Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan hubungan $R$ pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ bersifat simetris alasannya untuk setiap $(x,y) \in R$, berlaku $(y,x) \in R$.

Baca Juga:   Kumpulan Rumus Cepat Komposisi Fungsi Dilengkapi Contoh

2). Diberikan himpunan $A = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan hubungan $R$ pada himpunan $A$ dengan $R = \{(x, y) | x \text{ kelipatan } y, \text{ dengan } x, y \in A\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tak bersifat simetris alasannya (4,2) anggota $R$ tenamun (2,4) $ \not \in R$.

Sifat 3 : Sifat Transitif
       Misalkan $R$ sebuah hubungan pada himpunan $P$. Relasi $R$ bersifat transitif apabila untuk setiap $(x,y) \in R$ dan $ (y,z) \in R $ maka berlaku $(x,z) \in R$.

Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan hubungan pada himpunan $P$ dengan hasil hubungan merupakan himpunan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat transitif alasannya $(x,y) \in R$ dan $ (y,z) \in R $ maka berlaku $(x,z) \in R$.

2). Diberikan himpunan $C = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan hubungan $R$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tak memenuhi sifat transitif, alasannya terdapat (1,1) $ \in R$ dan (1,2) $\in R$ , tenamun (2,1) $\not \in R$.

Sifat 4 : Sifat Antisimetris
       Misalkan $R$ sebuah hubungan pada sebuah himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap $(x,y) \in R$ dan $(y,x) \in R$ berlaku $x = y$.

Contoh
1). Diberikan himpunan $C = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan hubungan $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{ (a,b) | a \text{ kelipatan } b, a,b \in C\}$ sesampai lalu diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat antisimetris.

2). Diberikan $S = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan hubungan $R$ pada himpunan $S$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tak bersifat antisimetris alasannya terdapat $(1,2) \in R $ dan $(2,1) \in R$, tenamun $1 \neq 2$.

Relasi ekivalensi
       Misalkan $R$ sebuah hubungan pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan hubungan ekivalensi apabila dan hanya apabila hubungan $R$ memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.

Contoh
Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan hubungan pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif, simetris dan transitif. Oleh alasannya itu hubungan $R$ merupakan hubungan ekivalensi.

Baca Juga:   Fungsi Invers

            Selain berguru perihal Relasi dan Fungsi , sebaiknya kita lanjutkan dengan bahan yang masih terkait adalah komposisi fungsi dan fungsi invers. Silahkan baca artikelnya di sini “Komposisi Fungsi” dan “Fungsi Invers”.