Rente Dalam Matematika Keuangan

Posted on

         Pondok Soal.com – Andaikan kita menyimpan sejumlah uang setiap awal bulan di bank dengan jumlah yang sama, dan bank memperlihatkan bunga terhadap simpanan kita. Setelah sekian bulan kita akan menghitung jumlah tabungan yang telah tersimpan. Semisal juga bank tak membebani biaya administrasi, dapatkah kita menghitung jumlah keseluruhan simpanan uang anda? Untuk menghitung jumlah tabungan dari ilustrasi di atas. diharapkan ilmu wacana Rente. Pada artikel ini kita akan membahas Rente Dalam Matematika Keuangan.

         Pengertian Rente: Rente merupakan sederetan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya.
Ada sedikit macam rente ialah :
a). Rente menurut ketika pembayaran angsuran terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Pra Numerando merupakan rente yang dibayarkan atau diterima di awal periode.
$\clubsuit \, $ Rente Post Numerando merupakan rente yang dibayarkan atau diterima di simpulan periode.
b). Rente menurut kayanya angsuran terdiri dari:
$\spadesuit \, $ Rente Terbatas merupakan rente yang jumlah angsurannya terbatas.
$\spadesuit \, $ Rente Kekal merupakan rente yang jumlah angsurannya tak terbatas.
c). Rente menurut eksklusif taknya pembayaran pertama terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Langsung merupakan rente yang pembayaran pertamanya eksklusif sesuai perjanjian.
$\clubsuit \, $ Rente yang ditangguhkan merupakan rente yang pembayaran pertamanya ditangguhkan sedikit periode.

         Pada bahan Rente Dalam Matematika Keuangan ini, kita akan menghitung besarnya nilai simpulan (NA) dan nilai tunai (NT). Sesampai lalu penting bagi teman-teman untuk menguasai terlebih dahulu bahan “nilai tunai dan nilai akhir“. Dan satu lagi yang perlu kita pahami ialah penghitungan rente memakai konsep “bunga majemuk“.

Nilai Akhir Rente Pra numerando
       Rente Pra Numerando merupakan Rente yang dibayarkan di awal periode, sesampai lalu angsuran terakhir sudah mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama ialah M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai simpulan (NA) besarnya tabungan hingga diakhir periode ke-$n$ merupakan :
              $ \begin{align} NA = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau memakai daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M . \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \, $ sanggup diperoleh dari daftar nilai rente ialah nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.

Contoh soal Nilai Akhir Rente Pra numerando :
1). Setiap awal bulan Wildan menyimpan uang di Bank Makmur sebesar Rp100.000,00. Jika bank memperlihatkan bunga 6%/bulan, tentukan uang Wildan sehabis menabung 20 bulan (Seluruh uangnya diambil di simpulan bulan ke-20)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 100.000, $ i = 6\% = 0,06 \, $/bulan, dan $ n = 20 $.
*). Menentukan nilai simpulan (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{100.000 \times (1+0,06)[(1+0,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{100.000 \times (1 ,06)[(1 ,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{106.000 \times [2,207135472]}{0,06} \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $
Jadi, total uang Wildan ketika diambil diakhir bulan ke-20 merupakan Rp3.899.272,67.

Baca Juga:   Anuitas Dan Angsuran Matematika Keuangan

*). Jika memakai daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M \times \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \\ & = M \times \text{ kolom 6% dan baris 20} \\ & = 100.000 \times 38,99272668 \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $

Nilai Akhir Rente Post numerando
       Rente Pra Numerando merupakan Rente yang dibayarkan di simpulan periode, sesampai lalu angsuran terakhir tak mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap simpulan periode dengan besar yang sama ialah M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai simpulan (NA) besarnya tabungan hingga diakhir periode ke-$n$ merupakan :
              $ \begin{align} NA = \frac{M[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau memakai daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \, $ sanggup diperoleh dari daftar nilai rente ialah nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.

Contoh soal Nilai Akhir Rente Post numerando :
2). Setiap simpulan bulan Wulan menyimpan uang di bank Rp500.000,00 selam 2 tahun. Jika bank memperlihatkan suku bunga 1.5%/bulan, tentukan simpanan total Wulan di bank tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 500.000, $ i = 1,5\% = 0,015 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan nilai simpulan (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{500.000 \times [(1+0,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times [(1 ,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times 0,429502811}{0,015} \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $
Jadi, total uang Wulan ketika diambil diakhir bulan ke-24 merupakan Rp14.316.760,40.

*). Jika memakai daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M \times \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \\ & = M+ M \times \text{ kolom 1,5% dan baris (24-1) = 23} \\ & = 500.000 + 500.000 \times 27,63352080 \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Pra numerando
       Nilai tunai rente Pra numerando merupakan jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama merupakan nilai angsuran itu sendiri, ialah M. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama ialah M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan hingga diakhir periode ke-$n$ merupakan :
              $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)[1 – (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau memakai daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \, $ sanggup diperoleh dari daftar nilai rente ialah nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.

Baca Juga:   Soal-Soal Latihan Wacana Rente

Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
3). Seorang siswa akan menerima beasiswa pada setiap awal bulan dari PT SUKSES ABADI sebesar Rp250.000,00 selama 3 tahun. Jika sumbangan itu akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 2%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 250.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M(1+i)[1 – (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{250.000 \times (1+0,02)[1 – (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{250.000 \times (1 ,02)[1 – (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times [1 – 0,49022315]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times 0,50977685 }{0,02} \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $
Jadi, siswa tersebut mendapatkan seluruh beasiswanya diawal sebesar Rp6.499.654,83.

*). Jika memakai daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \\ & = M + M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 – 1 = 35} \\ & = 250.000 + 250.000 \times 24,99861933 \\ & = 250.000 + 6249654,83 \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Post numerando
       Nilai tunai rente Post numerando merupakan jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Misalkan kita menabung setiap simpulan periode dengan besar yang sama ialah M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan hingga diakhir periode ke-$n$ merupakan :
              $ \begin{align} NT = \frac{M[1 – (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau memakai daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \, $ sanggup diperoleh dari daftar nilai rente ialah nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.


Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
4). Tiap simpulan bulan Yayasan Cinta Sejahtera mendapatkan sumbangan dari Badan Kemakmuran Dunia sebesar Rp5.000.000,00 selama 3 tahun berturut-turut. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus di awal dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M [1 – (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 – (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 – (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 – 0,49022315]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,50977685}{0,02} \\ & = 127.444.212,50 \end{align} $
Jadi, yayasan akan mendapatkan total uang sejumlah Rp127.444.212,50 di awal sesampai lalu tak perlu menunggu tiga tahun lagi.

*). Jika memakai daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \\ & = M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 } \\ & = 5.000.000 \times 25,4888425 \\ & = 127.444.212,50 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Kekal
       Rente abadi merupakan rente yang jumlah angsurannya tak terbatas. Nilai simpulan rente merupakan deret geometri naik. Oleh lantaran itu rente abadi tak ada nilai akhirnya. Nilai tunai rente merupakan deret geometri turun, sesampai lalu nilai tunai rente abadi terdapat nilai (konvergen).

Baca Juga:   Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

a). Nilai Tunai Rente Kekal Pra Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)}{i} \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} NT = \frac{M }{i} + M \end{align} $

a). Nilai Tunai Rente Kekal Post Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M}{i} \end{align} $

Contoh soal rente abadi :
5). Setiap awal bulan, Budi akan mendapatkan beasiswa dari PT ABC sebesar Rp175.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. PT. ABC tak ingin repot. Oleh lantaran itu, beasiswa akan diberikan sekaligus namun harus dikenai bunga sebesar 1%/ bulan. Tentukan beasiswa total yg diterima Budi!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 175.000, $ i = 1\% = 0,01 \, $/bulan, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente abadi pra numerando lantaran penerimaannya di awal.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} + M \\ & = \frac{175.000 }{0,01} + 175.000 \\ & = 17.500.000 + 175.000 \\ & = 17.675.000 \end{align} $
Jadi, total beasiswa yang diterima oleh kecerdikan di awal merupakan Rp17.675.000,00.

6). Setiap simpulan tahun yayasan A akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia Sebesar Rp3.500.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. Jika Bank Dunia akan memperlihatkan sumbangan sekaligus dengan bunga 17,5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yg diterima yayasan A tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.500.000, $ i = 17,5\% = 0,175 \, $/tahun, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente abadi post numerando lantaran penerimaannya di simpulan setiap periode.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} \\ & = \frac{3.500.000 }{0,175} \\ & = 20.000.000 \end{align} $
Jadi, yayasan A akan mendapatkan total sumbangan sebesar Rp20.000.000,00.

Catatan :
Untuk rumus-rumus yang ada di atas, tentu kurang kompleks rasanya bila kita tak mengetahui asal-usul rumus tersebut. Sesampai lalu pada artikel berikutnya akan kami share pembuktian rumus rente. Silahkan baca artikelnya dengan judul “Pembuktian Rumus Rente dalam Matematika Keuangan”.

         Demikian pembahasan bahan Rente Dalam Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Untuk bahan berikutnya, silahkan pelajari yang masih terkait dengan matematika keuangan ialah anuitas.