Rotasi Pada Transformasi Geometri

Posted on

         Pondok Soal.com – Dua jenis transformasi geometri telah kita bahas pada artikel sebelumnya ialah “translasi” dan “dilatasi“. Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Rotasi pada Transformasi Geometri. Rotasi terdapat makna perputaran. Ada sedikit contoh rotasi/perputaran yang kerap kita jumpai dalam kehidupan ialah jarum jam dinding, kincir angin, kipas angin, dan lain-lainnya.

         Rotasi pada Transformasi Geometri terdapat putaran sebesar sudut tertentu misalkan sebesar $ \theta $ dengan arah perputaran ada dua jenis ialah rotasi searah jarum jam dan rotasi berlawanan arah jarum jam. Yang membedakan merupakan besar sudutnya dimana searah jarum jam sudut bernilai negatif dan rotasi berlawanan arah jarum jam sudut bernilai positif. Rotasi pada transformasi geometri juga membutuhkan titik contoh atau disebut titik pusat yang merupakan sebagai sumbu putarnya. Titik sentra rotasi dibagi menjadi dua ialah titik sentra (0,0) dan titik sentra P($a,b$) dengan $ a $ atau $ b $ keduanya tak nol.

         Sebagaimana jenis-jenis transformasi lain yang sudah kita bahas, Rotasi juga terdapat matriks transformasi geometri yang berbentuk $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $ dengan sudut $ \theta $ menyatakan besar sudut perputarannya dan nilainya sanggup positif atau sanggup juga negatif tergantung dari arah putaran. Untuk pembuktian matriks rotasi ini, teman-teman sanggup membacanya di bab tamat artikel ini.

Sifat-sifat Rotasi pada transformasi geometri
       Suatu benda atau bangkit apabila dirotasikan maka akan terdapat sedikit sifat ialah :
i). Bangun yang diputar (rotasi) tak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
ii). Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.

Untuk lebih terangnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Simbol Penulisan Rotasi dan Matriks Rotasinya
       Dalam mengerjakan soal-soal Rotasi, terkadang tak eksklusif memakai perintah kompleks namun dalam bentuk simbol rotasi. Berikut simbol penulisan rotasi dan maknanya menurut jenis titik pusatnya :
*). Rotasi titik sentra (0,0)
1). simbol R[O,$\alpha$]
artinya rotasi dengan sentra (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $.
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[O,$-\alpha$]
artinya rotasi dengan sentra (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $
*). Rotasi titik sentra ($a,b$)
1). simbol R[P($a,b$),$\alpha$]
artinya rotasi dengan sentra ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[P($a,b$),$-\alpha$]
artinya rotasi dengan sentra ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $

Catatan :
*). Karena besar sudut putaran ada yang positif dan ada yang negatif, maka akan kuat pada nilai sin dan cos sudut positif atau negatif ialah : $ \cos ( – \alpha ) = \cos \alpha $ dan $ \sin (- \alpha ) = – \sin \alpha $.
*). Secara umum dituliskan matriks rotasi merupakan $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $

Contoh soal :
1). Tentukan simbol rotasi dan matriks rotasi dari masing-masing soal berikut ini :
a). Suatu rotasi dengan sentra (0,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 60^\circ $.
b). Suatu rotasi dengan sentra (1,-3) diputar berlawanan arah jarum jam sejauh $ 30^\circ $
c). Suatu rotasi dengan sentra (-2,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 150^\circ $.

Penyelesaian :
a). Suatu rotasi dengan sentra (0,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 60^\circ $.
simbolnya : R[O,$ -60^\circ $] , dengan $ \theta = -60^\circ $.
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos (-60^\circ ) & -\sin (-60^\circ ) \\ \sin (-60^\circ ) & \cos (-60^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 60^\circ & \sin 60^\circ \\ -\sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) $.
Bentuk: $ -\sin (-60^\circ ) = – ( – \sin 60^\circ ) = \sin 60^\circ $

b). Suatu rotasi dengan sentra (1,-3) diputar berlawanan arah jarum jam sejauh $ 30^\circ $
simbolnya : R[P(1,-3),$ 30^\circ $] , dengan $ \theta = 30^\circ $.
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right)$.

c). Suatu rotasi dengan sentra (-2,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 150^\circ $.
simbolnya : R[P(-2,0),$ -150^\circ $] , dengan $ \theta = -150^\circ $.
Nilai : $ \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \, $ dan $ \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos (-150^\circ ) & -\sin (-150^\circ ) \\ \sin (-150^\circ ) & \cos (-150^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 150^\circ & \sin 150^\circ \\ -\sin 150^\circ & \cos 150^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) $.
Bentuk: $ -\sin (-150^\circ ) = – ( – \sin 150^\circ ) = \sin 150^\circ $

Baca Juga:   Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

2). Tentukan arti dari simbol rotas berikut ini.
a). R[O,$120^\circ$]
b). R[P(2,-3),$-90^\circ$]

Penyelesaian :
a). R[O,$120^\circ$]
artinya rotasi dengan sentra (0,0) dan berlawanan arah jarum jam dengan sudut sebesar $ 120^\circ $, nilai $ \theta = 120^\circ $.

b). R[P(2,-3),$-90^\circ$]
artinya rotasi dengan sentra $(a,b) = (2,-3) $ dan searah jarum jam dengan sudut sebesar $ 90^\circ $, nilai $ \theta = -90^\circ $.

Cara Penghitungan Rotasi pada Transformasi Geometri
       Untuk mencari bayangan oleh suatu rotasi memakai rumus umum transformasi geometri ialah :
bayangan = Matriks $ \times $ awal.

Untuk lebih detail penghitungan rotasi, kita bagi menjadi dua menurut titik pusatnya ialah :
1). Titik sentra (0,0) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

2). Titik sentra P($a,b$) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Contoh soal Rotasi pada transformasi geometri :

3). Tentukan bayangan titik masing-masing soal berikut ini :
a). Titik A(1,3) oleh rotasi sejauh $ 30^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan sentra (0,0).
b). Titik B(-2,1) oleh rotasi sejauh $ 60^\circ $ searah jarum jam dengan sentra (3,5).
c). Titik C(3,-2) oleh R[(4,2),$90^\circ$].

Penyelesaian :
a). Titik A(1,3) oleh rotasi sejauh $ 30^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan sentra (0,0).
*). Pusat (0,0) dan $ \theta = 30^\circ $ (positif lantaran berlawanan).
*). Menentukan bayangan titik A(1,3) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} -\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}(\sqrt{3} -3) \\ \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) \end{matrix} \right) \end{align} $
jadi, bayangan titik A merupakan $ A^\prime (\frac{1}{2}(\sqrt{3} -3), \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) ) . \, \heartsuit $

b). Titik B(-2,1) oleh rotasi sejauh $ 60^\circ $ searah jarum jam dengan sentra (3,5).
*). Pusat $ (a,b) = (3,5) $ dan $ \theta = – 60^\circ $ (positif lantaran searah).
*). Menentukan bayangan titik B(-2,1) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (- 60^\circ ) & -\sin (- 60^\circ ) \\ \sin (- 60^\circ ) & \cos (- 60^\circ ) \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -2 – 3 \\ 1-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 60^\circ & \sin 60^\circ \\ -\sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -5 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -5 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-5}{2} + \frac{-4}{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{-4}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-5}{2} + \frac{-4}{2}\sqrt{3} + 3 \\ \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{-4}{2} + 5 \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
jadi, bayangan titik B merupakan $ B^\prime (\frac{1}{2}(\sqrt{3} -3), \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) ) . \, \heartsuit $

c). Titik C(3,-2) oleh R[(4,2),$90^\circ$].
*). Pusat $ (a,b) = (4,2) $ dan $ \theta = 90^\circ $ (positif sesuai pada simbol rotasi).
*). Menentukan bayangan titik C(3,-2) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x – a \\ y – b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 -4 \\ -2-2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
jadi, bayangan titik C merupakan $ C^\prime (8,1) . \, \heartsuit $

Baca Juga:   Pencerminan Terhadap Garis $ Y = Mx+C $

       Untuk memudahkan memilih bayangan suatu persamaan yang dirotasi, kita memakai sifat invers ialah :
$ AB = C \rightarrow B = A^{-1}.C \, $ dengan $ A^{-1} $ merupakan invers dari matriks A.
*). Invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{ad – bc } \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $ .
*). identitas trigonometri : $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $.
*). Menentukan invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{\cos \theta . \cos \theta – \sin \theta . (-\sin \theta)} \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta } \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{1 } \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $

4). Tentukan bayangan persamaan $ -x + 3y + 5 = 0 $ apabila dirotasi sejauh $ 120^\circ $ berlawanan arah jarum jam?

Penyelesaian :
*). Jika tak disebutkan titik sentra pada soal, maka niscaya dianggap titik pusatnya merupakan (0,0). Nilai $ \theta = 120^\circ $ (posotif lantaran berlawanan).
*). Menentukan kekerabatan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 120^\circ & \sin 120^\circ \\ -\sin 120^\circ & \cos 120^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime – \frac{1}{2}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x = -\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime $
$ y = -\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime – \frac{1}{2}y^\prime $.
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} -x + 3y + 5 & = 0 \\ -(-\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime ) + 3(-\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime – \frac{1}{2}y^\prime) + 5 & = 0 \\ \frac{1}{2}x^\prime – \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime -\frac{3}{2}\sqrt{3}x^\prime – \frac{3}{2}y^\prime) + 5 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x^\prime – \sqrt{3}y^\prime -3\sqrt{3}x^\prime – 3y^\prime) + 10 & = 0 \\ ( 1 – 3\sqrt{3}) x^\prime – ( \sqrt{3} + 3)y^\prime + 10 & = 0 \end{align} $
Sesampai lalu bayangannya $ ( 1 – 3\sqrt{3}) x^\prime – ( \sqrt{3} + 3)y^\prime + 10 = 0 $ atau
$ ( 1 – 3\sqrt{3}) x – ( \sqrt{3} + 3)y + 10 = 0 $
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ ( 1 – 3\sqrt{3}) x – ( \sqrt{3} + 3)y + 10 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Tentukan bayangan persamaan bulat $ x^2 + y^2 – 2x + 3y + 2 = 0 $ apabila dirotasi searah jarum jam sebesar $ 180^\circ $ dengan titik sentra (-1,2).!

Penyelesaian :
*). Pusat $ (a,b) = (-1,2) \, $ dan $ \theta = – 180^\circ $ (negatif lantaran searah)
*). Menentukan kekerabatan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x -a \\ y -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x -a \\ y -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime -a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime – a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x – (-1) \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos -180^\circ & \sin -180^\circ \\ -\sin -180^\circ & \cos -180^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime – (-1) \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime +1 \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime +1 \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x^\prime -1 \\ -y^\prime +2 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x + 1 = -x^\prime -1 \rightarrow x = -x^\prime – 2 $
$ y – 2 = -y^\prime +2 \rightarrow y = -y^\prime + 4 $
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sesampai lalu kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} x^2 + y^2 – 2x + 3y + 2 & = 0 \\ (-x^\prime – 2)^2 + (-y^\prime + 4)^2 – 2(-x^\prime – 2) + 3(-y^\prime + 4) + 2 & = 0 \\ ({x^\prime}^2 + 4x^\prime + 4) + ({y^\prime}^2 – 8y^\prime + 16) + 2x^\prime + 4 -3y^\prime + 12 + 2 & = 0 \\ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 6x^\prime -11y^\prime + 38 & = 0 \end{align} $
sesampai lalu persamaan bayangannya ialah $ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 6x^\prime -11y^\prime + 38 = 0 $ atau $ x^2 + y^2 + 4x + 5y + 38 = 0 $ .
Jadi, persamaan bayangannya merupakan $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 . \, \heartsuit $.

Baca Juga:   Komposisi Transformasi Dengan Matriks

6). Pada soal nomor (5) di atas, tentukanlah luas bulat persamaan bayangannya? Apakah terjadi perubahan luas dari luas awal dan luas bayangannya?

Penyelesaian :
*). Dari soal nomor (5), diketahui persamaan lingkarannya :
Persamaan awal : $ x^2 + y^2 – 2x + 3y + 2 = 0 $
Persamaan bayangannya : $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 $
*). Cara memilih jari-jari bulat dari persamaan lingkarannya :
Persamaan bulat : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
jari-jari : $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 – C $
*). Menentukan jari-jari masing-masing bulat dan luasnya :
-). Persamaan awal : $ x^2 + y^2 – 2x + 3y + 2 = 0 \rightarrow A = -2, B = 3, C = 2 $
$ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 – C = \frac{1}{4}.(-2)^2 + \frac{1}{4}.3^2 – 2 = \frac{5}{4} $
Luas awal $ = \pi r^2 = \pi . \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\pi $.
-). Persamaan bayangan : $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 \rightarrow A = 6, B = -11, C = 38 $
$ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 – C = \frac{1}{4}.(6)^2 + \frac{1}{4}.(-11)^2 – 38 = \frac{5}{4} $
Luas bayangan $ = \pi r^2 = \pi . \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\pi $.
Jadi, luas bayangannya merupakan $ \frac{5}{4}\pi . \, \heartsuit $.

*). Ternyata luas bayangan dan luas awalnya sama ialah $ \frac{5}{4}\pi $ satuan luas. Ini sesuai dengan sifat dari rotasi di atas ialah rotasi suatu bangkit tak merubah bentuk dan ukuran bangkit tersebut.

Pembuktian Matriks Rotasi pada transformasi geometri
       Telah kita tuliskan bahwa matriks rotasi dengan sudut sebesar $ \theta $ ialah
$ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $.

Langsung saja kita lihat pembuktiannya berikut ini.

*). Rumus-rumus dasar yang kita butuhkan :
i). Koordinat cartesius dan koordinat kutub,
koordinat cartesius : $ (p,q) $
koordinat kutubnya : $ (r\cos \beta , r\sin \beta ) $
dengan $ r = \sqrt{p^2 + q^2} \, $ dan $ \tan \beta = \frac{q}{p} $ .
$ \beta = \, $ sudut titik $(p,q) $ terhadap sumbu X positif.
dari kedua koordinat, $ p = r\cos \beta $ dan $ q = r\sin \beta $.
ii). Rumus jumlah sudut pada trogonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B $
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

Proses pembuktian :
*). Misalkan terdapat titik A($p,q$) yang dirotasi sebesar $ \theta $ dengan titik sentra O(0,0) sesampai lalu diperoleh bayangan $A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ menyerupai gambar berikut ini.

*). Dari gambar di atas, kita ubah koordinat cartesiusnya menjadi koordinat kutub :
-). Titik A($p,q$) membentuk sudut $ \alpha $ terhadap sumbu X positif.
$ A(p,q) = A ( r \cos \alpha , r \sin \alpha ) $
artinya $ p = r \cos \alpha $ dan $ q = r \sin \alpha $.
-). Titik $ A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ membentuk sudut $ ( \alpha + \theta ) $ terhadap sumbu X positif.
$ A^\prime (p^\prime , q^\prime ) = A ( r \cos ( \alpha + \theta ) , r \sin ( \alpha + \theta ) ) $
artinya $ p^\prime = r \cos ( \alpha + \theta ) $ dan $ q^\prime = r \sin ( \alpha + \theta ) $.
*). Kita proses bentuk titik $A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ , dan dengan memakai rumus jumlah sudut serta bentuk $ p = r \cos \alpha $ dan $ q = r \sin \alpha $, ialah :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} p^\prime \\ q^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos ( \alpha + \theta ) \\ r \sin ( \alpha + \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos \alpha \cos \theta – \sin \alpha \sin \theta \\ r (\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos \alpha \cos \theta – r\sin \alpha \sin \theta \\ r \sin \alpha \cos \theta + r\cos \alpha \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} (r \cos \alpha ) \cos \theta – (r\sin \alpha) \sin \theta \\ (r \sin \alpha) \cos \theta + (r\cos \alpha) \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} p \cos \theta – q \sin \theta \\ q \cos \theta + p \sin \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} p \cos \theta – q \sin \theta \\ p \sin \theta + q \cos \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & – \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ \left( \begin{matrix} p^\prime \\ q^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & – \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
Berdasarkan rumus umum transformasi geometri :
Bayangan = Matriks $ \times $ awal ,
Sesampai lalu matriks rotasinya merupakan $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & – \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $.
Jadi, sudah terbukti yang kita harapkan.

       Demikian pembahasan materi Rotasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Refleksi pada Transformasi Geometri.