Rumus Luas Elips Dan Pembuktiannya

Posted on

         Pondok Soal.comElips merupakan bahan yang berkaitan dekat dengan irisan kerucut yang dibahas pada salah satu bahan peminatan pada kurikulum 2013. Pada artikel ini kita akan khusus membahas ihwal Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya serta pribadi aplikasinya pada pola untuk mencari luas sebuah Elips yang diketahui persamaan elipsnya. Secara definisi, pengertian elips merupakan himpunan semua titik (tempat kedudukan titik-titik) dimana jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut merupakan tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api.

         Namun yang kita tekankan pada artikel Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya adalah bagaimana cara menghitung luas sebuah elips dimana bahan ini secara tak pribadi ada kaitannya dengan bahan transformasi adalah luas awal dan luas bayangan yang persamaannya berbentuk persamaan elips. Langsung saja kita baca bersama rumus luas elips berikut ini beserta pola soal luas elipsnya.

Rumus Luas Elips
       Persamaan elips secara umum berbentuk :
i). Titik sentra elips $(0,0) $ :
$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \, $ atau $ \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
ii). Titik sentra elips $(m,n) $ :
$ \frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1 \, $ atau $ \frac{(x-m)^2}{b^2} + \frac{(y-n)^2}{a^2} = 1 $
dengan $ a > b $

Memiliki Rumus Luas :
Luas $ \, = \pi \times a \times b $.
dimana $ \pi = \frac{22}{7} \, $ atau $ \pi = 3,14 $

Contoh menghitung luas elips :
1). Tentukan luas elips yang terdapat persamaan $ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 16 \rightarrow a = 4 $
$ b^2 = 9 \rightarrow b = 3 $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times 4 \times 3 \\ & = 12 \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya merupakan $ 12 \pi . \, \heartsuit $

2). Tentukan luas elips yang terdapat persamaan $ \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{49} = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{(x-3)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{49} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 49 \rightarrow a = 7 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times 7 \times 5 \\ & = 35 \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya merupakan $ 35 \pi . \, \heartsuit $

3). Tentukan luas elips yang terdapat persamaan $ \frac{(x+2)^2}{8} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{(x+2)^2}{8} + \frac{(y-1)^2}{4} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times 2\sqrt{2} \times 2 \\ & = 4\sqrt{2} \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya merupakan $ 4\sqrt{2} \pi . \, \heartsuit $

4). Tentukan luas elips yang terdapat persamaan $ 2x^2 + 3y^2 -4x + 12y + 8 = 0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita ubah terlebih dahulu menjadi bentuk umum dengan mekomplekskan kuadrat tepat adalah $ x^2 +kx = (x+\frac{k}{2})^2 – (\frac{k}{2})^2 $. Mari kita ubah persamaan pada soalnya,
$\begin{align} 2x^2 + 3y^2 -4x + 12y + 8 & = 0 \\ 2x^2 -4x + 3y^2 + 12y + 8 & = 0 \\ 2[x^2 -2x] + 3[y^2 + 4y] + 8 & = 0 \\ 2[(x – \frac{2}{2})^2 – (\frac{2}{2})^2] + 3[(y+\frac{4}{2})^2 – (\frac{4}{2})^2] + 8 & = 0 \\ 2[(x – 1)^2 – (1)^2] + 3[(y+2)^2 – (2)^2] + 8 & = 0 \\ 2[(x – 1)^2 – 1] + 3[(y+2)^2 – 4] + 8 & = 0 \\ 2(x – 1)^2 – 2 \times 1 + 3(y+2)^2 – 3 \times 4 + 8 & = 0 \\ 2(x – 1)^2 – 2 + 3(y+2)^2 – 12 + 8 & = 0 \\ 2(x – 1)^2 + 3(y+2)^2 – 6 & = 0 \\ 2(x – 1)^2 + 3(y+2)^2 & = 6 \\ \frac{2(x – 1)^2 + 3(y+2)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x – 1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{2} & = 1 \end{align} $
Sesampai lalu bentuk umumnya : $ \frac{(x – 1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
dari persamaan elips : $ \frac{(x – 1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{2} = 1 \, $ maka
$ a^2 = 3 \rightarrow a = \sqrt{3} $
$ b^2 = 2 \rightarrow b = \sqrt{2} $
*). Menentukan luas elipsnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \pi \times a \times b \\ & = \pi \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} \\ & = \sqrt{6} \pi \end{align} $
Jadi, luas elipsnya merupakan $ \sqrt{6} \pi . \, \heartsuit $

Pembuktian Rumus Luas Elips
Luas $ \, = \pi \times a \times b $.
dimana $ \pi = \frac{22}{7} \, $ atau $ \pi = 3,14 $

         Untuk sanggup menunjukan rumus luas elips ini, ada sedikit teori yang akan kita gunakan adalah konsep trigonometri sudut rangkap , identitas trigonometri, penerapan integral pada luas daerah, dan integral substitusi trigonometri. Kita akan menunjukan rumusnya dengan memakai luas tempat penerapan dari integral. Rumus sudut rangkap yang kita gunakan merupakan $ \cos ^2 \theta = \frac{1}{2} ( 1 + \cos 2 \theta ) $. Sementara teknik integral substitusi yang akan kita gunakan merupakan bentuk $ \sqrt{a^2 – x^2} \, $ yang akan kita substitusi dengan $ x = a \sin \theta $ . Kemudian rumus identitas trigonometrinya adalah $ 1 – \sin ^2 \theta = \cos ^2 \theta $ .

Proses pembuktiannya :
$\spadesuit \, $ Perhatikan gambar elips berikut ini!

$ \clubsuit \, $ Elips pada gambar di atas kita bagi menjadi empat bab adalah kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV dengan masing-masing terdapat luas yang sama. Kita akan cukup menghitung luas kuadran I (daerah yang diarsir), lalu luas elips merupakan empat kali dari luas kuadran I.
$\spadesuit \, $ Permisalan untuk menuntaskan bentuk integralnya :
*). identitas trigonometri : $ 1 – \sin ^2 \theta = \cos ^2 \theta $.
misalkan $ x = a \sin \theta \, $ maka :
$ \begin{align} \sqrt{a^2 – x^2} & = \sqrt{a^2 – (a \sin \theta)^2} \\ & = \sqrt{a^2 – a^2 \sin ^2 \theta } \\ &= \sqrt{a^2 (1 – \sin ^2 \theta ) } \\ & = \sqrt{a^2 ( \cos ^2 \theta ) } \\ & = a \cos \theta \end{align} $ .
*). turunan terhadap $ \theta $
$ x = a \sin \theta \rightarrow \frac{dx}{d \theta } = a \cos \theta \rightarrow dx = a \cos \theta \, d \theta $
*). Batas integral dari $ x = 0 \, $ hingga $ x = a $
$ x = a \sin \theta \rightarrow \sin \theta = \frac{x}{a} $
$ x = 0 \rightarrow \sin \theta = \frac{0}{a} \rightarrow \sin \theta = 0 \rightarrow \theta = 0 $
$ x = a \rightarrow \sin \theta = \frac{a}{a} \rightarrow \sin \theta = 1 \rightarrow \theta = \frac{\pi}{2} $
*). Mengubah persamaan elips $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \, $ menjadi $ y = …. $
$ \begin{align} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{y^2}{b^2} & = 1 – \frac{x^2}{a^2} \\ y^2 & = b^2 – \frac{x^2}{a^2} \times b^2 \\ y^2 & = \frac{b^2 \times a^2}{a^2} – \frac{x^2}{a^2} \times b^2 \\ y^2 & = \frac{b^2}{a^2} ( a^2 – x^2 ) \\ y & = \sqrt{\frac{b^2}{a^2} ( a^2 – x^2 ) } \\ y & = \frac{b}{a} \sqrt{ a^2 – x^2 } \end{align} $
*). Rumus sudut rangkap : $ \cos ^2 \theta = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \theta ) $
$\clubsuit \, $ Pembuktian rumusnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = 4 \times \text{luas arsiran} \\ & = 4 \times \int \limits_0^a \frac{b}{a} \sqrt{ a^2 – x^2 } dx \, \, \, \, \, \text{(mengganti semua dengan } \theta ) \\ & = 4 \times \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{b}{a} \times a \cos \theta \times a \cos \theta \, d \theta \\ & = 4 \times \int \limits_0^\frac{\pi}{2} ab \cos ^2 \theta \, d \theta \\ & = 4ab \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \cos ^2 \theta \, d \theta \\ & = 4ab \int \limits_0^\frac{\pi}{2} \frac{1}{2} (1 + \cos 2 \theta ) \, d \theta \\ & = 2ab \int \limits_0^\frac{\pi}{2} (1 + \cos 2 \theta ) \, d \theta \\ & = 2ab [\theta + \frac{1}{2}\sin 2 \theta ]_0^\frac{\pi}{2} \\ & = 2ab [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin 2 \frac{\pi}{2} ) – (0 + \frac{1}{2}\sin 2 \times 0 ) ] \\ & = 2ab [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \pi ) – (0 + 0 ) ] \\ & = 2ab [(\frac{\pi}{2} + 0 ) – (0 + 0 ) ] \\ & = 2ab [ \frac{\pi}{2} ] \\ & = \pi \times a \times b \end{align} $
Jadi, terbukti rumus luas elipsnya merupakan luas $ = \pi \times a \times b $ .

         Demikian pembahasan bahan Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan dengan elips. Semoga bahan ini sanggup bermanfaat. Terima kasih.