Rumus Trigonometri Untuk Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

Posted on

         Pondok Soal.comRumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut dipakai untuk memilih nilai trigonometri dengan sudut yaang tak istimewa. Mialkan, nilai $ \sin 75^\circ \, $ sanggup ditentukan dengan memecah sudutnya menjadi $ \sin ( 45^\circ + 30^\circ ) $ . pola yang lain merupakan nilai $ \cos 15^\circ \, $ sanggup dipecah menjadi $ \cos ( 45^\circ – 30^\circ ) $ . Untuk memudahkan memahami materi rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, silahkan baca dahulu materi “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“, “Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius pada Trigonometri“, “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“, “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“, dan “jarak antara dua titik“.

Rumus Trigonometri cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut
       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus merupakan :
$ \begin{align} \cos ( \alpha + \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \\ \cos ( \alpha – \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align} $

Pembuktian rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.
Untuk mengambarkan rumus cosinus, ada dua cara yakni :

Cara I : Menggunakan konsep jarak dua titik
Perhatikan gambar berikut,

$\clubsuit $ Gambar di atas merupakan bundar yang berpusat di O dan berjari-jari $ r $. Dari gambar tersebut, diperoleh $ OC=OB=OD=OA = r \, $ dan koordinat titik-titik kutubnya yakni titik A, titik B, titik C, dan titik D, merupakan $ A(r, 0), B(r \cos \alpha, r \sin \alpha ), C(r \cos(\alpha + \beta ), r \sin(\alpha + \beta )) $ , dan $ D(r \cos \beta , -r \sin \beta ) $.
$\clubsuit $ Konsep jarak (AB) dua titik A($x_1,y_1$) dan B($x_2,y_2$) :
$ \begin{align} AB & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ AB^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \end{align} $
$ \clubsuit $ Identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \clubsuit $ Jarak AC : $ A(r, 0) \, $ dan $ C (r \cos(\alpha + \beta ) , r \sin(\alpha + \beta )) $
$ \begin{align} AC^2 & = [r \cos(\alpha + \beta ) – r]^2 + [r \sin(\alpha + \beta ) – 0 ]^2 \\ & = [r \cos(\alpha + \beta ) – r]^2 + [r \sin(\alpha + \beta ) – 0 ]^2 \\ & = r^2 \cos ^2 (\alpha + \beta ) – 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 + r^2 \sin ^2 (\alpha + \beta ) \\ & = r^2 [\cos ^2 (\alpha + \beta ) + \sin ^2 (\alpha + \beta ) ]- 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 \\ & = r^2 [1 ]- 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 \\ AC^2 & = 2r^2 – 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) \end{align} $
$ \clubsuit $ Jarak DB : $ D(r \cos \beta , -r \sin \beta ) \, $ dan $ B(r \cos \alpha, r \sin \alpha ) $
$ \begin{align} DB^2 & = [r \cos \alpha – r \cos \beta]^2 + [r \sin \alpha – ( -r \sin \beta ) ]^2 \\ & = [r \cos \alpha – r \cos \beta]^2 + [r \sin \alpha + r \sin \beta ]^2 \\ & = (r^2 \cos ^2 \alpha – 2r^2 \cos \alpha \cos \beta + r^2 \cos ^2 \beta ) + ( r^2 \sin ^2 \alpha + 2r^2 \sin \alpha \sin \beta + r^2 \sin ^2 \beta ) \\ & = r^2 (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha ) + r^2 ( \cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta ) \\ & = r^2 (1 ) + r^2 ( 1 ) -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta ) \\ DB^2 & = 2r^2 -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta ) \end{align} $
$ \clubsuit $ Panjang AC sama dengan panjang DB
$ \begin{align} AC & = DB \\ AC^2 & = DB^2 \\ 2r^2 – 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) & = 2r^2 -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta ) \\ \cos(\alpha + \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \end{align} $
Sesampai lalu Terbukti : $ \cos(\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta $

Baca Juga:   Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Berelasi

$ \clubsuit $ Membuktikan rumus $ \cos(\alpha – \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $
Konsep sudut negatif : $ \sin (-A) = – \sin A \, $ dan $ \cos ( -A) = \cos A $
Menggunakan rumus jumlah dua sudut : $ \begin{align} \cos(\alpha + \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \end{align} $
$ \begin{align} \cos(\alpha – \beta ) & = \cos(\alpha + (- \beta) ) \\ & = \cos \alpha \cos (-\beta) – \sin \alpha \sin (- \beta ) \\ & = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha . (- \sin \beta) \\ & = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align} $
Sesampai lalu terbukti : $ \cos(\alpha – \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $

Cara II : Menggunakan hukum cosinus pada segitiga :
Perhatikan gambar berikut,

Pada gambar, bundar dengan jari-jari 1 dan sentra bundar O. Titik koordinat kutubnya merupakan titik P dan titik Q yakni $ P(\cos a , \sin a) \, $ dan $ Q(\cos b , \sin b ) \, $ serta PO = QO = 1.
$ \spadesuit $ Identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \spadesuit $ Jarak titik P dan Q :
$ \begin{align} PQ^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \\ PQ^2 & = (\cos a – \cos b)^2 + (\sin a – \sin b)^2 \\ & = (\cos ^2 a – 2\cos a \cos b + \cos ^2 a) + (\sin ^2 a – 2\sin a \sin b + \sin ^2 a) \\ & = ( \sin ^2 a + \cos ^2 a ) + (\sin ^2 b + \cos ^2 b ) – 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \\ & = (1) + (1 ) – 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \\ PQ^2 & = 2 – 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \end{align} $
$ \spadesuit $ Aturan cosinus pada segitiga POQ
substitusi juga $ PQ^2 = 2 – 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) $
$ \begin{align} PQ^2 & = PO^2 + QO^2 – 2.PO.QO .\cos (a-b) \\ PQ^2 & = 1^2 + 1^2 – 2.1.1 . \cos (a-b) \\ 2 – 2 \cos (a-b) & = PQ^2 \, \, \, \, \, \text{(substitusi } PQ^2 ) \\ 2 – 2 \cos (a-b) & = 2 – 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \\ \cos (a-b) & = \cos a \cos b + \sin a \sin b \end{align} $
sesampai lalu terbukti : $ \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $

Contoh :
1). Tentukan nilai trigonometri berikut :
a). $ \cos 75^\circ $
b). $ \cos 15^\circ $
c). $ \cos 105^\circ $
Penyelesaian :
a). Nilai $ \cos 75^\circ $
Gunakan rumus : $ \cos (a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b $
$ \begin{align} \cos 75^\circ & = \cos (45^\circ + 30^\circ) \\ & = \cos 45^\circ \cos 30^\circ – \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} – \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} – 1) \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \cos 75^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\sqrt{3} – 1) $

b). Nilai $ \cos 15^\circ $
Gunakan rumus : $ \cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $
$ \begin{align} \cos 15^\circ & = \cos (45^\circ – 30^\circ) \\ & = \cos 45^\circ \cos 30^\circ -+ \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 1) \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\sqrt{3} + 1) $

c). Nilai $ \cos 105^\circ $
Gunakan rumus : $ \cos (a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b $
$ \begin{align} \cos 105^\circ & = \cos (60^\circ + 45^\circ) \\ & = \cos 60^\circ \cos 45^\circ – \sin 60^\circ \sin 45^\circ \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} – \frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (1- \sqrt{3}) \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \cos 105^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2} (1- \sqrt{3}) $

Rumus Trigonometri sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut
       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk sinus merupakan :
$ \begin{align} \sin ( \alpha + \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin ( \alpha – \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \\ \end{align} $

Pembuktian rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*). Sebelumnya telah dipelajari sudut tambahan pada materi “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi” .
Sudut tambahan : $ \sin A = \cos (90^\circ – A ) \, $ dan $ \cos A = \sin (90^\circ – A) $
*). Menenrapkan sudut tambahan dan rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
$ \begin{align} \sin ( \alpha + \beta ) & = \cos [90^\circ – ( \alpha + \beta )] \\ & = \cos [90^\circ – \alpha – \beta ] \\ & = \cos [(90^\circ – \alpha) – \beta ] \\ & = \cos (90^\circ – \alpha) \cos \beta + \sin (90^\circ – \alpha) \sin \beta \\ \sin ( \alpha + \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{align} $
Jadi, terbukti : $ \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $

Baca Juga:   Pertidaksamaan Trigonometri

*). Pembuktian rumus sinus : $ \sin ( \alpha – \beta ) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta $
$ \begin{align} \sin ( \alpha – \beta ) & = \sin ( \alpha +(-\beta)) \\ & = \sin \alpha \cos (-\beta ) + \cos \alpha \sin ( – \beta ) \\ & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha . (- \sin \beta ) \\ \sin ( \alpha – \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \end{align} $
Jadi, terbukti : $ \sin ( \alpha – \beta ) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta $

Contoh :
2). Tentukan nilai trigonometri beriktu :
a). $ \sin 75^\circ $
b). $ \sin 15^\circ $
penyelesaian :
a). Nilai $ \sin 75^\circ $
gunakan rumus : $ \sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $
$ \begin{align} \sin 75^\circ & = \sin ( 45^\circ + 30^\circ ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1) \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \sin 75^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1) $

b). Nilai $ \sin 15^\circ $
gunakan rumus : $ \sin ( \alpha – \beta ) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta $
$ \begin{align} \sin 15^\circ & = \sin ( 45^\circ – 30^\circ ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ – \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{3} – \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} – 1) \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} – 1) $

Rumus Trigonometri Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut
       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk Tan merupakan :
$ \begin{align} \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta } \\ \tan ( \alpha – \beta ) & = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta } \\ \end{align} $

Pembuktian rumus Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*) gunakan rumus sin dan cos jumlah serta selisih sudut, dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \begin{align} \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{\cos ( \alpha + \beta )} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta} . \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{ \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} – \frac{ \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } + \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}}{1 – \frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha }\frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}} \\ \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta } \end{align} $
Sesampai lalu terbukti : $ \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta } $

*). Pembuktian rumus : $ \tan ( \alpha – \beta ) = \frac{ \tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta } $
*). sudut negatif : $ \tan (-A) = – \tan A $
$ \begin{align} \tan ( \alpha – \beta ) & = \tan ( \alpha + (- \beta )) \\ & = \frac{ \tan \alpha + \tan (-\beta )}{1 – \tan \alpha \tan (-\beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha – \tan \beta }{1 – \tan \alpha . (- \tan \beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha – \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta } \end{align} $
Sesampai lalu terbukti : $ \tan ( \alpha – \beta ) = \frac{ \tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta } $

Baca Juga:   Ukuran Sudut : Derajat, Radian, Dan Putaran

Contoh :
3). Tentukan nilai trigonometri dari :
a). $ \tan 75^\circ $
b). $ \tan 15^\circ $
Penyelesaian :
a). $ \tan 75^\circ $
gunakan : $ \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \tan \beta } $
$ \begin{align} \tan 75^\circ & = \tan ( 45^\circ + 30^\circ ) \\ & = \frac{ \tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 – \tan 45^\circ \tan 30^\circ } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 – 1.\frac{1}{3} \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 – \frac{1}{3} \sqrt{3} } . \frac{3}{3} \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 – \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 – \sqrt{3} } . \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 9 + 6\sqrt{3} + 3 }{9 – 3 } \\ & = \frac{ 12 + 6\sqrt{3} }{6 } \\ \tan 75^\circ & = 2 + \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} $

b). $ \tan 15^\circ $
gunakan : $ \tan ( \alpha – \beta ) = \frac{ \tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta } $
$ \begin{align} \tan 15^\circ & = \tan ( 45^\circ – 30^\circ ) \\ & = \frac{ \tan 45^\circ – \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ } \\ & = \frac{ 1 – \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 + 1.\frac{1}{3} \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 1 – \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} } . \frac{3}{3} \\ & = \frac{ 3 – \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 3 – \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } . \frac{ 3 – \sqrt{3} }{3 – \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 9 – 6\sqrt{3} + 3 }{9 – 3 } \\ & = \frac{ 12 – 6\sqrt{3} }{6 } \\ \tan 15^\circ & = 2 – \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 15^\circ = 2 – \sqrt{3} $

4). Jika diketahui $ \sin 5^\circ = x \, $ , tentukan nilai dari :
a). $ \sin 50^\circ $
b). $ \cos 65^\circ $
c). $ \tan 25^\circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ \cos 5^\circ \, $ dan $ \tan 5^\circ $
Diketahui $ \sin 5^\circ = x \rightarrow \sin 5^\circ = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1} $
artinya sisi depan merupakan $ x \, $ dan sisi miring merupakan 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping merupakan $ \sqrt{1-x^2} $ .
sesampai lalu nilai : $ \cos 5^\circ = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \, $ dan $ \tan 5^\circ = \frac{de}{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} $
a). Nilai $ \sin 50^\circ $
$ \begin{align} \sin 50^\circ & = \sin (45^\circ + 5^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 5^\circ + \cos 45^\circ \sin 5^\circ \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2}. \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sqrt{2}. x \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2}( \sqrt{1-x^2} + x ) \end{align} $
jadi, nilai $ \sin 50^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2}( \sqrt{1-x^2} + x ) $

b). Nilai $ \cos 65^\circ $
$ \begin{align} \cos 65^\circ & = \cos (60^\circ + 5^\circ) \\ & = \cos 60^\circ \cos 5^\circ – \sin 60^\circ \sin 5^\circ \\ & = \frac{1}{2}. \sqrt{1-x^2} – \frac{1}{2} \sqrt{3} . x \\ & = \frac{1}{2} ( \sqrt{1-x^2} – \sqrt{3} x ) \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 65^\circ = \frac{1}{2} ( \sqrt{1-x^2} – \sqrt{3} x ) $

c). Nilai $ \tan 25^\circ $
$ \begin{align} \tan 25^\circ & = \tan (30^\circ – 5^\circ ) \\ & = \frac{\tan 30^\circ – \tan 5^\circ }{1 + \tan 30^\circ \tan 5^\circ } \\ & = \frac{\frac{1}{3} \sqrt{3} – \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} }{1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} . \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} } \\ & = \frac{\frac{1}{3} \sqrt{3} – \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} }{1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} } . \frac{3}{3} \\ & = \frac{ \sqrt{3} – \frac{3x}{\sqrt{1-x^2}} }{3 + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{1-x^2}} } \end{align} $
jadi, nilai $ \tan 25^\circ = \frac{ \sqrt{3} – \frac{3x}{\sqrt{1-x^2}} }{3 + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{1-x^2}} } $