Sifat Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Vektor

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah mempelajari bahan “penjumlahan dan pengurangan pada vektor” dan “persobat semua vektor dengan skalar“, pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan bahan Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. Pada penjumlahan dua buah vektor atau pengurangan dua buah vektor apakah berlaku kebalikannya (disebut komutatif)? atau operasi penjumlahan dan pengurangan vektor yang melibatkan lebih dari dua vektor, apakah berlaku komutatif, asosiatif, dan distributif? Kemudian berlakukan sifat identitas penjumlahan dan pengurangan? Inilah yang akan kita bahas pada bahan Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. Terkadang juga soal-soal tertentu menyerupai SBMPTN menguapabilan bahan yang terkait sifat-sifat operasi hitung vektor dimana kita diminta untuk menentukan manakah sifat yang benar. Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor juga akan membantu kita dalam perhitungan pada operasi penjumlahan vektor. Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor melibatkan vektor dan melibatkan bentuk skalar. Pada artikel ini juga kita saapabilan pembuktian Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor.

Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
       Jika $ \vec{a} $ , $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ merupakan vektor-vektor di R$^2$ atau R$^3$, serta terdapat skalar $ k $ dan $ l $ tak nol, maka berlaku kekerabatan berikut ini :
1). $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \, $ (komutatif)
2). $ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b}+\vec{c}) \, $ (asosiatif)
3). $ \vec{a} + \vec{o} = \vec{o} + \vec{a} = \vec{a} \, $ (identitas)
4). $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} \, $
5). $ k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a} $
6). $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} \, $ (distributif terhadap skalar)
7). $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} \, $ (distributif terhadap skalar)
8). $ 1\vec{a} = \vec{a} $
9). $ k(\vec{a} – \vec{b}) = k\vec{a} – k\vec{b} \, $
10). $ (k – l)\vec{a} = k\vec{a} – l\vec{a} \, $
11). $ \vec{a} – \vec{b} \neq \vec{b} – \vec{a} \, $
namun berlaku $ \vec{a} – \vec{b} = -( \vec{b} – \vec{a}) $
12). $ (\vec{a} – \vec{b}) – \vec{c} \neq \vec{a} – (\vec{b}-\vec{c}) $
namun berlaku $ (\vec{a} – \vec{b}) – \vec{c} = \vec{a} – (\vec{b}+\vec{c}) $

Contoh soal Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor :

1). Perhatikan sifat-sifat hitung vektor berikut ini,
a). $ (\vec{a} – \vec{b}) – \vec{c} = \vec{a} – (\vec{b}-\vec{c}) $
b). $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $
c). $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} $
d). $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + \vec{b} $
e). $ \vec{a} – \vec{b} \neq \vec{b} – \vec{a} $
Dari sifat-sifat di atas, manakah sifat-sifat operasi hitung yang benar?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat-sifat operasi hitung penjumlahan dan pengurangan di atas, maka :
-). Sifat yang benar merupakan bab (b), (c) dan (e).
-). Sifat yang salah merupakan bab (a) dan (d).

Baca Juga:   Perkalian Skalar (Dot Product) Dua Vektor

2). Diketahui vektor $ \vec{a} = (x^2 – 1, y+2, z^3) $ dan $ \vec{a} + \vec{b} = (-10, 3, 1) $. Tentukan vektor $ \vec{b} + \vec{a} $!
Penyelesaian :
*). Jika kita tak mengetahui sifat komutatif pada penjumlahan dua vektor, maka untuk soal ini niscaya kita akan berbisnisn untuk menentukan nilai vektor $ \vec{b} $ terlebih dahulu dari $ \vec{a} + \vec{b} $ yang diketahui. Namun dengan sifat komutatif pada operasi penjumlahan, maka kita peroleh hasil :
$ \vec{b} + \vec{a} = \vec{a} + \vec{b} = (-10, 3, 1) $ .
Jadi, hasil dari $ \vec{b} + \vec{a} = (-10, 3, 1) $.

3). Diketahui vektor $ \vec{p} = (2, – 1, 4) $ , $ \vec{p} + \vec{q} = (-1, 1, 5) $ dan $ \vec{r} + \vec{q} = (3, -4, -3) $. Tentukan hasil penjumlahan vektor $ \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} $ !
Penyelesian :
*). Dengan sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan vektor, kita tak perlu mencari vektor $ \vec{q} $ dan $ \vec{r} $ terlebih dahulu namun eksklusif menjumlahkannya dengan cara berikut ini :
$ \begin{align} \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} & = \vec{p} + \vec{q} + \vec{q} + \vec{r} \\ & = (\vec{p} + \vec{q}) + (\vec{q} + \vec{r}) \\ & = (\vec{p} + \vec{q}) + (\vec{r} + \vec{q} ) \\ & = (-1, 1, 5) + (3, -4, -3) \\ & = (-1+ 3, 1+(-4), 5+(-3)) \\ & = (2, -3, 2) \end{align} $
Jadi, kesannya $ \vec{p} + 2\vec{q} + \vec{r} = (2, -3, 2) $.

4). Diketahui vektor $ \vec{a} – \vec{c} = (1, -6, 2) $ dan $ \vec{b} + \vec{c} = (-2, 5, -1) $. Tentukan hasil penjumlahan $ \vec{a} + \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Dengan sifat identitas, invers dan komutatif, maka kita peroleh :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = \vec{a} + \vec{b} + \vec{o} \\ & = \vec{a} + \vec{o} + \vec{b} \\ & = \vec{a} + \vec{c} + (-\vec{c}) + \vec{b} \\ & = \vec{a} + (-\vec{c}) + \vec{c} + \vec{b} \\ & = \vec{a} + (-\vec{c}) + \vec{b} + \vec{c} \\ & = (\vec{a} -\vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c} ) \\ & = (1, -6, 2) + (-2, 5, -1) \\ & = (1 + (-2), -6 + 5, 2 + (-1)) \\ & = (-1, -1, 1) \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \vec{a} + \vec{b} = (-1, -1, 1) $

Baca Juga:   Sifat Operasi Perkalian Dot Dan Perkalian Silang

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

       Tanpa mengurangi keumuman, kita ambil sembarang $ \vec{a} = (a_1,a_2,a_3) $ , $ \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) $ , $ \vec{c}=(c_1,c_2,c_3) $ , dan $ \vec{o}=(0 , 0, 0) $ dan sembarang skalar $ k $ dan $ l $.

-). Pembuktian sifat (1) :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = (a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3) \\ & = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) \\ & = (b_1+a_1,b_2+a_2,b_3+a_3) \\ & = (b_1,b_2,b_3) + (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{b} + \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (2) :
$ \begin{align} (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} & = [(a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3)] + (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) + (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1+b_1+c_1,a_2+b_2+c_2,a_3+b_3+c_3) \\ & = (a_1+(b_1+c_1),a_2+(b_2+c_2),a_3+(b_3+c_3)) \\ & = (a_1,a_2,a_3) + (b_1+c_1 , b_2+c_2 , b_3+c_3) \\ & = (a_1,a_2,a_3) + ((b_1,b_2,b_3)] + (c_1,c_2,c_3) ) \\ & = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + ( \vec{b} + \vec{c} ) $.

-). Pembuktian sifat (3) :
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{o} & = (a_1,a_2,a_3) + (0,0,0) \\ & = (a_1+0,a_2+0,a_3+0) \\ & = (0 + a_1 , 0+ a_2 , 0+ a_3 ) = (a_1,a_2,a_3) \\ & = (0,0,0) + (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{o} + \vec{a} \\ & = (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + \vec{o} = \vec{o} + \vec{a} = \vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (4) :
$ \begin{align} \vec{a} + (-\vec{a}) & = (a_1,a_2,a_3) + (-a_1,-a_2,-a_3) \\ & = (a_1-a_1,a_2-a_2,a_3-a_3) \\ & = (0,0,0) \\ & = \vec{o} \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{o} $.

-). Pembuktian sifat (5) :
$ \begin{align} k(l\vec{a}) & = k(la_1,la_2,la_3) \\ & = (kla_1,kla_2,kla_3) \\ & = (kl)(a_1,a_2,a_3) \\ & = (kl)\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (6) :
$ \begin{align} k(\vec{a} + \vec{b}) & = k((a_1,a_2,a_3) + (b_1,b_2,b_3)) \\ & = k(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3) \\ & = (k(a_1+b_1),k(a_2+b_2),k(a_3+b_3)) \\ & = (ka_1+kb_1,ka_2+kb_2,ka_3+kb_3) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (kb_1,kb_2,kb_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + k(b_1,b_2,b_3)\\ & = k\vec{a} + k\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b} $.

-). Pembuktian sifat (7) :
$ \begin{align} (k + l)\vec{a} & = (k + l)(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( (k + l)a_1, (k + l)a_2, (k + l)a_3) \\ & = (ka_1 + la_1,ka_2+la_2,ka_3+la_3) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (la_1,la_2,la_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k\vec{a} + l\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (8) :
$ \begin{align} 1\vec{a} & = 1(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( 1.a_1, 1.a_2, 1.a_3) \\ & = (a_1,a_2,a_3) \\ & = \vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ 1\vec{a} = \vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (9) :
$ \begin{align} k(\vec{a} – \vec{b}) & = k((a_1,a_2,a_3) – (b_1,b_2,b_3)) \\ & = k(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \\ & = (k(a_1-b_1),k(a_2-b_2),k(a_3-b_3)) \\ & = (ka_1-kb_1,ka_2-kb_2,ka_3-kb_3) \\ & = (ka_1+(-kb_1),ka_2+(-kb_2),ka_3+(-kb_3)) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (-kb_1,-kb_2,-kb_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + (- k)(b_1,b_2,b_3)\\ & = k(a_1,a_2,a_3) – k(b_1,b_2,b_3)\\ & = k\vec{a} – k\vec{b} \end{align} $
Jadi, terbukti $ k(\vec{a} – \vec{b}) = k\vec{a} – k\vec{b} $.

Baca Juga:   Vektor Normal Garis Lurus

-). Pembuktian sifat (10) :
$ \begin{align} (k – l)\vec{a} & = (k – l)(a_1,a_2,a_3) \\ & = ( (k – l)a_1, (k – l)a_2, (k – l)a_3) \\ & = (ka_1 – la_1,ka_2-la_2,ka_3-la_3) \\ & = (ka_1 +(- la_1),ka_2+(-la_2),ka_3+(-la_3)) \\ & = (ka_1,ka_2,ka_3) + (-la_1,-la_2,-la_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) + (-l) l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k(a_1,a_2,a_3) – l(a_1,a_2,a_3) \\ & = k\vec{a} – l\vec{a} \end{align} $
Jadi, terbukti $ (k – l)\vec{a} = k\vec{a} – l\vec{a} $.

-). Pembuktian sifat (11) :
$ \begin{align} \vec{a} – \vec{b} & = (a_1,a_2,a_3) – (b_1,b_2,b_3) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \\ \vec{b} – \vec{a} & = (b_1,b_2,b_3) – (a_1,a_2,a_3) \\ & = (b_1 – a_1 , b_2 – a_2 , b_3 – a_3 ) \\ -(\vec{b} – \vec{a} ) & = -((b_1,b_2,b_3) – (a_1,a_2,a_3)) \\ & = -(b_1 – a_1 , b_2 – a_2 , b_3 – a_3 ) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) \end{align} $
Jadi, terbukti $ \vec{a} – \vec{b} \neq \vec{b} – \vec{a} $ dan $ \vec{a} – \vec{b} = -(\vec{b} – \vec{a} ) $ .

-). Pembuktian sifat (12) :
$ \begin{align} (\vec{a} – \vec{b}) – \vec{c} & = [(a_1,a_2,a_3) – (b_1,b_2,b_3)] – (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3) – (c_1,c_2,c_3) \\ & = (a_1-b_1-c_1,a_2-b_2-c_2,a_3-b_3-c_3) \\ \vec{a} – ( \vec{b} – \vec{c} ) & = (a_1,a_2,a_3) – [(b_1,b_2,b_3) – (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1,a_2,a_3) – (b_1 – c_1, b_2 – c_2 , b_3 – c_3) \\ & = (a_1-(b_1-c_1),a_2-(b_2-c_2),a_3-(b_3-c_3)) \\ & = (a_1-b_1+c_1 ,a_2-b_2+c_2 ,a_3-b_3+c_3 ) \\ \vec{a} – ( \vec{b} + \vec{c} ) & = (a_1,a_2,a_3) – [(b_1,b_2,b_3) + (c_1,c_2,c_3)] \\ & = (a_1,a_2,a_3) – (b_1 + c_1, b_2 + c_2 , b_3 + c_3) \\ & = (a_1-(b_1+c_1),a_2-(b_2+c_2),a_3-(b_3+c_3)) \\ & = (a_1-b_1-c_1 ,a_2-b_2-c_2 ,a_3-b_3-c_3 ) \end{align} $
Jadi, terbukti $ (\vec{a} – \vec{b}) – \vec{c} \neq \vec{a} – ( \vec{b} – \vec{c} ) $ dan $ (\vec{a} – \vec{b}) – \vec{c} = \vec{a} – ( \vec{b} + \vec{c} ) $ .

       Demikian pembahasan bahan Sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan “Perbandingan Vektor“.