Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Posted on

         Pondok Soal.comPersamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ secara umum memiliki dua akar ialah $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentu dari kedua akar-akar ini terdapat sifat-sifat tertentu, misalkan keduanya positif, keduanya negatif, berlainan tanda, berlawanan tanda, atau cukup berkebalikan. Sifat-sifat akar persamaan kuadrat ini lah yang akan dibahas pada artikel ini, yang lebih khusus lagi perihal syarat-syarat yang harus terpenuhi sesuai dengan sifat masing-masing yang ada.

         Sifat-sifat akar persamaan kuadrat sangat penting harus kita kuasai untuk bahan persamaan kuadrat lantaran biasanya baik untuk soal Ujian Nasional inginpun tes seleksi masuk sekolah tinggi tinggi kerap keluar soal-soalnya. Untuk lebih terangnya, silahkan baca materinya berikut ini.

         Adapun sifat akar-akar persamaan kuadrat ialah :

(i). Akar-akar nyata ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0$ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(ii). Akar-akar nyata berlainan ($ x_1 > 0 \, , \, x_2 > 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(iii). Akar-akar negatif ($ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 < 0$ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(iv). Akar-akar negatif berlainan ($ x_1 < 0 \, , \, x_2 < 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(v). Akar-akar berlainan tanda ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 < 0 \, $ atau
$ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $)
         Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (2). $ D > 0 $
(vi). Akar-akar berlawanan tanda ( $ x_1 = – x_2 \, $ atau $ x_2 = -x_1 $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 = 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(vii). Akar-akar berkebalikan ( $ x_1 = \frac{1}{x_2} \, $ atau $ x_2 = \frac{1}{x_1} $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $

         Dari setiap sifat-sifat akar di atas, masing-masing terdapat sedikit syarat, semua syarat harus diiriskan dari masing-masing sifat yang ada (solusinya harus memenuhi semua syarat). Untuk lebih terang, silahkan pelajari contoh-contoh soal berikut.

Contoh 1.

Persamaan kuadrat $ x^2 – 2x + m -1 = 0 \, $ memiliki dua akar nyata berlainan, tentukan interval nilai $ m \, $ yang memenuhi ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 – 2x + m -1 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = m-1 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar nyata berlainan
(1). $ x_1 + x_2 > 0 \rightarrow \frac{-b}{a} > 0 \rightarrow \frac{-(-2)}{1} > 0 \rightarrow 2 > 0 \, $ (benar)
(2). $ x_1 . x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} > 0 \rightarrow \frac{m-1}{1} > 0 \rightarrow m > 1 \, $ (HP1)
(3). $ D > 0 $
$\begin{align} b^2 – 4ac & > 0 \\ (-2)^2 – 4.1.(m-1) & > 0 \\ 4 – 4( m-1) & > 0 \\ 4 – 4m + 4 & > 0 \\ -4m & >-8 \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ m & < 2 \, \, \, \, \text{(HP2)} \end{align}$
Nilai $ m \, $ yang memenuhi merupakan irisan dari semua syarat :
Sesampai lalu solusinya : HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ 1 < m < 2 \} $
Jadi, interval nilai $ m \, $ yang memenuhi merupakan $ \{ 1 < m < 2 \} . \heartsuit $

Contoh 2.

Jika Persamaan kuadrat $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 \, $ memiliki akar-akar berkebalikan, tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ \rightarrow a = 2p-1, \, b = -5, \, c = 3p-2 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar-akar berkebalikan : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $
*). Syarat pertama : $ x_1 . x_2 = 1 $
$\begin{align} x_1 . x_2 & = 1 \\ \frac{c}{a} & = 1 \\ c & = a \\ 3p-2 & = 2p-1 \\ p & = 1 \end{align}$
Sesampai lalu PK nya menjadi :
$ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ (2.1-1)x^2 -5x+3.1-7 = 0 $
$ x^2 – 5x + 1 = 0 $
*). Cek syarat kedua : $ D > 0 $
$ D = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4.1.1 = 25 – 4 = 21 > 0 \, $ (benar)
Karena nilai $ p = 1 \, $ memenuhi kedua syarat, maka solusinya merupakan $ p = 1 $
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi merupakan $ p = 1 . \heartsuit $
Catatan : Jika sehabis nilai $ p = 1 \, $ disubstitusikan ke PK dan nilai $ D \, $ nya tak lebih dari nol, maka $ p =1 \, $ bukanlah sebagai solusi, artinya tak ada solusi yang memenuhi.

Contoh 3.

Persamaan kuadrat $ 2x^2 – (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 \, $ memiliki dua akar berlawanan. Jika akar-akar PK tersebut merupakan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ , maka nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ merupakan …. ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ 2x^2 – (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 $
$ a = 2, \, b = – (p^3+2p^2-3p-4), \, c = 7 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar berlawanan : $ x_1 + x_2 = 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ , dengan operasi akar-akar
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1.x_2 \\ & = (0)^2 – 2.\frac{c}{a} \\ & = 0 – 2.\frac{7}{2} \\ & = 0 – 7 \\ x_1^2 + x_2^2 & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 7 . \heartsuit $
Catatan : Pada penyelesaian ini kita tak perlu memilih nilai $ p \, $ nya dahulu.

         Demikian untuk penterangan perihal sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Sifat-sifat akar ini paling kerap keluar pada ujian seleksi masuk sekolah tinggi tinggi dan pada soal-soal Ujian Nasional. Dari semua sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang ada, sifat berkelabikan akar yang paling gampang kita ingat dan gampang untuk mengerjakan soalnya.

Baca Juga:   Menentukan Nilai Variabel Dalam Persamaan Kuadrat

         Dari syarat-syarat untuk masing-masing sifat akar, penting bagi kita untuk mengingat bahwa semua syarat harus terpenuhi. Agar sanggup terpenuhi, maka kita harus mengiriskan semua syarat yang ada. Usahakan mengerjakan syarat yang gampang dahulu ialah untuk penjumlahannya dan operasi persobat semuanya, sehabis itu gres kita cari syarat nilai diskriminannya yang notabene lebih ribet dan sulit.