Sifat-Sifat Limit Fungsi

Posted on

         Pondok Soal.com – Untuk memudahkan dalam memilih nilai limit suatu fungsi, kita butuh yang namanya sifat-sifat limit fungsi. Sifat-sifat limit fungsi merupakan suatu teorema yang dipakai dalam menuntaskan limit suatu fungsi. Untuk menuntaskan limit suatu fungsi ada bermacam cara, salah satu merupakan dengan substitusi yang akan kita gunakan pada artikel kali ini. Silahkan juga baca bahan “pengertian limit fungsi“.

Menyelesaikan limit dengan cara substitusi
       Cara substitusi maksudnya pribadi nilai $ x \, $ kita substitusi ke fungsi $ f(x) $. Contohnya : $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $

Contoh :
1). Tentukan nilai limit dari bentuk berikut :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x – 1 } $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x – 1 } = \frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) – 1 } = \frac{1 + 2 }{-2-1} = \frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } \frac{x^2 + 2}{2x – 1 } = -1 $

Sifat-sifat Limit Fungsi
       Berikut sifat-sifat limit fungsi :
i). $ \displaystyle \lim_{x \to a } k = k \, $ dengan $ k \, $ merupakan konstanta.
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } k f(x) = k \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } [f(x) \pm g(x) ] = \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \pm \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to a } [f(x). g(x)] = \left( \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \right) \left( \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \right) $
v). $ \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) }{\displaystyle \lim_{x \to a } g(x) } $
vi). $ \displaystyle \lim_{x \to a } [f(x)]^n = \left[ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \right]^n $
vii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \to a } f(x) } $

Contoh :
2). Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan memakai sifat-sifat yang ada,
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 5 $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } 2x^3 $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + x $
d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 – 3x $
e). $ \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3.x^2 $
f). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 1}{x + 1} $
g). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (2x^2 + 3)^9 $
h). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 – 1 } $
Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } 5 = 5 $

Baca Juga:   Pengertian Limit Fungsi

b). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } 2x^3 = 2 . \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^3 = 2. 3^3 = 2. 37 = 74 $

c). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + x = ….. $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + x & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 1 } x \\ & = 1^2 + 1 \\ & = 1 + 1 = 2 \end{align} $

d). $ \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 – 3x = ….. $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 – 3x & = \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 – \displaystyle \lim_{x \to -1 } 3x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to -1 } x^2 – 3.\displaystyle \lim_{x \to -1 } x \\ & = (-1)^2 – 3.(-1) \\ & = 1 + 3 = 4 \end{align} $

e). $ \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3.x^2 = ….. $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3.x^2 & = \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^3 . \displaystyle \lim_{x \to -2 } x^2 \\ & = (-2)^3 . (-2)^2 \\ & = -8 . 4 = -32 \end{align} $

f). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 1}{x + 1} = ….. $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{x^2 – 1}{x + 1} & = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 – 1}{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x + 1} \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 – \displaystyle \lim_{x \to 3 } 1}{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x + \displaystyle \lim_{x \to 3 } 1} \\ & = \frac{ 3^2 – 1 }{ 3 + 1 } \\ & = \frac{ 8 }{ 4 } = 2 \end{align} $

g). $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } (2x^2 + 3)^9 = ….. $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2 } (2x^2 + 3)^9 & = \left( \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x^2 + 3 \right)^9 \\ & = \left( \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3 \right)^9 \\ & = \left( 2. \displaystyle \lim_{x \to 2 } x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3 \right)^9 \\ & = \left( 2. 2^2 + 3 \right)^9 \\ & = \left( 8 + 3 \right)^9 \\ & = \left( 11 \right)^9 \end{align} $

h). $ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 – 1 } = ….. $
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 – 1 } & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 – 1 } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 – \displaystyle \lim_{x \to 3 } 1 } \\ & = \sqrt[3]{ 3^2 – 1 } \\ & = \sqrt[3]{ 8 } = 2 \end{align} $

Baca Juga:   Soal-Soal Latihan Limit Fungsi Tak Hingga

Catatan : Untuk menuntaskan limit, sanggup pribadi substitusi saja tanpa harus dipecah memakai sifat-sifat yang ada alasannya ialah kesudahannya juga sama.
Contoh :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 – 1 } = \sqrt[3]{ 3^2 – 1 } = \sqrt[3]{ 8 } = 2 . \end{align} $