Sifat – Sifat Logaritma

Posted on
         Pondok Soal.com – Untuk sanggup mengerjakan soal-soal logaritma, hal yang paling penting dikuasai merupakan sifat-sifat logaritmanya. Kekayaan soal-soal logaritma yang keluar mirip pada Ujian Nasional atau pun Seleksi Masuk PTN niscaya penyelesaiannya memakai sifat-sifat logaritma. Untuk lebih terangnya, mari kita lihat sifat-sifatnya berikut.

         Sifat-sifat Logaritma merupakan bahan dasar yang harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan kita harus mengetahui cara penggunaannya. Sifat-sifat logaritma ini sanggup kita ibaratkan sebagai alat-alat untuk menghitung dan memilih hasil dari suatu bentuk logaritma. Tanpa mengerti sifat-sifat logaritma, akan sulit bagi kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan pribadi dengan logaritma.

         Untuk memudahkan dalam mengingat Sifat-sifat Logaritma , kita perlu kaya mengerjakan soal-soal logaritma dengan bermacam variasi tipe soal, kalau perlu kita kerjakan soal-soal untuk tes seleksi masuk akademi tinggi, alasannya soal-soal tersebut biasanya akan sangat menantang untuk kita kerjakan. Dengan biasa mengerjakan soal-soal logaritma, maka secara tak pribadi kita juga akan mengingatnya (sifat-sifatnya) dengan sendirinya.

Adapun sifat-sifat logaritma :
Untuk $ a > 0 , \, a\neq 1, \, b > 0 , \, c > 0 , \, $ berlaku sifat-sifat logaritma berikut :
i). $ {}^a \log 1 = 0 $
ii). $ {}^a \log a = 1 $
iii). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
iv). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b – {}^a \log c $
v). $ a^{{}^a \log b } = b $
vi). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b \, $ kesannya :
      1). $ {{}^a}^m \log b = \frac{1}{m} . {}^a \log b $
      2). $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
      3). $ {{}^a}^m \log b^n = {}^a \log b^\frac{n}{m} $
      4). $ {{}^a}^m \log b^n = {{}^a}^\frac{m}{n} \log b $
vii). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} , \, $ dengan syarat $ p > 0, \, p \neq 1 \, $ , kesannya :
      1). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
      2). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $

         Berikut sedikit pola untuk sifat-sifat logaritma yang telah disebutkan di atas.

Contoh 1.

Tentukan nilai dari : $ {}^5 \log 1 \, $ dan $ {}^7 \log 7 $ ?
Penyelesaian :
*). $ {}^5 \log 1 = 0 , \, $ alasannya $ 5^0 = 1 $
*). $ {}^7 \log 7 = 1 , \, $ alasannya $ 7^1 = 7 $

Contoh 2.

Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ dan $ \log 3 = 0,477 \, $ , nilai $ \log 6 = …. $
Penyelesaian : menurut sifat (iii) ,
$ \log 6 = \log (2.3) = \log 2 + \log 3 = 0,310 + 0,477 = 0,778 $
Jadi, nilai $ \log 6 = 0,778 $

Contoh 3.

Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ , nilai $ \log 5 = …. $
Penyelesaian : menurut sifat (iv) ,
$ \log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 – \log 2 = 1 – 0,301 = 0,699 $
Jadi, nilai $ \log 5 = 0,699 $

Contoh 4.

Tentukan nilai dari $ 3^{{}^3 \log 7} $ ?
Penyelesaian : menurut sifat (v) ,
$ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $
Jadi, nilai $ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $

Contoh 5.

Tentukan nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 $ ?
Penyelesaian : menurut sifat (vi) ,
$ {}^\sqrt{2} \log 8 = {{}^2}^\frac{1}{2} \log 2^3 = \frac{3}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 2 = 6. 1 = 6 $
Jadi, nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 = 6 $

Contoh 6.

Tentukan nilai $ {}^5 \log 625 $ ?
Penyelesaian : menurut sifat (vi) ,
$ {}^5 \log 625 = {}^5 \log 5^4 = 4. {}^5 \log 5 = 4. 1 = 4 $
Jadi, nilai $ {}^5 \log 625 = 4 $

Contoh 7.

Tentukan nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 $ ?
Penyelesaian : menurut sifat (vii) ,
$\begin{align} {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 & = {}^2 \log 3 . \, {{}^3}^\frac{1}{2} \log 2^4 \\ & = {}^2 \log 3 . \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 3 . {}^3 \log 2 \\ & = 8 . {}^2 \log 2 \\ & = 8 . 1 = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 = 8 $

Contoh 8.

Jika $ {}^2 \log 3 = p \, $ dan $ {}^2 \log 5 = q , \, $ maka nyatakan logaritma berikut hasilnya dalam bentuk $ p \, $ dan $ q $ ?
a). $ {}^2 \log 15 $
b). $ {}^{12} \log 20 $
Penyelesaian :
a). Berdasarkan sifat (iii) :
$ {}^2 \log 15 = {}^2 \log (3.5) = {}^2 \log 3 + {}^2 \log 5 = p + q $
Jadi, nilai $ {}^2 \log 15 = p + q $
b). Berdasarkan sifat (vii) dan (iii) :
$\begin{align} {}^{12} \log 20 & = \frac{{}^2 \log 20}{{}^2 \log 12} \\ & = \frac{{}^2 \log (4.5)}{{}^2 \log (4.3)} \\ & = \frac{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 5}{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 3} \\ & = \frac{2 + q }{2 + p } \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^{12} \log 20 = \frac{2 + q }{2 + p } $

         Sebenarnya untuk menuntaskan soal logaritma, sifat-sifat yang dipakai bebas dari sifat (i) hingga sifat (vii). Jika sifat-sifat logaritma yang dipakai tepat, maka penyelesaiannya akan lebih singkat. Akan tenamun apabila sifat yang dipakai tak tepat, maka penyelesaiannya akan lebih lama, namun yakinlah niscaya jawabannya akan ditemukan.

Baca Juga:   Menentukan Fungsi Invers Dari Grafiknya