Sifat-Sifat Pertidaksamaan

Posted on

         Pondok Soal.comSifat-sifat Pertaksamaan merupakan bab penting dalam menuntaskan pertaksamaan itu sendiri. Sebelumnya telah dibahas ihwal langkah-langkah umum dalam menyelesaiakan pertaksamaan dalam artikel “Pertaksamaan secara Umum“. Namun sebelum melangkah ke penyelesaian tersebut, kita harus tau dahulu ihwal sifat-sifat pertaksamaan. Berikut penterangan ihwal sifat-sifat pertaksamaan yang dimaksud.

Sifat-sifat Pertaksamaan
       Untuk $ a, b, c, d, \in R, \, $ berlaku sifat-sifat pertaksamaan berikut :
1). Jika $ a < b , \, $ maka $ b > a $
2). Jika $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ maka $ a < c \, $ (sifat transitif)
3). Jika $ a < b \, $ dan $ c \in R , \, $ maka $ a + c < b + c. \, $
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika $ a < b \, $ dan $ c > 0 , \, $ maka $ ac < bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika $ a < b \, $ dan $ c < 0 , \, $ maka $ ac > bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika $ a < b \, $ dan $ c < d , \, $ maka $ a + c < b+d $
7). Jika $ \frac{a}{b} < 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b < 0 $
8). Jika $ \frac{a}{b} > 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b > 0 $
9). Untuk semua $ a \in R , \, $ berlaku $ a^2 \geq 0 $

Catatan :
*). Sifat 3 : apabila setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan apabila dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel “Pertaksamaan secara Umum”

Contoh
1). Diketahui $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). $ a < c $
ii). $ a + 2 < b + 2 $
iii). $ 2a < b + c $
iv). $ a + b < 2c $
v). $ ab < bc $
vi). $ a – d < c – d $
Penyelesaian :
i). $ a < c \, $ benar menurut sifat 2.
ii). $ a + 2 < b + 2 \, $ benar menurut sifat 3.
iii). dari $ a < b \, $ dan $ a < c $ , menurut sifat 6 berlaku :
$ a + a < b + c \rightarrow 2a < b + c \, $
artinya benar untuk $ 2a < b + c $
iv). dari $ a < c \, $ dan $ b < c \, $ menurut sifat 6 berlaku :
$ a + b < c + c \rightarrow a + b < 2c \, $ (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, apabila $ b > 0 $ maka $ a < c \rightarrow ab < bc $ . Akan tenamun nilai $ b $ di bab ini sanggup positif atau sanggup juga negatif, sesampai lalu $ ab < bc \, $ belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, $ a < c \rightarrow a + (-d) < c + (-d) \rightarrow a – d < c – d $

Baca Juga:   Penyelesaian Pertidaksamaan Satu Variabel Berbentuk Pecahan

2). Apakah $ a + b > \sqrt{ab} \, $ benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan akhirnya positif atau nol.
$\begin{align} (\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 & \geq 0 \\ a + b – 2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a + b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
Karena $ a + b \geq 2\sqrt{ab} , \, $ niscaya berlaku juga $ a + b \geq \sqrt{ab} $
Jadi, pernyataan $ a + b \geq \sqrt{ab} \, $ benar.

3). Jika $ a > b \, $ dan $ c > d , \, $ apakah $ ac + bd > ad + bc \, $ benar ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Nolkan ruas kanan pertaksamaan
*). $ a > b \rightarrow a – b > 0 \, $ (psositif)
*). $ c > d \rightarrow c – d > 0 \, $ (positif)
$\spadesuit $ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif akhirnya positif
$\begin{align} (a-b)(c-d) & > 0 \\ ac – ad – bc + bd & > 0 \\ ac + bd & > ad + bc \end{align} $
Jadi, benar untuk $ ac + bd > ad + bc \, $

4). Jika $ x < -2 \, $ dan $ y > 3, \, $ maka nilai $ y – x \, $ merupakan … ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Kalikan $ – 1 \, $ pada $ x < -2 \, $ dengan tanda ketaksamaan dibalik
$ x < -2 \rightarrow x . (-1) > -2. (-1) \rightarrow -x > 2 $
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 6 :
$ y > 3 \, $ dan $ -x > 2 , \, $ berlaku $ y + (-x) > 3 + 2 \rightarrow y – x > 5 $
Jadi, nilai $ y – x \, $ merupakan lebih besar dari 5.

5). Jika $ -4 < y < 5 , \, $ maka nilai $ y – 4 \, $ merupakan ….
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
$\begin{align} -4 < y & < 5 \\ -4 +(-4) < y & + (-4) < 5 + (-4) \\ -8 < y & – 4 < 1 \end{align} $
Makara nilai $ y – 4 \, $ merupakan $ -8 < y – 4 < 1 $
(terletak antara -8 hingga 1 )

6). Jika $ -3 < x < 4 , \, $ maka nilai $ (x-2)^2 \, $ merupakan … ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
$\begin{align} -3 < & x < 4 \\ -3 + (-2) < x & + (-2) < 4 + (-2) \\ -5 < x & -2 < 2 \end{align} $
Artinya nilai $ x – 2 \, $ terletak antara -5 hingga 2, sesampai lalu :
nilai terkecil dari $ (x – 2)^2 = 0^2 = 0 \, $ dan
nilai terbesarnya $ (x-2)^2 = (-5)^2 = 25 $
Jadi, nilai $ (x-2)^2 \, $ merupakan $ 0 \leq (x-2)^2 < 25 $