Sisa Proteksi Pada Anuitas

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah kita melaksanakan pembayaran anuitas secara terus-menerus maka besarnya pertolongan yang akan kita kembalikan niscaya juga akan berkurang hingga pada simpulan periode menjadi lunas. Pada artikel ini kita akan membahas bahan Sisa Pinjaman pada Anuitas. Jika S$_1$, S$_2$, S$_3$ …. S$_m \, $ berturut-turut merupakan sisa pinjaman sehabis pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga …. ke-$m$, maka ada sedikit cara untuk memilih sisa pertolongan sehabis pembayaran anuitas ke-$m$. Ada empat cara yang akan kita bahas dalam memilih besarnya sisa pinjaman sehabis membayarkan anuitas pada periode tertentu.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan sisa pinjaman, sebaiknya teman-teman mempelajari dahulu bahan sebelumnya adalah anuitas dan angsuran. Penghitungan sisa pinjaman sangat berkaitan dengan rumus-rumus pada anuitas dan angsuran.

Cara I : Sisa pertolongan menurut besar Bunga
       Sisa pertolongan sanggup dihitung sebagai berikut:
$ b_1 = i . M $
$ b_2 = i . S_1 $
$ b_3 = i . S_2 $
$ b_4 = i . S_3 $
…….. ….
$ b_{m+1} = i . S_m $
Sesampai lalu : $ \begin{align} S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \end{align} $

Keterangan :
$ s_m = \, $ sisa pertolongan sehabis pembayaran anuitas ke-$m$
$ b_{m+1} = \, $ besarnya bunga ke-$(m+1)$
$ i = \, $ suku bunga anuitas

Untuk sanggup memakai cara I ini, kita akan melibatkan sedikit rumus adalah :
Anuitas : $ A = \frac{M.i}{1 – (1+i)^{-n}} \, $ dan $ \, A = a_n + b_n $
Angsuran : $ a_n = a_1(1 + i)^{n-1} $
bunga pertama : $ b_1 = i . M $

Contoh soal sisa pertolongan :
1). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan:
a. Besarnya anuitas!
b. Sisa pertolongan sehabis mengangsur 10 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 3\% = 0,003 \, $/bulan dan $ n = \, $ 2,5 tahun = 30 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 – (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,03}{1 – (1+0,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 – (1,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 – 0,411986759} \\ & = 510.192,59 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas adalah Rp510.192,59 yang dibayarkan setiap bulannya.

Baca Juga:   Penerapan Anuitas Pada Obligasi

b). Menentukan Sisa pertolongan sehabis mengangsur 10 bulan ($S_{10}$) :
*). menurut rumus $ S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \, $ maka $ s_{10} = \frac{b_{11}}{i} $, artinya kita harus memilih besarnya $b_{11} $ (bunga periode ke-11).
*). untuk memilih $ b_{11} \, $ kita butuh nilai $ a_{11} $ (angsuran ke-11) dengan rumus $ b_{11} = A – a_{11} $
*). Untuk memilih besarnya $ a_{11} $ , kita butuh nilai $ a_1 $ dengan rumus $ a_{11} = a_{1} (1 + i)^{10}$.
*). Untuk memilih $a_1 $ kita butuh nilai $ b_1 $ dengan rumus $ a_1 = A – b_1 $ dan $ b_1 = i.M $.

Kita hitung satu persatu semuanya :
Nilai $ b_1 $ :
$ b_1 = i . M = 0,03 \times 10.000.000 = 300.000 $ .
Nilai $ a_1 $ :
$ a_1 = A – b_1 = 510.192,59 – 300.000 = 210.192,59 $
Nilai $ a_{11} $ :
$ a_{11} = a_1(1+i)^{10} = 210.192,59 \times (1 + 0,03)^{10} = 282.481,26 $
Nilai $ b_{11} $
$ b_{11} = A – a_{11} = 510.192,59 – 282.481,26 = 227.711,33 $
Menentukan sisa pertolongan ($S_{10}$) :
$ S_{10} = \frac{b_{11}}{i} = \frac{227.711,33}{0,03} = 7.590.377,67 $
Jadi, sisa pertolongan sehabis membayar 10 kali merupakan Rp7.590.377,67.

Cara II : Menentukan sisa pertolongan
Sisa pertolongan sehabis pembayaran anuitas ke-$m$ = pokok pertolongan dikurangi jumlah $m$ angsuran yang sudah dibayar.
$ \begin{align} S_m & = M – (a_1 + a_2 + a_3 + …+ a_m) \\ & = M – (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + …+ a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = M – (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + …+ (1+i)^{m-1}] ) \\ & = M – (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sesampai lalu besar pertolongan : $ \begin{align} S_m = M – (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ sanggup dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$.

Sebenarnya bentuk $ (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + …+ (1+i)^{m-1}] ) \, $ sanggup dihitung dengan jumlah pada deret geometri.

Contoh soal :
2). Kita kerjakan soal teladan nomor (1) di atas dengan cara II :
$ \begin{align} S_m & = M – (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = M – (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = M – (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 10.000.000 – (210.192,59 + 210.192,59 \times 10,463879311 ) \\ & = 7.590.377,52 \end{align} $
Jadi, sisa pertolongan sehabis membayar 10 kali merupakan Rp7.590.377,67 (hampir sama dengan cara I).

Cara III Menghitung sisa pertolongan
Sisa pertolongan sehabis pembayaran anuitas ke-$m$ = jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar adalah dari $ a_{m+1} \, $ hingga angsuran $ a_n $ .
$ \begin{align} S_m & = (a_{m+1} + a_{m+2} + a_{m+3} + …+ a_n) \\ & = (a_1+a_2 + …+a_n) – (a_1 + a_2 + … + a_m) \\ & = (a_1+a_1(1+i) + …+a_1(1+i)^{n-1}) \\ & \, \, \, \, – (a_1 + a_1(1+i) + … + a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] ) – (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ & = a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] – a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \\ & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] – [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sesampai lalu besar pertolongan : $ \begin{align} S_m = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] – [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Baca Juga:   Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ sanggup dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$ dan dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \, $ sanggup dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-1)$.

Contoh soal :
3). Kita kerjakan soal teladan nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] – [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = a_1(\text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(n-1)} \\ & \, \, \, \, – \text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = 210.192,59 (\text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(30-1)} \\ & \, \, \, \, – \text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 210.192,59 \times (46,575415706 – 10,463879311) \\ & = 210.192,59 \times 36,111536395 \\ & = 7.590.377,36 \end{align} $
Jadi, sisa pertolongan sehabis membayar 10 kali merupakan Rp7.590.377,36 (hampir sama dengan cara I).

Cara IV Menghitung sisa pertolongan
Sisa pertolongan sehabis pembayaran anuitas ke-$m$ = nilai dari semua anuitas yang belum dibayar dihitung pada simpulan tahun ke-$m$:
$ \begin{align} S_m & = \frac{A}{(1+i)} + \frac{A}{(1+i)^2} + \frac{A}{(1+i)^3} + … + \frac{A}{(1+i)^{m-n}} \\ & = A[(1+i)^{-1} +(1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + … + (1+i)^{n-m} ] \\ & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $
Sesampai lalu besar pertolongan : $ \begin{align} S_m = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \, $ sanggup dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-m)$ .

Contoh soal :
4). Kita kerjakan soal teladan nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \\ & = A \times (\text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(n-m)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(30 – 10)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai simpulan rente kolom 3% baris(20)} \\ & = 510.192,59 \times 14,877474860 \\ & = 7.590.377,43 \end{align} $
Jadi, sisa pertolongan sehabis membayar 10 kali merupakan Rp7.590.377,43 (hampir sama dengan cara I).

Baca Juga:   Materi Matematika Keuangan

         Demikian pembahasan bahan Sisa Pinjaman pada Anuitas beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga bahan lain yang berkaitan anuitas dan angsuran adalah tabel pelunasan anuitas dan anuitas yang dibulatkan.