Sistem Persamaan Kuadrat Dan Kuadrat (Spkk)

Posted on

         Pondok Soal.comSistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK) merupakan kumpulan persamaan kuadrat yang memiliki solusi yang sama. Untuk menuntaskan duduk kasus sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai wacana nilai “Diskriminan“. Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat sanggup ditentukan dengan rumus $ D = b^2 – 4ac $

Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
                     SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p,q \in R $
*). Konstantanya $ r,c \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
       Langkah-langkah menuntaskan SPKK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sesampai lalu terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , lalu substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian merupakan $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .

Jenis-jenis penyelesaian SPKK
       SPKK ini sanggup dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
                     $ (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 – 4ac = (b-q)^2 – 4.(a-p).(c-r) $

SPKK terdapat sedikit kecukupan penyelesaian berdasarkan:

$\spadesuit $ Jika dilihat dari nilai $D$, SPKK terdapat sedikit jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPKK terdapat dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik.

ii). Jika $D = 0$, maka SPKK terdapat satu penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di satu titik.

iii). Jika $D < 0$, maka SPKK tak terdapat penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva tak berpotongan.

$ \spadesuit $ Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
i). Jika $ a = p \, $ dan $ b \neq q , \, $ maka SPKK terdapat dua penyelesaian.
ii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c \neq r , \, $ maka SPKK tak memiliki penyelesaian lantaran kedua kurva sejajar dan tak berimpit.
iii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c = r , \, $ maka SPKK memiliki kaya penyelesaian (ada tak hingga lalu penyelesaian) lantaran kedua kurva berimpit.

Baca Juga:   Sistem Persamaan Dalam Soal Cerita

Contoh
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = 2x^2 – 4x + 3 \\ y = x^2 – 3x + 5 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 2x^2 – 4x + 3 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 – 3x + 5 \\ 2x^2 – 4x + 3 & = x^2 – 3x + 5 \\ x^2 – x – 2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
artinya $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\spadesuit $ Substitusi nilai $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 \, $ ke pers(ii)
$ x_1 = -1 \rightarrow y_1 = x^2 – 3x + 5 = (-1)^2 – 3(-1) + 5 = 9 $
$ x_2 = 2 \rightarrow y_2 = x^2 – 3x + 5 = 2^2 – 3.2 + 5 = 3 $
Jadi, HP nya merupakan $ \left\{ (-1,9), \, (2,3) \right\} $

2). Nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 4 \end{array} \right. $
merupakan …. ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi $ y = 4 \, $ ke pers(i)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x – 6 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + 4^2 & = 25 \\ x^2 + 16 & = 25 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} \\ x & = \pm 3 \\ x_1 = -3 \vee x_2 & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ x = -3 \, $ atau $ x = 3 $

3). SPKK berikut terdapat satu penyelesaian,
$ \left\{ \begin{array}{c} 2ax^2 + x + 3 – y = 0 \\ y = ax^2 – 2x + a \end{array} \right. $
tentukan nilai $ 4a^2 + 2a – 1 ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusikan pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2ax^2 + x + 3 – y & = 0 \\ 2ax^2 + x + 3 – (ax^2 – 2x + a) & = 0 \\ ax^2 + 3x + (3-a) & = 0 \end{align} $
$\spadesuit $ Syarat memiliki satu penyelesaian : $ D = 0 $
Dari bentuk : $ ax^2 + 3x + (3-a) = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 – 4ac & = 0 \\ 3^2 – 4.a.(3-a) & = 0 \\ 9 – 12a + 4a^2 & = 0 \\ (2a-3)^2 & = 0 \\ 2a – 3 & = 0 \\ a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sesampai lalu nilai $ 4a^2 + 2a – 1 = 4 \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2. \frac{3}{2} – 1 = 4 . \frac{9}{4} + 3 – 1 = 11 $
Jadi, nilai $ 4a^2 + 2a – 1 = 11 $

Baca Juga:   Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat (Splk)

4). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = (a-1)x^2 + \left( \frac{b}{2} – 3 \right)x – 1 \\ y = 2x^2 – 2x + (3-2c) \end{array} \right. $
memiliki kaya penyelesaian (tak hingga kemudian). Tentukan nilai $ a^2 + b^2 – c^2 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Syarat memiliki kaya penyelesaian merupakan besarnya koefisien setiap suku sama ($ a= p, \, b = q, \, c = r $)
Koefisien $ x^2 \, $ : $ \, a – 1 = 2 \rightarrow a = 3 $
Koefisien $ x \, $ : $ \, \frac{b}{2} – 3 = -2 \rightarrow b = 2 $
Konstanta : $ \, -1 = 3-2c \rightarrow c = 2 $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 – c^2 = 3^2 + 2^2 – 2^2 = 9 $