Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat (Splk)

Posted on

         Pondok Soal.comSistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) merupakan kumpulan persamaan linear dan persamaan kuadrat yang memiliki solusi yang sama. Untuk menuntaskan problem sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus menguasai perihal “hubungan garis dan parabola” yang tentu ada kaitannya dengan “fungsi kuadrat” dan nilai “Diskriminan”.

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
                     SPLK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px + q \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p \in R $
*). Konstantanya $ q,c \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)
       Langkah-langkah menuntaskan SPLK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sesampai lalu terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , lalu substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian merupakan $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .

Jenis-jenis penyelesaian SPLK
       SPLK ini sanggup dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
                     $ ax^2 + (b-p)x + (c-q) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 – 4ac = (b-p)^2 – 4a(c-q) $

Jika dilihat dari nilai $D$, SPLK terdapat sedikit jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPLK terdapat dua penyelesaian. Secara geometris, garis memotong kurva di dua titik.

ii). Jika $D = 0$, maka SPLK terdapat satu penyelesaian. Secara geometris, garis menyinggung kurva di satu titik.

iii). Jika $D < 0$, maka SPLK tak terdapat penyelesaian. Secara geometris, garis tak memotong kurva.

Contoh
1). Himpunan penyelesaian SPLK
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -4x + 1 \\ y = x^2 – 3x – 1 \end{array} \right. $
merupakan $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\} \, $ , tentukan nilai $ x_1 + x_2 ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = -4x + 1 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 – 3x – 1 \\ -4x + 1 & = x^2 – 3x – 1 \\ x^2 + x – 2 & = 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
artinya $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 1 $
Sesampai lalu nilai $ x_1 + x_2 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = -1 $

Baca Juga:   Sistem Persamaan Dalam Soal Cerita

2). Tentukan Himpunan penyelesaian (HP) dari SPLK:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x-y-6 = 0 \\ 2x^2-3x+y+3 = 0 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x – 6 $
$ \begin{align} y = 4x – 6 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, 2x^2-3x+y+3 & = 0 \\ 2x^2-3x+(4x-6)+3 & = 0 \\ 2x^2 + x – 3 & = 0 \\ (2x+3)(x-1) & = 0 \\ x_1 = -\frac{3}{2} \vee x_2 & = 1 \end{align} $
$\clubsuit $ Substitusikan nilai $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ ke persamaan garis ($ y= 4x -6$) untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ :
$ x_1 = -\frac{3}{2} \rightarrow y_1 = 4x – 6 = 4 \left(-\frac{3}{2} \right) – 6 = -6 -6 = -12 $
$ x_2 = 1 \rightarrow y_2 = 4x – 6 = 4 (1) – 6 = 4 -6 = -2 $
Jadi, HP nya merupakan $ \left\{ \left(-\frac{3}{2}, -12 \right), \, (1, -2) \right\} $

3). Salah satu nilai $x$ yang memenuhi Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 4x^2-4xy+y^2 = 4 \\ 3x + y = 8 \end{array} \right. $
merupakan …. ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Faktorkan pers(i) :
$ \begin{align} 4x^2-4xy+y^2 & = 4 \\ (2x -y)(2x-y) & = 4 \\ (2x-y)^2 & = 4 \\ 2x – y & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 2x – y & = \pm 2 \\ 2x – y = 2 \vee 2x – y & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan gres yang diperoleh dengan garis ($3x + y = 8$)
$\begin{array}{cc} 2x – y = 2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, $ $ \begin{array}{cc} 2x – y = -2 & \\ 3x + y = 8 & + \\ \hline 5x = 6 & \\ x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi merupakan $ x = 2 \, $ atau $ x = \frac{6}{5} $

4). Jika $(a,b)$ memenuhi SP berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 5x^2+3y^2 = 24 \\ \sqrt{5}x – \sqrt{3} y = 3 \end{array} \right. $
maka nilai $ ab =… ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Kuadratkan pers(ii)
$ \begin{align} \sqrt{5}x – \sqrt{3} y & = 3 \\ (\sqrt{5}x – \sqrt{3} y)^2 & = 3^2 \\ 5x^2 + 3y^2 – 2.\sqrt{5}.\sqrt{3} xy & = 9 \\ 5x^2 + 3y^2 – 2\sqrt{15} xy & = 9 \end{align} $
$\clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii) yang gres
$ \begin{array}{cc} 5x^2+3y^2 = 24 & \\ 5x^2 + 3y^2 – 2\sqrt{15} xy & = 9 & – \\ \hline 2\sqrt{15} xy = 15 & \\ xy = \frac{15}{2\sqrt{15}} & \\ xy = \frac{1}{2} \sqrt{15} & \end{array} $
Jadi, nilai $ ab = \frac{1}{2} \sqrt{15} $

Baca Juga:   Sistem Persamaan Kuadrat Dan Kuadrat (Spkk)

5). Sistem Persamaan berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x – y = p \\ x^2 + 3x + y = -5 \end{array} \right. $
memiliki sempurna satu solusi, tentukan nilai $ x + y ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi persamaan (i) dan (ii):
$\begin{array}{cc} x – y = p & \\ x^2 + 3x + y = -5 & + \\ \hline x^2 + 4x = p – 5 & \\ x^2+ 4x + (5-p) = 0 & \end{array} $
$\spadesuit $ SPLK memiliki satu penyelesaian, syaratnya $D = 0$:
$ D = 0 \rightarrow b^2 – 4ac = 0 \rightarrow 4^2 – 4.1.(5-p) = 0 \rightarrow p = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $p = 1$ ke persamaan kuadrat:
$ \begin{align} x^2+ 4x + (5-p) & = 0 \\ x^2+ 4x + (5-1) & = 0 \\ x^2+ 4x + 4 & = 0 \\ (x + 2)^2 & = 0 \\ x+2 & = 0 \\ x & = -2 \end{align} $
$\spadesuit $ Substitusi $ x = -2 $ ke pers(ii)
$ x^2 + 3x + y = -5 \rightarrow (-2)^2 + 3.(-2) + y = -5 \rightarrow y = -3 $
Jadi, nilai $ x + y = -2 + (-3) = -5 $