Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (Spldv)

Posted on

         Pondok Soal.comSistem Persamaan Linear (SPL) merupakan kumpulan persamaan linear yang memiliki solusi (atau tak memiliki solusi) yang sama untuk semua persamaan. Sistem Persamaan yang akan kita bahas merupakan sistem persamaan linear dua variabel, sistem persamaan linear tiga variabel, sistem persamaan linear dan kuadrat, dan sistem persamaan kuadrat dan kuadrat. Untuk artikel kali ini kita akan bahas perihal sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
                     SPLDV : $ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y = c_1 \\ a_2x+b_2y = c_2 \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a_1,b_1,a_2,b_2 \in R $
*). Konstantanya $ c_1,c_2 \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
       Penyelesaian SPLDV sanggup dilakukan dengan sedikit cara ialah :
i). Metode grafik
ii). Metode Substitusi
iii). Metode Eliminasi
iv). Metode Eliminasi-Substitusi (Gabungan)

i). Metode grafik
       Solusi atau penyelesaian SPLDV metode grafik merupakan titik potong kedua grafik. Metode grafik yang dimaksud merupakan kita harus menggambar grafiknya (berupa garis lurus). Untuk bahan menggambar garis lurus, silahkan baca artikel “Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya”
Langkah-langkah:
*). Gambar grafik kedua persamaan
*). Ada tiga kecukupan gambar grafiknya:
1). Sejajar

       Garis $k$ dan $m$ sejajar dan tak berpotongan, dakam keadaan ini SPLDV tak memiliki penyelesaian. SPLDV tak memiliki penyelesaian dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $ .

2). Berimpit

       Garis $k$ dan $m$ berimpit (menyatu), dakam keadaan ini SPLDV memiliki penyelesaian kaya (tak hingga kemudian atau tak trivial) alasannya setiap titik pada garis memenuhi kedua persamaan. Hal ini terjadi dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $ .

3). Berpotongan

       Garis $k$ dan $m$ berpotongan di titik A, dalam keadaan ini SPLDV memiliki sempurna satu penyelesaian (trivial) atau solusi ialah titik A. Hal ini terjadi dengan syarat: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $ .

Contoh
1). Tentukan Penyelesaian SPLDV berikut :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + y = 3 \\ 3x + 3y = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, x + y = 3 \rightarrow $ melalui titik (0,3) dan (3,0)
garis $ m : \, 3x + 3y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,2) dan (2,0)

Kedua garis sejajar dan tak berpotongan, sesampai kemudian tak ada solusi yang memenuhi SPLDV tersebut.

2). Tentukan Penyelesaian SPLDV berikut :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x – y = 3 \\ 6x – 3y = 9 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, 2x – y = 3 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan ($\frac{3}{2}$,0)
garis $ m : \, 6x – 3y = 9 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan ($\frac{3}{2}$,0)

Garis $k$ dan $m$ berimpit, sesampai kemudian SPLDV tersebut memiliki kaya penyelesaian (tak hingga kemudian).

Baca Juga:   Sistem Persamaan Kuadrat Dan Kuadrat (Spkk)

3). Jika ($a,b$) memenuhi SPLDV berikut, tentukan nilai $ a + b $ ?
$ \left\{ \begin{array}{c} x – 2y = 6 \\ 3x + 2y = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
garis $ k : \, x – 2y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,-3) dan (6,0)
garis $ m : \, 3x + 2y = 6 \rightarrow $ melalui titik (0,3) dan (2,0)

Makara solusinya titik A (3, -1.5), sesampai kemudian $a=3$ dan $b=-1,5$.
Sesampai kemudian nilai $ a + b = 3 + (-1,5) = 1,5 = 1\frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = 1\frac{1}{2} $

4). Diketahui SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} (a-1)x + y = 1 \\ 6x + 3y = 7 \end{array} \right. $
Agar SPLDV memiliki sempurna satu solusi, tentukan nilai $a$?
Penyelesaian :
Syarat memiliki sempurna satu solusi: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $
Sesampai kemudian $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \rightarrow \frac{a-1}{6} \neq \frac{1}{3} \rightarrow 3(a-1) \neq 6 \rightarrow a \neq 3 $
Makara biar memiliki sempurna satu solusi, nilai $a$ tak boleh 3 ($a \neq 3$).

5). Diketahui SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} (a-1)x + 3y = 0 \\ 2x + (a-1)y = 7 \end{array} \right. $
Agar solusi SPLDV di atas tak hanya (0,0), tentukan nilai $ a^2 – 2a + 10 $ ?
Penyelesaian :
Solusi tak hanya (0,0) , artinya kaya solusi.
Syarat kaya solusi: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $
Sesampai kemudian $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \rightarrow \frac{a-1}{2} = \frac{3}{a-1} \rightarrow (a-1)^2 = 6 \rightarrow a^2 – 2a + 1 = 6 \rightarrow a^2 – 2a = 5 $
Nilai $ a^2 – 2a + 10 = (a^2 – 2a ) + 10 = 5 + 10 = 15 $
Jadi, nilai $ a^2 – 2a + 10 = 15. $

ii). Metode Substitusi
       Langkah-langkah penyelesaian metode substitusi:
*). Nyatakan salah satu persamaan dalam bentuk $ y = ax + b \, $ atau $ x = cy + d $ .
*). Substitusikan $y$ atau $x$ pada langkah pertama ke persamaan yang lain.
*). Selesaikan peersamaan untuk memperoleh $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Substitusikan nilai $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 \, $ ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Penyelesaian merupakan $(x_1,y_1)$ .

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x – y = 3 \\ 2x + 3y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Ubahlah persamann (i), $ x – y = 3 \rightarrow x = y + 3 $
*). Substitusikan $ x = y + 3 $ ke persamaan (ii) ,
$ 2x + 3y = 1 \rightarrow 2(y+3) + 3y = 1 \rightarrow 5y + 6 = 1 \rightarrow y = -1 $
*). Substitusikan $y = -1 $ ke persamaan (i)
$ x – y = 3 \rightarrow x – (-1) = 3 \rightarrow x = 2 $
Makara solusinya merupakan (2, -1).

2). Diketahui SPLDV:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + y = 4 \\ x + y = k \\ 3x + 2y = 7 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian, tentukan nilai $k$ ?
Penyelesaian :
*). SPLDV memiliki penyelesaian, artinya nilai ($x , y$) memenuhi ketiga persamaan. Untuk memperoleh nilai ($x , y$), cukup menuntaskan persamaan (i) dan (iii), kemudian substitusikan nilai ($x , y$) ke persamaan (ii) untuk memperoleh nilai $k$.
*). Ubah persamaan (i), $ 2x + y = 4 \rightarrow y = 4 – 2x $
*). Substitusikan $ y = 4 – 2x $ ke persamaan (iii),
$ 3x + 2y = 7 \rightarrow 3x + 2(4-2x) = 7 \rightarrow 3x + 8 – 4x = 7 \rightarrow x = 1 $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (i),
$ 2x + y = 4 \rightarrow 2 . 1 + y = 4 \rightarrow y = 4- 2 = 2 $
*). Penyelesaian SPLDV merupakan (1, 2), solusi ini juga terpenuhi untuk persamaan (ii):
$ x + y = k \rightarrow 1 + 2 = k \rightarrow k = 3 $
Jadi, nilai $ k = 3 $

iii). Metode Eliminasi
       Langkah-langkah penyelesaian metode eliminasi:
*). Samakan koefisien $x$ atau $y$ dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
*). Jumlahkan (apabila tanda kedua koefisien berbeda) atau kurangkan (apabila tanda kedua koefisien sama) sesampai kemudian diperoleh $ x = x_1 \, $ atau $ y = y_1 $ .
*). Lakukan hal yang sama untuk variabel yang lainnya.
*). Penyelesaian merupakan $(x_1,y_1)$ .

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 2y = 1 \\ 3x – y = 10 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ x $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 1 & \text{kali 3} & 3x + 6y = 3 & \\ 3x – y = 10 & \text{kali 1} & 3x – y = 10 & – \\ \hline & & 7y = -3 & \\ & & y = -1 & \end{array} $
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 1 & \text{kali 1} & x + 2y = 1 & \\ 3x – y = 10 & \text{kali 2} & 6x – 2y = 20 & + \\ \hline & & 7x = 21 & \\ & & x = 3 & \end{array} $
Jadi, solusinya merupakan (3, -1).

Baca Juga:   Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat (Splk)

2). Sistem persmaan linear:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x – y = 4 \\ x – 2y = -1 \\ 2ax + 3by = 12 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian apabila nilai $a + b$ sama dengan …?
Penyelesaian :
Selesaikan pers(i) dan pers(ii)
*). Eliminasi variabel $ x $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x – y = 4 & \text{kali 1} & 2x – y = 4 & \\ x – 2y = -1 & \text{kali 2} & 2x – 4y = -2 & – \\ \hline & & 3y = 6 & \\ & & y = 2 & \end{array} $
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x – y = 4 & \text{kali 2} & 4x -2 y = 8 & \\ x – 2y = -1 & \text{kali 1} & x – 2y = -1 & – \\ \hline & & 3x = 9 & \\ & & x = 3 & \end{array} $
*). Titik (3,2) merupakan solusi dari persamaan (i) dan (ii) yang juga sebagai solusi persamaan (iii), substitusikan (3,2) ke persamaan (iii):
$ 2ax + 3by = 12 \rightarrow 2a.3 + 3b.2 = 12 \rightarrow 6a + 6b = 12 \rightarrow a + b = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 $

iv). Metode Eliminasi-Substitusi (Gabungan)
       Metode ini merupakan cara terbaik untuk menuntaskan SPLDV dan yang paling kerap digunakan.
       Langkah-langkah penyelesaian metode ini:
*). Eliminasi salah satu variabel (misalnya $x$) untuk memperoleh nilai variabel pertama (nilai $y$).
*). Substitusikan nilai variabel pertama yang diperoleh untuk memilih nilai variabel lainnya.

Contoh
1). Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 5 \\ 3x – 2y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} 2x + 3y = 5 & \text{kali 2} & 4x + 6y = 10 & \\ 3x – 2y = 1 & \text{kali 3} & 9x – 6y = 3 & + \\ \hline & & 13x = 13 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (ii) : $ 3x – 2y = 1 \rightarrow 3. 1 – 2y = 1 \rightarrow 3 – 2y = 1 \rightarrow y = 1 $
Makara penyelesaiannya merupakan (1,1).

Baca Juga:   Sistem Persamaan Dalam Soal Cerita

2). Jika $a$ dan $b$ memenuhi $ \frac{3x+y+2}{x-y} = 2 \, $ dan $ \frac{x + 2y + 10 }{4x + y} = 3 $ , maka $a – b$ = …?
Penyelesaian :
*). Sederhanakan kedua bentuk persamaan di atas:
pers(i): $ \frac{3x+y+2}{x-y} = 2 \rightarrow 3x+y+2 = 2x – 2y \rightarrow x + 3y = -2 $
pers(ii): $ \frac{x + 2y + 10 }{4x + y} = 3 \rightarrow x+2y+10=12x+3y \rightarrow 11x + y = 10 $
*). SPLDV menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 3y = -2 \\ 11x + y = 10 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Eliminasi variabel $ y $
$\begin{array}{c|c|cc} x + 3y = -2 & \text{kali 1} & x + 3y = -2 & \\ 11x + y = 10 & \text{kali 3} & 33x + 3y = 30 & – \\ \hline & & -32x = -32 & \\ & & x = 1 & \end{array} $
*). Substitusikan $x = 1$ ke persamaan (i):
$ x + 3y = -2 \rightarrow 1 + 3y = -2 \rightarrow y = -1 $
*). Karena solusinya $x = 1$ dan $y = -1$ , maka $a = 1$ dan $b = -1$
sesampai kemudian nilai $ a – b = 1 – (-1) = 2 $
Jadi, nilai $ a – b = 2 $ .

3). Sistem persamaan (SP) berikut:
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\ \frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 7 \end{array} \right. $
memiliki penyelesaian ($x_0,y_0$) , tentukan nilai $ 2x_0 + 6y_0 $ ?
Penyelesaian :
*). Misalkan : $ p = \frac{1}{x} \, $ dan $ q = \frac{1}{y} $ , SP menjadi:
$ \left\{ \begin{array}{c} 2.\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -1 \\ \frac{1}{x} + 3.\frac{1}{y} = 7 \end{array} \right. \, \, \Rightarrow \, \, \left\{ \begin{array}{c} 2p + q = -1 \\ p + 3q = 7 \end{array} \right. $
*). Eliminasi variabel $ p $
$\begin{array}{c|c|cc} 2p + q = -1 & \text{kali 1} & 2p + q = -1 & \\ p + 3q = 7 & \text{kali 2} & 2p + 6q = 14 & – \\ \hline & & -5q = -15 & \\ & & q = 3 & \end{array} $
*). Substitusikan $q = 3$ ke persamaan (i) :
$ 2p + q = -1 \rightarrow 2p + 3 = -1 \rightarrow p = -2 $
*). Dari nilai $p = \frac{1}{x}$ dan $q=\frac{1}{y}$, diperoleh nilai $x$ dan $y$ berikut:
$ p = -2 \rightarrow \frac{1}{x} = -2 \rightarrow x = -\frac{1}{2} \rightarrow x_0 = -\frac{1}{2} $
$ q = 3 \rightarrow \frac{1}{y} = 3 \rightarrow y = \frac{1}{3} \rightarrow y_0 = \frac{1}{3} $
Sesampai kemudian nilai $ 2x_0 + 6y_0 = 2.(-\frac{1}{2}) + 6. \frac{1}{3} = -1 +2 = 1 $
Jadi, nilai $ 2x_0 + 6y_0 = 1 $