Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (Spltv)

Posted on

         Pondok Soal.comSistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) merupakan kumpulan persamaan linear yang memiliki solusi (atau tak memiliki solusi) yang sama untuk semua persamaan yang terdiri dari tiga variabel. Untuk menuntaskan sistem persamaan linear tiga variabel ini, ada sedikit cara yaitu metode eliminasi, metode substitusi, dan metode adonan (eliminasi dan substitusi). Namun kali ini kita hanya membahas metode adonan saja, alasannya ialah akan lebih efektif dalam penyelesaiannya. Sebelumnya juga telah kita bahas wacana sistem persamaan linear dua variabel, silahkan baca artikelnya “sistem persamaan linear dua variabel“.

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel $ x , \, y, \, $ dan $ z $
                     SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x, \, y, \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,a_3,b_3,c_3 \in R $
*). Konstantanya $ d_1,d_2,d_3 \in R $

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
       Cara terbaik menuntaskan SPLTV dengan metode Eliminasi-Substitusi (gabungan).
       Langkah-langkah menuntaskan SPLTV dengan metode gabungan:
$\clubsuit \, $ Eliminasi variabel pertama dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sesampai lalu diperoleh SPL gres yang simpel.
$\clubsuit \, $ Dari SPL baru, eliminasi lagi sesampai lalu diperoleh nilai dari salah satu variabel yang ada.
$\clubsuit \, $ Dari nilai variabel yang telah ada, substitusikan ke persamaan sebelumnya untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya.

Contoh
1). Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel,
$ \left\{ \begin{array}{c} x – y + 2z = 4 \\ 2x + 2y – z = 2 \\ 3x + y + 2z = 8 \end{array} \right. $
Mempunyai penyelesaian $\{(x,y,z)\} \, $ , maka nilai $ x + y – z = … ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Eliminasi variabel $ y \, $ dari :
*).pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} x – y + 2z = 4 & \text{kali 2} & 2x – 2y + 4z = 8 & \\ 2x + 2y – z = 2 & \text{kali 1} & 2x + 2y – z = 2 & + \\ \hline & & 4x + 3z = 10 & \end{array} $
Hasilnya kita sebut sebagai pers(iv) : $ 4x + 3z = 10 $
*). pers(i) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} x – y + 2z = 4 & \\ 3x + y + 2z = 8 & + \\ \hline 4x + 4z = 12 & \end{array} $
Hasilnya kita sebut sebagai pers(v) : $ 4x + 4z = 12 $
Tebentuklah SPL gres : $ \left\{ \begin{array}{c} 4x + 3z = 10 \\ 4x + 4z = 12 \end{array} \right. $
$\spadesuit $ Eliminasi variabel $ x \, $ dari pers(iv) dan pers(v)
$\begin{array}{cc} 4x + 3z = 10 & \\ 4x + 4z = 12 & – \\ \hline -z = -2 & \\ z = 2 & \end{array} $
$\spadesuit $ Substitusi $ z = 2 \, $ ke pers(iv)
$ 4x + 3z = 10 \rightarrow 4x + 3.2 = 10 \rightarrow 4x = 4 \rightarrow x = 1 $
$\spadesuit $ Substitusi $ z = 2 \, $ dan $ x = 1 \, $ ke pers(i)
$ x – y + 2z = 4 \rightarrow 1 – y + 2.2 = 4 \rightarrow y = 1 $
Sesampai lalu nilai $ x + y – z = 1 + 1 – 2 = 0 $
Jadi, nilai $ x + y – z = 0 . \heartsuit $

Baca Juga:   Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat (Splk)

2). Jika $(a, b, c)$ merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $ x + 2y + 3z = 4, \, 2x + y + z = 6, \, $ dan $ 3x + 3y + 2z = 8, \, $ maka nilai $ a + b + c = … ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Terkadang soal-soal SPL tak harus dicari semua nilai variabelnya, sanggup pribadi dijumlah, dikurangkan, atau dikalikan dari persamaan yang ada sesampai lalu karenanya sama dengan pertanyaan yang diminta.
$\begin{array}{cc} x + 2y + 3z = 4 & \\ 2x + y + z = 6 & \\ 3x + 3y + 2z = 8 & + \\ \hline 6x + 6y + 6z = 18 & \\ x + y + z = 3 & \end{array} $
Jadi, nilai $ a + b + c = 3 . \heartsuit $

3). Jika $(x,y,z)$ memenuhi sistem persamaan (SP)
$ \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5}, \, \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3}, \, $ dan $ \frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}, \, $
maka nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = …? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Sederhanakan semua bentuk persamaan yang ada dengan cara dibalik.
$ \frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5} \rightarrow \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{1} \rightarrow \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = 5 \rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 $
$ \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{x+z}{xz} = \frac{3}{1} \rightarrow \frac{x}{xz} + \frac{z}{xz} = 3 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 $
$ \frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{y+z}{yz} = \frac{4}{1} \rightarrow \frac{y}{yz} + \frac{z}{yz} = 4 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 $
$\spadesuit $ Misalkan $ p = \frac{1}{x}, \, q = \frac{1}{y}, \, $ dan $ r = \frac{1}{z} $
Sistem menjadi :
$ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 \rightarrow p + q = 5 \rightarrow p = 5 – q $
$ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 \rightarrow p + r = 3 $
$ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 \rightarrow q + r = 4 \rightarrow r = 4 – q $
$\spadesuit $ Substitusi $ p = 5 – q \, $ dan $ r = 4 – q \, $ ke pers(ii)
$ p + r = 3 \rightarrow (5-q) + (4-q) = 3 \rightarrow 9-2q = 3 \rightarrow q = 3 $
$ q = 3 \rightarrow p = 5 – q = 5 – 3 = 2 $
$ q = 3 \rightarrow r = 4 – q = 4 – 3 = 1 $
Sesampai lalu nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = p + q + r = 2 + 3 + 1 = 6 $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit $

Cara II : Sistem gres yang terbentuk pribadi dijumlahkan.
$\begin{array}{cc} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 & + \\ \hline 2\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = 12 & \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 & \end{array} $
Jadi, nilai $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit $

4). Diketahui SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & …\text{(i)} \\ x + 2y + z = 4 & …\text{(ii)} \\ x + y + z = 3 & …\text{(iii)} \end{array} \right. $
memiliki penyelesaian $ \{(a,b,c)\} \, $ , hubungan antara $ a \, $ dan $ c $ merupakan … ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Eliminasi variabel $ y $ dari pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & \\ x + y + z = 3 & – \\ \hline x + z = 2 & \end{array} $
artinya $ x + y = 2 \rightarrow a + c = 2 $
Jadi, hubungan antara $ a \, $ dan $ c \, $ merupakan $ a + c = 2 . \heartsuit $
Catatan: untuk memperoleh hubungan $ a \, $ dan $ c \, $ , cukup kita eliminasi variabel $ y $ dari persamaan yang ada.

Baca Juga:   Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (Spldv)

5). Agar SPLTV : $ \left\{ \begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & …\text{(i)} \\ ay + z = 3 & …\text{(ii)} \\ x + ay + az = 8 & …\text{(iii)} \\ x + y + z = 7 & …\text{(iv)} \end{array} \right. $
memiliki solusi, tentukan nilai $ a^2 + 2a + 3 $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Jumlahkan pers(i), (ii), dan (iii) :
$\begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & \\ ay + z = 3 & \\ x + ay + az = 8 & + \\ \hline (2a+1)x + (2a+1)y+ (2a+1)z = 21 & \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} & \end{array} $
terbentuklah pers(v) : $ x + y + z = \frac{21}{2a+1} $
$\spadesuit $ Bentuk pers(iv) dan pers(v) harus sama, diperoleh
$ \left. \begin{array}{c} x + y + z = 7 \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} \end{array} \right\} \, $ Sama
Sesampai lalu : $ \frac{21}{2a+1} = 7 \rightarrow 2a + 1 = 3 \rightarrow a = 1 $
Nilai $ a^2 + 2a + 3 = 1^2 + 2.1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6 $
Jadi, nilai $ a^2 + 2a + 3 = 6. \heartsuit $

6). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x – y – 4z = 5 \end{array} \right. $
dengan $ x, y , z $ anggota bilangan real.
Penyelesaian :
*). Dari soal ini, terdapat tiga variabel yaitu $ x , y, $ dan $ z $ serta hanya dua persamaan. Karena kayanya persamaan lebih sedikit dibandingkan dengan kayanya variabel, maka sistem persamaan ini terdapat penyelesaian sekaya tak hingga kemudian.
*). Kita misalkan salah satu variabelnya bernilai $ t $ yaitu untuk $ z = t $, maka sistem persamaannya sanggup kita ubah menjadi :
$ 2x + y + z = 4 \rightarrow 2x + y + t = 4 \rightarrow 2x + y = 4 – t $
$ x – y – 4z = 5 \rightarrow x – y – 4t = 5 \rightarrow x – y = 5 + 4t $
Sistemnya menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 – t \\ x – y = 5 + 4t \end{array} \right. $
dengan $ t $ anggota bilangan real.
(kita bebas memisalkan salah satu variabelnya dengan $ t $, di sini kita misalkan $ z = t $).
*). Dari sistem persamaan gres ini terdapat arti bahwa penyelesaian sistem persamaannya merupakan dalam bentuk $ t $.
*). Menyelesaikan sistem persamaan yang baru.
$ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 – t & \\ x – y = 5 + 4t & + \\ \hline 3x = 9 + 3t & \\ x = 3 + t & \end{array} $
Persamaan (i) :
$ 2x + y = 4 – t \rightarrow 2(3 + t) + y = 4 – t \rightarrow y = -2 – 3t $.
*). Kita peroleh penyelesaian sistem persamaannya yaitu :
$ (x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t ) $
dengan $ t $ anggota bilangan real.
*). Sebagai contoh, kita ambil nilai $ t = 1 $ , maka kita peroleh :
$ (x,y,z) = (4, -5, 1) $
Dan masih kaya lagi nilai $ t $ yang lainnya.

Baca Juga:   Sistem Persamaan Kuadrat Dan Kuadrat (Spkk)

7). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x – y – 4z = 5 \end{array} \right. $
dengan $ x, y , z $ anggota bilangan lingkaran positif.
Penyelesaian :
*). Soal ini terdapat sistem persamaan yang sama dengan referensi soal nomor 6 di atas, hanya saja penyelesaiannya dalam bentuk bilangan lingkaran positif. Untuk menyelesaikannya, langkah-langkahnya sama dengan penyelesaian referensi 6 di atas. Kita peroleh penyelesaiannya yaitu :
$ (x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t ) $
*). Karena $ x, y , z $ anggota bilangan lingkaran positif, maka :
$ x > 0 \rightarrow 3 + t > 0 \rightarrow t > -3 $
$ y > 0 \rightarrow -2-3t > 0 \rightarrow -3t > 2 \rightarrow t < -\frac{2}{3} $
$ z > 0 \rightarrow t > 0 $
Dari ketiga bentuk pertaksamaan dalam $ t $ ini, maka tak ada nilai $ t $ yang memenuhi, sesampai lalu nilai $ x $ , $ y $ , dan $ z $ bilangan lingkaran aktual juga tak ada yang memenuhi sistem persamaan atau kita sebut himpunan kosong.
Jadi, tak ada nilai $ x, y, $ dan $ z $ bilangan lingkaran aktual yang memenuhi sistem persamaan referensi 7.