Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dan Kuadrat

Posted on

         Pondok Soal.com – Setelah sebelumnya kita mempelajari bahan “sistem pertaksamaan linear dan kuadrat” yang melibatkan bentuk fungsi linear dan fungsi kuadrat, pada artikel ini akan kita lanjutkan pembahasan Sistem Pertaksamaan Kuadrat dan Kuadrat yang melibatkan sedikit bentuk fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam mempelajari bahan ini, sebaiknya teman-teman pelajari dahulu cara menggambar grafik atau kurva fungsi kuadrat baik secara sketsa inginpun dengan teknik menggeser.

         Sebenarnya bahan Sistem Pertaksamaan Kuadrat dan Kuadrat tak jauh berbeda dengan bahan sistem pertaksamaan sebelumnya. Kita akan menekankan pada solusi sistem atau himpunan penyelesaian sistem pertaksamaan yang kita saapabilan dalam bentuk kawasan arsiran yang biasa disebut DHP (daerah himpunan penyelesaian). Teknik untuk memilih kawasan arsirannya juga memakai uji sebarang titik pada bidang kartesius. Untuk lebih terangnya, mari kita baca penterangannya berikut ini.

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertaksamaan Kuadrat dan Kuadrat
*). Penyelesaian Sistem Pertaksamaannya
       Misalkan ada sistem pertaksamaan kuadrt dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x^2 + b_1x + c_1y \leq d_1 \\ a_2x^2 + b_2x + c_2y \leq d_2 \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian merupakan semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta merupakan bilangan real, maka akan ada tak hingga lalu solusinya yang sanggup diwakili oleh suatu kawasan arsiran yang memenuhi sistem pertaksamaannya.

Langkah-langkah Menentukan kawasan arsiran :
i). Gambar dahulu grafik masing-masing fungsi.
ii). Tentukan kawasan arsiran setiap pertaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan merupakan kawasan yang memenuhi semua pertaksamaan dengan cara mengiriskan setiap kawasan arsiran setiap pertaksamaan atau carilah kawasan yang memuat arsiran terkaya.

Baca Juga:   Sistem Pertidaksamaan Linear Dan Kuadrat

Contoh Soal :
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \geq x^2 + x – 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dahulu grafik $ y = x^2 + x – 6 $ :
memilih titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = x^2 + x – 6 \rightarrow (x-2)(x+3) = 0 \, $ $ \rightarrow x = 2 \vee x = -3 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = 0^2 + 0 – 6 \rightarrow y = -6 $.
Nilai $ a = 1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = x^2 + x – 6 \, $ maka grafik hadap ke atas (senyum).
Substitusi titik uji adalah $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \geq x^2 + x – 6 \\ 0 & \geq 0^2 + 0 – 6 \\ 0 & \geq -6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya kawasan yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sesampai lalu solusinya merupakan kawasan di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :

2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dahulu grafik $ y = -x^2 + 1 $ :
memilih titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 1 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm \sqrt{1} \, $ $ \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 1 \rightarrow y = 1 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 1 \, $ maka grafik hadap ke bawah (cemberut).
Substitusi titik uji adalah $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 1 \\ 0 & \leq -0^2 + 1 \\ 0 & \leq 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya kawasan yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sesampai lalu solusinya merupakan kawasan di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :

3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x – 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertaksamaannya, maka kita harus memilih kawasan arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan balasan soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka kawasan arisan yang diminta yang memenuhi keduanya adalah :

Pada pola soal berikutnya, kita akan coba modifikasi tanda ketaksamaannya $( \leq , \, \geq )$ untuk pola soal nomor 3 di atas.

Baca Juga:   Sistem Pertidaksamaan Linear Dan Kuadrat

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x – 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :

Daerah penyelesaiannya merupakan kawasan irisan dari kedua pertaksamaan menyerupai gambar yang paling kanan.

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x – 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :

Daerah penyelesaiannya merupakan kawasan irisan dari kedua pertaksamaan menyerupai gambar yang paling kanan.


6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x – 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :

Daerah penyelesaiannya merupakan kawasan irisan dari kedua pertaksamaan menyerupai gambar yang paling kanan.

7). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq -x^2 + 4 \\ y \leq -x^2 + 2x + 3 \\ y \geq x^2 -x- 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Untuk menuntaskan soal sistem pertaksamaan nomor 7 ini, pertama teman-teman harus menggambar dahulu masing-masing kurva parabolanya dan memilih kawasan arsirannya, kemudia terakhir kita iriskan ketiga kawasan masing-masing yang terbentuk sesampai lalu kawasan hasil irisan inilah yang menjadi himpunan penyelesaiannya.
Untuk menggambar masing-masing kurva, kami silahkan untuk pembaca mencobanya sendiri, dan kami juga telah menyertakan gambar ketiga kurva beserta kawasan arsirannya menyerupai gambar berikut ini.

Daerah penyelesaiannya merupakan kawasan irisan dari ketiga pertaksamaan menyerupai gambar yang paling kanan bawah.

       Demikian pembahasan bahan Sistem Pertaksamaan Kuadrat dan Kuadrat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca bahan lain yang berkaitan dengan sistem pertaksamaan atau sistem persamaan.