Soal Dan Pembahasan Integral Parsial

Posted on
Integral parsial ditandai dengan adanya fungsi yang apabila diturunkan terus akan bernilai nol sesampai lalu dalam hal ini hanya sebagian fungsi saja yang diintegralkan lagikan yang lain diturunkan. Integral parsial dipakai saat integral suatu fungsi tak sanggup diselesaikan dengan metode anti turunan sesuai definisinya. Integral parsial umumnya dipakai pada integral hasil kali dua fungsi yang secara umum berbentuk ∫ f(x).g(x) dx. Integral parsial ditandai dengan pemisalan salah satu fungsinya f(x) = U dan g(x) dx = dV, sesampai lalu dihasilkan bentuk lain yang biasanya disimbolkan dengan ∫ U dV. Beberapa buku cukup memakai simbol yang berbeda tenamun prinsipnya tetap sama.
Prinsipnya merupakan menurunkan salah satu fungsi yang apabila diturunkan terus akan bernilai nol lagikan fungsi lain diintegralkan. Cara kedua ini dianggap lebih mudah dan lebih gampang dipahami. Untuk lebih terangnya mari kita lihat sedikit contoh.
Contoh Soal :
  1. Tentukan hasil dari ∫ (x + 2) sin (x + π) dx.
    Pembahasan :
    Untuk teladan soal pertama ini kita akan coba bahas dengan dua cara yakni dengan rumus integral parsial dan dengan tabel. Berikut cara pertama :
    Misal U = x + 2, dV = sin (x + π) dx.
    ∫ U dV = UV − ∫ V dU

    Berdasarkan rumus di atas, maka kita harus mencari terlebih dahulu V dan dU :
    U = x + 2

    dU= 1
    dx

    dU = dx

    Untuk mencari V :
    dV = sin (x + π) dx
    ⇒ ∫ dV = sin (x + π) dx
    ⇒ V = ∫ sin (x + π) dx
    ⇒ V = -cos (x + π) + c

    Kembali ke rumus integral parsial :
    ∫ U dV = UV − ∫ V dU
    ⇒ ∫ U dV = UV − ∫ V dU
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − ∫ -cos (x + π) dU
    Karena dU = dx, maka :
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − ∫ -cos (x + π) dx
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − (-sin (x + π) + c)
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) + sin (x + π) + c

    Cara kedua :

    Turunkan UIntegralkan dV
    x + 2 (+)sin (x + π) dx
    1 (−)-cos (x + π)
    -sin (x + π)

    Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
    ⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − (-sin (x + π) + c
    ⇒ ∫ U dV = -(x + 2)(cos (x + π) + sin (x + π) + c

  2. Tentukan hasil dari ∫ x2 cos x dx.
    Pembahasan :

    Turunkan UIntegralkan dV
    x2 (+)cos x dx
    2x (−)sin x
    2 (+)-cos x
    -sin x

    Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
    ⇒ ∫ U dV = x2 (sin x) − 2x (-cos x) + 2 (-sin x) + c
    ⇒ ∫ U dV = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c

  3. Tentukan hasil dari ∫ (4x + 2) cos (2x +5) dx.
    Pembahasan :

    Turunkan UIntegralkan dV
    4x + 2 (+)cos (2x + 5) dx
    4 (−)½ sin (2x + 5)
    -¼ cos (2x + 5)

    Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
    ⇒ ∫ U dV = (4x + 2)(½ sin (2x + 5)) − 4 (-¼ cos (2x + 5)) + c
    ⇒ ∫ U dV = (2x + 1).sin (2x + 5) + cos (2x + 5) + c

  4. Tentukan hasil dari ∫ x (x + 4)5 dx.
    Pembahasan :

    Turunkan UIntegralkan dV
    x (+)(x + 4)5 dx
    1 (−)⅙ (x + 4)6
    ⅙.17 (x + 4)7

    Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
    ⇒ ∫ U dV = x(⅙ (x + 4)6) − 1(142 (x + 4)7) + c
    ⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {142 (x + 4)(x + 4)6} + c
    ⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {142 x + 221)(x + 4)6} + c
    ⇒ ∫ U dV = {⅙x − (142 x + 221)}.(x + 4)6 + c 
    ⇒ ∫ U dV = (⅙x − 142 x − 221).(x + 4)6 + c 
    ⇒ ∫ U dV = (642 x − 221).(x + 4)6 + c
    ⇒ ∫ U dV = (17 x − 221).(x + 4)6 + c
    ⇒ ∫ U dV = 121 (3x − 2).(x + 4)6 + c

  5. Tentukan hasil dari ∫ x3 sin x dx
    Pembahasan :

    Turunkan UIntegralkan dV
    x3 (+)sin x dx
    3x2 (−)-cos x
    6x (+)-sin x
    6 (−)cos x
    sin x

    Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
    ⇒ ∫ U dV = x3 (-cos x) − 3x2 (-sin x) + 6x (cos x) − 6 (sin x) + c
    ⇒ ∫ U dV = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + c
    ⇒ ∫ U dV = (3x− 6) sin x − (x3 − 6x) cos x + c