Soal Dan Pembahasan Trigonometri Sinus Setengah Sudut

Posted on
Pada hari ini sebelumnya kami telah membahas rumus trigonometri untuk sudut rangkap atau sudut ganda (sin 2α, cos 2α, dan tan 2α). Selanjutnya kita akan mencoba membahas soal-soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri untuk setengah sudut (sin ½α, cos ½α, dan tan ½α). Pada hari ini ini kita akan terlebih dahulu membahas soal wacana sinus setengah sudut.

Pada dasarnya, rumus sinus setengah sudut diturunkan dari rumus cosinus sudut ganda. Penggunaan rumus sin ½α untuk memilih nilai trigonometri suatu sudut sanggup dikaitkan dengan identitas-identitas trigonometri yang telah anda pelajari. Hubungan antara sinus, cosinus, dan tangen akan terlihat jelas dalam rumus trigonometri setengah sudut.

Jika anda telah mencar ilmu wacana rumus trigonometri sudut ganda, maka anda sanggup menurunkan rumus tersebut untuk membentuk rumus trigonometri setengah sudut sebagai berikut :

cos 2α = 1 − 2sin2 α
⇒ 2sin2 α = 1 − cos 2α
sin2 α = 1 − cos 2α 2

sin α = ± 1 − cos 2α 2

Dengan mengmengganti α menjadi ½α, maka diperoleh :
sin ½α = ± 1 − cos α 2

Keterangan :
Tanda negatif atau positif diadaptasi dengan kuadran sudut sebagai berikut :
⇒ Kuadran I : sinus positif.
⇒ Kuadran II : sinus positif.
⇒ Kuadran III : sinus negatif.
⇒ Kuadran IV : sinus negatif.

Soal dan Pembahasan

  1. Jika β merupakan sudut lancip, nyatakan perbandingan trigonometri :
    1. sin β dalam sudut 2β
    2. sin ½β

    Pembahasan :

    1. sin β dalam sudut 2β
      Karena sudut β lancip, berarti sudut β berada di kuadran I dengan begitu sinus bernilai positif. sin β =  1 − cos 2β 2
    2. sin ½β
      Karena sudut β berada di kuadran I, maka sudut ½β juga berada di kuadran I. Dengan begitu sinus untuk ½β juga bernilai positif.   sin ½β =  1 − cos  β 2
  2. Jika α sudut tumpul, maka nyatakan perbandingan trigonometri :
    1. sin α dalam sudut 2α
    2. sin ½α

    Pembahasan :

    1. sin α dalam sudut 2α
      Karena sudut α tumpul, berarti sudut α berada di kuadran II dengan begitu sinus bernilai positif. sin α =  1 − cos 2α 2
    2. sin ½α
      Karena sudut α berada di kuadran I, maka sudut ½α berada di kuadran I. Dengan begitu sinus untuk sudut ½α juga bernilai positif. sin ½α =  1 − cos α 2

  3. Dengan memakai rumus sin ½α, hitunglah nilai dari :
    1. sin π12
    2. sin 112 ½

    Pembahasan :

    1. sin π12 = sin ½(π6)
      sin π121 − cos  π6 2

      sin π121 − ½√3 2

      sin π12 = ½(1 −  √3)

      ⇒ sin π12 = ½ √(1 − √3)

    2. sin 112 12 = sin ½(225o)
      sin 112 121 − cos  225o 2

      sin 112 121 − (-½√2) 2

      sin 112 12 = ½(2 +  √2)

      ⇒ sin 112 12 = ½ √(2 + √2)

  4. Nyatakan perbandingan trigonometri sin ¾α dalam sudut 1½α.
    Pembahasan :
    sin ¾α = sin ½(32α)

    sin ¾α =  ±  1 − cos  32α 2

    sin ¾α =   ± 1 − cos  1½α 2

  5. Diketahui α dan β sudut lancip dengan sin α = cos β = ⅘. Hitunglah :
    1. sin ½α
    2. sin ½β

    Rumus untuk sin ½α

     Pada hari ini sebelumnya kami telah membahas rumus trigonometri untuk sudut rangkap ata SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SINUS SETENGAH SUDUT

    Pembahasan :
    sin α = cos β = ⅘, maka cos α = sin β = ⅗.

    1. sin ½α
      sin ½α =  1 − cos α 2

      sin ½α =  1 − ⅗ 2

      ⇒ sin ½α = √(210)
      ⇒ sin ½α = √(15)

    2. sin ½β
      sin ½β =  1 − cos  β 2

      sin ½β =  1 − ⅘ 2

      ⇒ sin ½β = √(110)

Baca Juga:   Contoh Soal Dan Tanggapan Sifat Eksponen