Soal Dongeng Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Posted on

         Pondok Soal.com – Matematika Sekolah Menengah Pertama : Setelah kita mempelajari “persamaan dan pertaksamaan linear satu variabel”, kita akan lanjutkan lagi pada pembahasan yang terkait dengan soal cerita yang tentunya akan lebih menantang lagi untuk kita pelajari.

         Pada artikel ini kita akan khusus membahas bahan Soal Cerita Persamaan dan Pertaksamaan Linear Satu Variabel. Agar gampang mempelajari bahan ini, sebaiknya pelajari dahulu bahan “penyelesaian persamaan linear satu variabel” dan “pertaksamaan linear satu variabel“.

Penyelesaian Soal Cerita Persamaan dan Pertaksamaan Linear Satu Variabel
       Untuk menuntaskan soal cerita, buatlah terlebih dahulu model matematika menurut soal dongeng tersebut. Kemudian, kita selesaikan menurut persamaan atau pertaksamaan.

       Model matematika merupakan kalimat terbuka yang memuat variabel yang terdapat hubungan persamaan atau pertaksamaan. Silahkan baca pengertian kalimat terbuka pada artikel “Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup“.

Contoh soal dongeng persamaan dan pertaksamaan linear satu variabel :
1). Budi membeli 20 permen di warung yang ada di akrab rumahnya. Ketika sudah di rumah, adik-adiknya (Iwan, Wayan, dan Wati) meminta permen tersebut sesampai lalu permen Budi tersisa 11 biji. Berapa kaya permen yang diminta oleh ketiga adiknya Budi?
Penyelesaian :
*). Membuat model matemenonaktifkanya,
Misalkan kayanya permen yang diminta oleh adiknya kebijaksanaan sekaya $ x \, $ permen. Maka model matemenonaktifkanya ialah : $ 20 – x = 11 $
Bentuk persamaan linear satu variabel $ 20 – x = 11 \, $ artinya dari 20 permen diberikan $ x \, $ permen ke adik-adinya dan sisanya 11 permen.
*). Menentukan nilai $ x \, $
$ \begin{align} 20 – x & = 11 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 20)} \\ 20 – x – 20 & = 11 – 20 \\ -x & = -9 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } -1) \\ (-1) \times (-x) & = (-1) \times (-9) \\ x & = 9 \end{align} $
Jadi, ada 9 permen yang diberikan Budi kepada adik-adiknya.

2). Setiap hari Fitri menyisihkan uang jajannya untuk ditabung di rumah. Setelah 11 hari uang Fitri menjadi Rp 154.000,00. Berapa rupiahkah Fitri menyisihkan uangnya setiap hari?
Penyelesaian :
*). Membuat model matematika,
Misalkan setiap hari Fitri menyisihkan uangnya sebesar $ y \, $ rupiah.
Model matemenonaktifkanya : $ 11 \times y = 154.000 \, $ yang artinya setiap hari menyisihkan uang sebesar $ y \, $ selama 11 hari dengan total tabungannya Rp 154.000,000.
sesampai lalu terbentuk persamaan linear satu variabel : $ 11 \times y = 154.000 $ .
*). Menentukan nilai $ y $
$ \begin{align} 11 \times y & = 154.000 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11 \times y}{11} & = \frac{154.000}{11} \\ y & = 14.000 \end{align} $
Jadi, Fitri menyisihkan uangnya setiap hari sebesar Rp 14.000,00 .

3). Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan merupakan 108. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian :
*). Model matemenonaktifkanya,
Bilangan genap berurutan niscaya terdapat selisih 2 antara dua bilangan yang berdekatan, contohnya 2,4,6,8,10, dan seterusnya.
Misalkan bilangan pertamanya merupakan $ a \, $.
Ketiga bilangan genapnya ialah :
bilangan pertama : $ a $ ,
bilangan kedua : $ a + 2 $ ,
bilangan ketiga : $ (a + 2) + 2 = a + 4 $ ,
Jumlah ketiga bilangannya merupakan 108, sesampai lalu model matemenonaktifkanya :
$ a + (a+2) + (a + 4) = 108 \rightarrow 3a + 6 = 108 $.
sesampai lalu terbentuk persamaan linear satu variabel : $ 3a + 6 = 108 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} 3a + 6 & = 108 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 6)} \\ 3a + 6 – 6 & = 108 – 6 \\ 3a & = 102 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3a}{3} & = \frac{102}{3} \\ a & = 34 \end{align} $
Sesampai lalu bilangannya :
bilangan pertama : $ a = 34$ ,
bilangan kedua : $ a + 2 = 34 + 2 = 36 $ ,
bilangan ketiga : $ a + 4 = 34 + 4 = 38 $ ,
Jadi, ketiga bilangan tersebut merupakan 34, 36, 38.

Baca Juga:   Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

4). Sebuah persegi panjang memiliki ukuran panjang ($3x – 4$) cm dan lebar ($x + 1$) cm.
a. Tulislah rumus kelilingnya dan nyatakan dalam bentuk yang paling simpel.
b. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.
Penyelesaian :
*). Untuk rumus keliling dan luas persegi panjang, silahkan baca pada artikel “Sifat, Keliling, dan Luas Persegi Panjang“.
a). Keliling persegi panjang, dengan $ p = 3x – 4 \, $ dan $ l = x + 1 $
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 2p + 2l \\ & = 2(3x – 4) + 2(x+ 1) \\ & = 6x – 8 + 2x + 2 \\ & = 8x – 6 \end{align} $
Sesampai lalu keliling persegi panjangnya merupakan ($8x – 6$).
b). Menentukan nilai $ x \, $ dengan kelilingnya 34.
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 34 \\ 8x – 6 & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 6)} \\ 8x – 6 + 6 & = 34 + 6 \\ 8x & = 40 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 8)} \\ \frac{8x}{8} & = \frac{40}{8} \\ x & = 5 \end{align} $
*). Menentukan panjang dan lebarnya dengan nilai $ x = 5 $,
$ p = 3x – 4 = 3 \times 5 – 4 = 15 – 4 = 11 $
$ l = x + 1 = 5 + 1 = 6 $
*). Menentukan luas persegi panjanga :
Luas $ = p \times l = 11 \times 6 = 66 $.
Jadi, luas persegi panjangnya merupakan 66 cm$^2$.

5). Seorang petani memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah petani tersebut.
Penyelesaian :
*). model matematika,
Misalkan panjang tanah = $ x $ maka lebar tanah = $ x – 6$.
Keliling $ = 2p + 2l = 2x + 2(x-6) = 2x + 2x – 12 = 4x – 12 $.
*). Menentukan nilai $ x \, $ dengan kelilingnya 60,
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 4x – 12 & = 60 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 12)} \\ 4x – 12 + 12 & = 60 + 12 \\ 4x & = 72 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x}{4} & = \frac{72}{4} \\ x & = 18 \end{align} $
Sesampai lalu : $ p = x = 18 \, $ dan $ l = x – 6 = 18 – 6 = 12 $.
*). Menentukan luas persegi panjanga :
Luas $ = p \times l = 18 \times 12 = 216 $.
Jadi, luas tanahnya merupakan 216 m$^2$.

Penyelesaian Soal Cerita Pertaksamaan Linear Satu Variabel
       Untuk soal dongeng yang berkaitan dengan pertaksamaan, poin penting yang harus kita pahami merupakan penggunaan tanda ketaksamaannya ($>, \, \geq , \, \leq , \, < $).

Berikut kata-kata yang biasa digunakan pada soal dongeng dan tanda ketaksamaan yang sesuai :
*). Tanda $ < \, $ digunakan apabila ada kata-kata : kurang dari, lebih kecil, tak lebih dari atau sama dengan, tak lebih besar atau sama dengan.

*). Tanda $ \leq \, $ digunakan apabila ada kata-kata : kurang dari atau sama dengan , lebih kecil atau sama dengan, sebesar-besarnya, maksimum, maksimal, tak lebih dari.

*). Tanda $ > \, $ digunakan apabila ada kata-kata : lebih dari, lebih besar, tak lebih kecil atau sama dengan, tak kurang dari atau sama dengan.

*). Tanda $ \geq \, $ digunakan apabila ada kata-kata : lebih dari atau sama dengan, lebih besar atau sama dengan, tak kurang dari, sekecil-kecilnya, minimum, minimal.

Baca Juga:   Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka Dan Kalimat Tertutup

Contoh soal dongeng pertaksamaan linear satu variabel :
6). Umur Budi dan Iwan masing-masing ($5x – 2$) dan ($ 2x + 4$). Jika umur Budi lebih dari umur Iwan, maka tentukan nilai $ x $.
Penyelesaian :
*). Menyusun model matemenonaktifkanya,
Kata yang digunakan “lebih dari”, sesampai lalu memakai tanda “$>$”.
Umur Budi lebih dari umur Iwan,
Pertaksamaan linear satu variabelnya : $ 5x – 2 > 2x + 4 $.
*). Menentukan nilai $ x \, $
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 5x – 2 & > 2x + 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 5x – 2 + 2 & > 2x + 4 + 2 \\ 5x & > 2x + 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ 5x – 2x & > 2x + 6 -2x \\ 3x & > 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3x}{3} & > \frac{6}{3} \\ x & > 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ merupakan $ x > 2 $.

7). Rumah ibu Suci dibangun di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 20 m dan lebar ($6y-1$) m. Jika luas tanah ibu Suci tak kurang dari 100 m$^2$.
a). Berapa lebar minimal tanah ibu Suci?
b). Jika biaya untuk membangun rumah seluas 1 m$^2$ merupakan Rp 2.000.000,00. Berapakah biaya minimal yang harus disediakan ibu suci apabila seluruh tanahnya dibangun rumah?
*). Model matematika,
Luas $ = p \times l = 20 \times (6y – 1) = 120y – 20 $.
Kata yang digunakan luas “tak kurang dari”, sesampai lalu tandanya “$\geq$”.
Model matemenonaktifkanya : Luas $ \geq 100 \rightarrow 120y – 20 \geq 100 $.
Sesampai lalu pertaksamaannya : $ 120y – 20 \geq 100 $.
a). Menentukan nilai $ y $,
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 120y – 20 & \geq 100 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 20)} \\ 120y – 20 + 20 & \geq 100 + 20 \\ 120y & \geq 120 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 120)} \\ \frac{120y}{120} & \geq \frac{120}{120} \\ y & \geq 1 \end{align} $
kita peroleh nilai minimal $ y \, $ merupakan $ y = 1 \, $ alasannya $ y \geq 1 $ .
Sesampai lalu lebar minimalnya : $ l = 6y – 1 = 6 \times 1 -1 = 6 – 1 = 5 \, $ m.
Jadi, lebar tanah minimal ibu Suci merupakan 5 m.

b). Biaya akan minimal apabila luas tanah minimal, sesampai lalu panjangnya 20 m dan lebarnya 5 m.
Luas minimal $ = p \times l = 20 \times 5 = 100 \, $ m$^2$.
Biaya minimal $ = 100 \times 2.000.000 = 200.000.000 $.
Jadi, biaya minimal yang harus disiapkan oleh ibu Suci untuk membangun rumah di atas seluruh tanahnya merupakan Rp 200.000.000,00.

8). Pak Fredy terdapat sebuah kendaraan beroda empat box pengangkut barang dengan daya angkut tak lebih dari 500 kg. Berat pak Fredy merupakan 60 kg dan beliau akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.

a). Tentukan kaya kotak paling kaya yang sanggup diangkut oleh pak Fredy dalam sekali pengangkutan?
b). Jika pak Fredy akan mengangkut 115 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak itu akan terangkut semua?
Penyelesaian :
*). Model matematika,
Misalkan $ x \, $ menyatakan kayanya kotak yang diangkut oleh kendaraan beroda empat untuk sekali jalan.
Setiap kotak beratnya 20 kg, sesampai lalu $ x \, $ kotak beratnya $ 20x $.
Total berat sekali jalan merupakan berat kotak ditambah berat pak Fredy ialah $ 20x + 60 $.
Daya angkut kendaraan beroda empat tak lebih dari, sesampai lalu tandanya “$\leq$”.
Daya angkut tak lebih dari 500 kg ditulis $ 20x + 60 \leq 500 $.
a). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 20x + 60 & \leq 500 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 60)} \\ 20x + 60 – 60 & \leq 500 – 60 \\ 20x & \leq 440 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 20)} \\ \frac{20x}{20} & \leq \frac{440}{20} \\ x & \leq 22 \end{align} $
Dari $ x \leq 22 \, $ kita peroleh nilai maksimum dari $ x \, $ merupakan 22, artinya setiap kali jalan kendaraan beroda empat box bisa mengangkut paling kaya 22 kotak.

Baca Juga:   Pembahasan Latihan 2.3 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Kelas Vii Kurikulum 2013+

b). Agar pengangkutan dilakukan sesedikit cukup, maka setiap kali jalan harus sanggup membawa kotak paling kaya ialah 22 kotak.
Misalkan $ y \, $ menyatakan kayanya keberangkatan (perjalanan),
Setiap kali jalan mengangkut 22 kotak, sesampai lalu untuk $ y \, $ perjalanan akan terangkut $ 22y \, $ kotak.
Akan diangkut 115 kotak, artinya untuk semua perjalanan minimal harus 115 kotak harus terangkut. Sesampai lalu model matemenonaktifkanya : $ 22y \geq 115 $,
*). Menentukan nilai $ y \, $
$ \begin{align} 22y & \geq 115 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 22)} \\ \frac{22y}{22} & \geq \frac{115}{22} \\ y & \geq 5,227 \end{align} $
Dari $ y \geq 5,227 \, $ dan $ y \, $ bilangan lingkaran positif(kayanya perjalanan), maka nilai terkecil dari $ y \, $ merupakan 6.
Jadi, paling sedikit 6 kali perjalanan untuk mengankut 115 kotak.

9). Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang ($x + 5$) cm, lebar ($x – 2$) cm, dan tinggi $ x $ cm.
a). Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diharapkan dalam $ x $.
b). Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.
Penyelsaian :
*). Gambar baloknya.

a). Misalkan $ K \, $ menyatakan total panjang kawat yang dibutihkan untuk membuat kerangka balok. Total panjang kawat yang dibutuhkan merupakan jumlah dari semua rusuknya, sesampai lalu panjang $ K \, $ ialah :
$ \begin{align} K & = 4p + 4l + 4t \\ & = 4(x+5) + 4(x-2) + 4x \\ & = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x \\ & = 12x + 12 \end{align} $
Jadi, panjang kawatnya merupakan $ K = 12x + 12 $.

b). Panjang kawat tak lebih dari 132 cm sanggup ditulis $ K = 12x + 12 \leq 132 \, $ cm,
sesampai lalu diperoleh :
$ \begin{align} 12x + 12 & \leq 132 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 12)} \\ 12x + 12 – 12 & \leq 132 – 12 \\ 12x & \leq 120 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 12)} \\ \frac{12x}{12} & \leq \frac{120}{12} \\ x & \leq 10 \end{align} $
Dari bentuk $ x \leq 10 \, $ , maka nilai maksimum dari $ x \, $ merupakan 10.
*). Menentukan ukuran balok :
Panjang $ = x + 5 = 10 + 5 = 15 \, $ cm ,
Lebar $ = x – 2 = 10 – 2 = 8 \, $ cm ,
Tinggi $ = x = 10 \, $ cm.
Jadi, ukuran maksimum balok merupakan ($15 \times 8 \times 10$) cm.