Statistika : Penyajian Data

Posted on

         Pondok Soal.comPenyajian Data merupakan salah satu bahan bab dari Statistika. Untuk penyajian data, data kita bagi menjadi dua bab ialah data tunggal dan data berkelompok. Untuk pengertian data tunggal dan data berkelompok, baca bahan “statistika secara umum“.

Penyajian Data Tunggal
       Data tunggal sanggup disaapabilan dalam bentuk : Tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun, dan diagram kotak garis.

Berikut penterangan masing-masing penyajian data tunggal.
a). Tabel
       Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan tabel distribusi frekuensi tunggal. Di sini eksklusif melibatkan frekuensinya masing-masing.
Contoh :
Berikut merupakan data ulangan harian matematika dari 30 siswa kelas XI.
7, 8, 6, 8, 7, 7,
6, 6, 6, 7, 7, 7,
7, 7, 8, 6, 6, 6,
7, 7, 5, 5, 7, 7,
6, 6, 8, 8, 5, 6
Dari kumpulan dita di atas, susunlah dalam bentuk tabel!.
Penyelesaian :
Dari data di atas, terdapat sedikit nilai yang sama.
*). nilai amatan 5 muncul sekaya 3 sesampai kemudian frekuensinya $ f = 3 $
*). nilai amatan 6 muncul sekaya 10 sesampai kemudian frekuensinya $ f = 10 $
*). nilai amatan 7 muncul sekaya 12 sesampai kemudian frekuensinya $ f = 12 $
*). nilai amatan 8 muncul sekaya 5 sesampai kemudian frekuensinya $ f = 5 $
Tabel distribusi frekuensi tunggalnya,

Tally(Turus) menyatakan tanda yang mengatakan kayaknya data.

b). Diagram Batang
       Diagram batang merupakan diagram penyajian data dalam bentuk batang atau kotak yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua jenis diagram batang, ialah diagram batang vertikal dan diagram batang horizontal.
Contoh :
Jumlah lulusan Sekolah Menengan Atas X di suatu tempat dari tahun 2001 hingga tahun 2004 merupakan sebagai berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian :
Data tersebut sanggup disaapabilan dengan diagram batang sebagai berikut.

c). Diagram Garis
       Diagram garis merupakan diagram penyajian data dalam bentuk garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan keadaan yang berkesinambungan.
Contoh :
Dalam enam bulan pertama tahun 2007, pemakaian daya listrik dari koperasi ABC mirip tertuang pada tabel berikut.

Saapabilan data diatas ke dalam diagram garis dan kemudian tafsirkan.!
Penyelesaian :

Dari diagram garis di atas sanggup dibaca dan ditafsirkan, misalkan :
*). Pada bulan Januari – Februari pemakaian listrik bertambah dengan kemiringan garisnya positif.
*). Pada bulan Februari – Maret pemakaian listrik menurun dengan kemiringan garisnya negatif.
*). Dari bulan Maret – Juni pemakaian listrik semakin meningkat dengan kemiringan garisnya positif untuk setiap bulannya, meskipun kemiringannya ini masih lebih kecil dibandingkan dengan periode bulan Januari – Februari.

d). Diagram Lingkaran
       Diagram lingkaran merupakan diagram penyajian data dalam bentuk lingkaran. Bagian-bagian dari tempat lingkaran mengatakan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut sentra sektor lingkaran.
Cara memilih besar sudut dan persentase datanya,
$ \clubsuit $ Besar persentase :
Persentase nilai A = $ \begin{align} \frac{\text{kaya A}}{\text{jumlah seluruh data}} \times 100 \% \end{align} $
$ \clubsuit $ Besar Sudut :
Sudut nilai A = $\begin{align} \frac{\text{kaya A}}{\text{jumlah seluruh data}} \times 360^\circ \end{align} $

Untuk memudahkan mengingat, pada lingkaran berlaku perbandingan :

$\begin{align} \frac{\text{kaya nilai A}}{\text{jumlah seluruh data}} = \frac{\text{Sudut A}}{360^\circ} = \frac{\text{Persen A}}{100 \%} \end{align} $

Contoh :
Tabel berikut mengatakan kayanya siswa di suatu kabupaten berdasarkan tingkat sekolah pada tahun 2007.

Saapabilan data di atas dalam diagram lingkaran dan tentukan besar persentasenya masing-masing!
Penyelesaian :
Jumlah seluruh siswa merupakan 1.000 orang. Seluruh siswa diklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang, Sekolah Menengah Pertama = 600 orang, dan Sekolah Menengan Atas = 225 orang.
*). Menentukan besarnya persentase masing-masing :
siswa SD = $ \frac{175}{1000} \times 100 \% = 17,5 \% $
siswa Sekolah Menengah Pertama = $ \frac{600}{1000} \times 100 \% = 60 \% $
siswa Sekolah Menengan Atas = $ \frac{225}{1000} \times 100 \% = 22,5 \% $
*). Menentukan besarnya sudut masing-masing :
siswa SD = $ \frac{175}{1000} \times 360^\circ = 63^\circ $
siswa Sekolah Menengah Pertama = $ \frac{600}{1000} \times 360^\circ = 216^\circ $
siswa Sekolah Menengah Pertama = $ \frac{225}{1000} \times 360^\circ = 81^\circ $
Berikut diagram lingkarannya :

e). Diagram Batang Daun
       Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan terlebih dahulu dari data ukuran terkecil hingga dengan ukuran yang terbesar. Diagram batang daun terdiri dari dua bab ialah batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bab daun memuat angka satuan. Dari pengertian ini, berarti diagram batang daun cocok digunakan untuk data yang besarnya hingga puluhan saja.
Contoh :
Buatlah diagaram batang daun dari data berikut.
45, 10, 20, 31, 48, 20, 29, 27, 11, 8,
25, 21, 42, 24, 22, 36, 33, 22, 23, 13,
34, 29, 25, 39, 32, 38, 50, 5
Penyelesaian :
Diagram batang daunnya merupakan

Dari diagram batang daun di atas sanggup dibaca sebagai berikut :
*). Ukuran terkecil (nilai terkecil) merupakan 5,
*). Ukuran terbesar merupakan 50,
*). Ukuran ke-1 hingga ke-9 merupakan 5, 8, 10, 11, 20, 20, 21, 22, 22.
*). Ukuran ke-16 (nilai ke-16) merupakan 29.

Baca Juga:   Menentukan Frekuensi Interval Kelas Data Berkelompok

f). Diagram Kotak Garis
       Data statistik yang digunakan untuk menggambarkan diagram kotak garis merupakan statistik lima serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar) dan kuartil ($Q_1, \, Q_2, \, Q_3$). Untuk bahan yang berkaitan menetukan besarnya kuartil, silahkan baca bahan “Ukuran Pemusatan Data“.
Contoh :
Diketahui data sebagai berikut:
41, 52, 66, 86, 91, 65, 86, 88, 41, 62, 42, 59, 72, 99, 53,
69, 87, 93, 64, 44, 64, 42, 92, 54, 78, 86, 92, 100, 79, 47
Buatlah statistik lima serangkai dan diagram kotak garisnya!
Penyelesaian :
*). Data diurutkan terlebih dahulu,
41, 41, 42, 42, 44, 47, 52, 53, 54, 59, 62, 64, 64, 65, 66, 69,
72, 78, 79, 86, 86, 86, 87, 88, 91, 92, 92, 93, 99, 100
*). Menentukan unsur-unsur statistik lima serangkai,
$ x_\text{min} = 41 \, $ (nilai terkecil)
$ x_\text{max} = 100 \, $ (nilai tertinggi)
$ Q_1 = 53 \, $ (nilai kuartil bawah)
$ Q_2 = 67,5 \, $ (nilai kuartil tengah atau median)
$ Q_3 = 87 \, $ (nilai kuartil atas)
*). Statistik lima serangkainya :

*). Diagram kotak garis

Penyajian Data Berkelompok
       Data tunggal sanggup diolah menjadi bentuk-bentuk interval tertentu, data tersebut disebut data berkelompok. Data berkelompok sanggup disaapabilan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, histogram, poligon, dan ogif(ogive).

i). Tabel Distribusi Frekuensi berkelompok
       Data yang berukuran besar ($ n > 30 $) lebih sempurna disaapabilan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok, ialah cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah menyusun Tabel Distribusi Frekuensi berkelompok
1). Tentukan jangkauannya (J), J = nilai terbesar – nilai terkecil.
2). Menentukan kaya interval (K) dengan rumus “Sturgess” yaitu: $ K = 1 + 3,3 \log n $ dengan $ n $ merupakan kaya data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan lingkaran positif hasil pembulatan terbaik.
3). Menentukan panjang interval kelas (I) dengan memakai rumus: $ I = \frac{J}{K} $
4). Menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar merupakan batas atas interval kelas terakhir.
5). Memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan memilih nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus atau frekuensi.

Contoh :
Seorang peneliti mengadakan penelitian wacana berat tubuh dari 35 orang.
Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini:
48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36
21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56
50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39
Saapabilan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.!
Penyelesaian :
Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi
1). Jangkauan (J) = $ X_\text{max}- X_\text{min} = 74 – 16 = 58. $
2). Banyak kelas (K) $ = 1 + 3,3 \log n = 1 + 3,3 \log 35 = 6,095 $. Banyak kelas dibulatkan menjadi “6”.
3). Panjang interval kelas (I) merupakan $ I = \frac{J}{K} = \frac{58}{6} = 9,67 $ .
Panjang interval kelas dibulatkan menjadi “10” (selalu bulatkan ke atas). Dengan panjang interval kelas = 10 dan kaya kelas = 6, diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut.

Dari tabel diperoleh sedikit informasi :
*). Banyak kelas (K) ada enam kelas ialah 16 – 25, 26 – 35, 36 – 45, 46 – 55, 56 – 65, 66 – 75
*). Panjang kelas (I) merupakan 10 , misalkan : 16 – 25 memuat nilai 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, dan 25 ialah mengkover 10 nilai (datum).
*). Setiap kelas terdapat batas bawah kelas dan batas atas kelas.
Kelas ke-1 : 16 – 25 , batas bawahnya 16 dan batas atasnya 25
Kelas ke-2 : 26 – 35 , batas bawahnya 26 dan batas atasnya 35
Kelas ke-3 : 36 – 45 , batas bawahnya 36 dan batas atasnya 45
Kelas ke-4 : 46 – 55 , batas bawahnya 46 dan batas atasnya 55
Kelas ke-5 : 56 – 65 , batas bawahnya 56 dan batas atasnya 65
Kelas ke-6 : 66 – 75 , batas bawahnya 66 dan batas atasnya 75
*). Setiap kelas terdapat nilai tengah, nilai tengah = $ \frac{1}{2} $ (batas bawah + batas atas)
Kelas ke-1 : 16 – 25 , nilai tengah $ x_1 = \frac{1}{2}(16+25) = 20,5 $
Kelas ke-2 : 26 – 35 , nilai tengah $ x_2 = \frac{1}{2}(26+35) = 30,5 $
Kelas ke-3 : 36 – 45 , nilai tengah $ x_3 = \frac{1}{2}(36+45) = 40,5 $
Kelas ke-4 : 46 – 55 , nilai tengah $ x_4 = \frac{1}{2}(46+55) = 50,5 $
Kelas ke-5 : 56 – 65 , nilai tengah $ x_5 = \frac{1}{2}(56+65) = 60,5 $
Kelas ke-6 : 66 – 75 , nilai tengah $ x_6 = \frac{1}{2}(66+75) = 70,5 $
*). Setiap kelas terdapat tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.

Tepi bawah = batas bawah – 0,5 .
Tepi atas = batas atas + 0,5 .

Kelas ke-1 : 16 – 25 , tepi bawahnya 16 – 0,5 = 15,5 dan tepi atasnya 25 + 0,5 = 25,5
Kelas ke-2 : 26 – 35 , tepi bawahnya 26 – 0,5 = 25,5 dan tepi atasnya 35 + 0,5 = 35,5
Kelas ke-3 : 36 – 45 , tepi bawahnya 36 – 0,5 = 35,5 dan tepi atasnya 45 + 0,5 = 45,5
Kelas ke-4 : 46 – 55 , tepi bawahnya 46 – 0,5 = 45,5 dan tepi atasnya 55 + 0,5 = 55,5
Kelas ke-5 : 56 – 65 , tepi bawahnya 56 – 0,5 = 55,5 dan tepi atasnya 65 + 0,5 = 65,5
Kelas ke-6 : 66 – 75 , tepi bawahnya 66 – 0,5 = 65,5 dan tepi atasnya 75 + 0,5 = 75,5

Baca Juga:   Statistika Secara Umum

ii). Histogram
       Histogram merupakan diagram yang menyaapabilan data dari tabel distribusi frekuensi dengan bentuk batang dan berimpitan. Sumbu mendatar (sumbu $x$) menyatakan tepi kelas, dan sumbu tegak (sumbu $y$) menyatakan frekuensi. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diharapkan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk memilih titik tengah kelas. Penyajian histogram sanggup disaapabilan berdasarkan tepi-tepi kelas atau berdasarkan nilai tengah.

*). nilai tengah = $ \frac{1}{2} $ (batas bawah + batas atas)
                            atau
*). nilai tengah = $ \frac{1}{2} $ (tepi bawah + tepi atas) .

*). Tepi bawah kelas ke-$k$
= $ \frac{1}{2} $ [ Nilai tengah kelas ke-$(k-1)$ + Nilai tengah kelas ke-$k$ ]
*). Tepi atas kelas ke-$k$
= $ \frac{1}{2} $ [ Nilai tengah kelas ke-$k$ + Nilai tengah kelas ke-$(k+1)$ ]
*). Panjang kelas
= Nilai tengah kelas ke-$(k+1)\, \, – \, \, $ Nilai tengah kelas ke-$k$

Contoh :
Dari tabel angket berikut, buatlah histogramnya.!

Penyelesaian :
Histogram yang disaapabilan berdasarkan tepi-tepi kelas

iii). Poligon frekuensi
       Poligon frekuensi merupakan diagram garis yang menghubungkan setiap titik tengah batang bab atas dari suatu histogram dan batang – batangnya dihapus.
Contoh :
Hasil pengukuran berat tubuh terhadap 100 siswa Sekolah Menengah Pertama X digambarkan dalam distribusi bergolong mirip di bawah ini. Saapabilan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.

Penyelesaian :
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas sanggup ditunjukkan sebagai berikut.

Frekuensi Relatif dan Kumulatif
       Frekuensi relatif dari suatu data merupakan dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan kaya data dinyatakan dalam persen.

Frekuensi relatif kelas ke-$k$ = $ \begin{align} \frac{\text{frekuensi kelas ke-}k}{\text{Total data}} \times 100 \% \end{align} $

       Frekuensi kumulatif kelas ke-$k$ merupakan jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.
       Ada dua macam frekuensi kumulatif, ialah :
1) frekuensi kumulatif “kurang dari” (“kurang dari” diambil terhadap tepi atas kelas).
2) frekuensi kumulatif “lebih dari” (“lebih dari” diambil terhadap tepi bawah kelas).

Baca Juga:   Statistika : Ukuran Penyebaran Data

teladan :
Dari tabel distribusi frekuensi berikut,

Tentukan :
a). Frekuensi kumulatif untuk interval 46 – 55 (kelas ke-4),
b). Frekuensi kumulatif lebih dari,
c). Frekuensi kumulatif kurang dari.
Penyelesaian :
a). Frekuensi relatif kelas ke-4
= $ \begin{align} \frac{\text{frekuensi kelas ke-}4}{\text{Total data}} \times 100 \% = \frac{10}{35} \times 100 \% = 28,57 \% \end{align} $ .

b). Frekuensi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas)
*). kelas ke-1 : 16 – 25 , tepi atas 25 + 0,5 = 25,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 25,5 merupakan 5
*). kelas ke-2 : 26 – 35 , tepi atas 35 + 0,5 = 35,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 35,5 merupakan 5 + 3 = 8
*). kelas ke-3 : 36 – 45 , tepi atas 45 + 0,5 = 45,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 45,5 merupakan 5 + 3 + 9 = 17
*). kelas ke-4 : 46 – 55 , tepi atas 55 + 0,5 = 55,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 55,5 merupakan 5 + 3 + 9 + 10 = 27
*). kelas ke-5 : 56 – 65 , tepi atas 65 + 0,5 = 65,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 65,5 merupakan 5 + 3 + 9 + 10 + 6 = 33
*). kelas ke-6 : 66 – 75 , tepi atas 75 + 0,5 = 75,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 75,5 merupakan 5 + 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 35

c). Frekuensi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah)
*). kelas ke-1 : 16 – 25 , tepi bawah 16 – 0,5 = 15,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 15,5 merupakan 5 + 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 35
*). kelas ke-2 : 26 – 35 , tepi bawah 26 – 0,5 = 25,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 25,5 merupakan 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 30
*). kelas ke-3 : 36 – 45 , tepi bawah 36 – 0,5 = 35,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 35,5 merupakan 9 + 10 + 6 + 2 = 27
*). kelas ke-4 : 46 – 55 , tepi bawah 46 – 0,5 = 45,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 45,5 merupakan 10 + 6 + 2 = 18
*). kelas ke-5 : 56 – 65 , tepi bawah 56 – 0,5 = 55,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 55,5 merupakan 6 + 2 = 8
*). kelas ke-6 : 66 – 75 , tepi bawah 66 – 0,5 = 65,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 65,5 merupakan 2

iv). Ogif (ogive)
       Grafik yang mengatakan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi yang besar, poligon memiliki kaya ruas garis patah yang mirip kurva sesampai kemudian poligon frekuensi kumulatif dibentuk mulus, yang jadinya disebut ogif.
Ada dua macam ogif, ialah sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Contoh :
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di bawah ini.

Gambarlah ogif naik dan ogif turun.
Penyelesaian :
*). Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari

*). Berikut diagram ogif (ogive) dari tabel di atas.