Statistika : Perubahan Data

Posted on

         Pondok Soal.comPerubahan Data kerap terjadi pada statistika, terutama yang berkaitan dengan pengukuran data menyerupai “ukuran pemusatan data“, “ukuran letak data“, dan “ukuran penyebaran data“. Perubahan data yang dimaksud merupakan setiap data yang ada nilainya dirubah dengan menambahkan, mengurangkan, mengalikan, atau membagi setiap data. Dengan kata lain setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu. Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi “Statistika Secara Umum“.

Perubahan Data secara tak beraturan
       Perubahan data secara tak beraturan yang dimaksud merupakan setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu yang berbeda-beda setiap datumnya. Untuk perubahan data secara tak beraturan, biasanya ada kaitannya dengan barisan dan deret aritmetika atau geometri, terutama yang berkaitan dengan jumlah $ n $ suku pertamanya.
Rumus dasar jumlah $ n $ suku pertama deret :
Deret aritmetika : $ \begin{align} s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda, $ b = u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = …. $
Deret Geometri : $ \begin{align} s_n = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio, $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = …. $

Contoh :
1). Diketahui 10 data ulangan matematika $ x_1, x_2, x_3, …, x_{10} \, $ dengan rata-ratanya $ a $ . Jika data diubah menjadi $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, …. , \, $ tentukan nilai rata-rata gres dari data tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, …, x_{10} \, $ merupakan $ a $
$ \begin{align} \overline{x} & = a \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ … +x_{10}}{10} & = a \, \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, …. , \, $ dengan memakai pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+ … . +(x_{10} + …) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ … +x_{10})+(1 + 3 + 5 + 7 +…) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ … +x_{10})}{10} + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +…) }{10} \\ & = a + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +…) }{10} \\ & = a + \frac{s_{10} \, \text{ deret aritmetika} }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{10}{2}(2.1 + (10-1).2) }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{\not{10}}{2}(2 + 9.2) }{\not{10}} \\ & = a + \frac{1}{2}(2 + 18) \\ & = a + \frac{1}{2}(20) \\ & = a + 10 \end{align} $
Jadi, rata-rata gres data tersebut merupakan $ a + 10 $

Baca Juga:   Statistika : Ukuran Letak Data

2). Suatu data yang terdiri dari 6 datum $ x_1, x_2, …x_6 \, $ memiliki rata-rata $ b \, $ . Jika setiap data diubah menjadi $ x_1 – 1, x_2 – 2, x_3 – 4, …, x_6 – 32 \, $ , tentukan rata-rata barunya !
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, …, x_6 \, $ merupakan $ b $
$ \begin{align} \overline{x} & = b \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ … +x_6}{6} & = b \, \, \, \, \, \text{….pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 – 1, x_2 – 2, x_3 – 4, …, x_6 – 32 \, $ dengan memakai pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1-1)+(x_2-2)+(x_3-4)+ … . +(x_6 -32) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ … +x_6)+((-1) + (-2) + (-4) +… + (-32)) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ … +x_6)}{6} + \frac{-(1 + 2 + 4 +…+32) }{6} \\ & = b – \frac{(1 + 2 + 4 +…+32) }{6} \\ & = b – \frac{s_{6} \, \text{ deret geometri} }{6} \\ & = b – \frac{ \frac{1(2^6 – 1)}{2-1} }{6} \\ & = b – \frac{ \frac{(64 – 1)}{1} }{6} \\ & = b – \frac{63}{6} \\ & = b – 10\frac{1}{2} \\ & = b – 10,5 \end{align} $
Jadi, rata-rata gres data tersebut merupakan $ b – 10,5 $

Perubahan Data secara beraturan
       Perubahan data secara beraturan yang dimaksud merupakan setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu yang sama setiap datumnya. Untuk perubahan data secara beraturan, pengerjaannya biasanya lebih mudah.

Menyelesaikan perubahan data secara beraturan :
       Untuk perubahan data secara beraturan, pengukuran data kita bagi menjadi dua yaitu yang pertama ukuran pemusatan dan ukuran letak data, dan yang kedua ukuran penyebaran.
$\clubsuit $ Pengukuran pertama : ukuran pemusatan dan letak data yang terdiri dari Mean (rata-rata), modus, median, kuartil, desil, dan persentil.
Untuk pengukuran jenis pertama ini, nilanya berubah untuk semua jenis operasi($+,-,\times , :$).
$\clubsuit $ Pengukuran kedua : ukuran penyebaran yang terdiri dari jangkauan, simpangan, dan ragam.
Untuk pengukuran jenis kedua ini, nilainya berubah hanya untuk operasi persobat semua ($\times$) dan pembagian ($:$).
Untuk Caranya : NGIKUT SOAL.

Baca Juga:   Statistika : Ukuran Penyebaran Data

Berikut tabel ringkas perubahan data untuk semua jenis pengukuran :

Kasus khusus Perubahan Data secara beraturan
       Misalkan ada suatu data yang terdapat rata-rata $ p, \, $ mediannya $ q, \, $ jangkauannya $ r . \, $ Kemudian setiap nilai pada data diubah menyerupai berikut, sesudah itu kita akan memilih rata-rata barun, median baru, dan jangkauan baru.
*). Pertaman data dubah dengan setiap nilai (datum) ditambahkan $ a \, $ , maka diperoleh :
Rata-rata gres = $ p + a $
Median gres = $ q + a $
Jangkauan gres = $ r $
Sedangkan jangkauannya tetap alasannya yaitu ukuran penyebaran hanya berubah untuk operasi persobat semua dan pembagian.

*). Kedua data diubah dengan setiap datum dikurangkan $ a \, $ lalu alhasil dikalikan $ b $ . Kita peroleh :
Operasinya dikurang dahulu gres dikali (ngikut soal),
Rata-rata gres = $ (p – a) \times b $
Median gres = $ (q – a) \times b $
Jangkauan gres = $ r \times b \ , $ (yang kuat hanya persobat semua dan pembagian).

*). Ketiga data diubah dengan setiap datum ditambah $ a, \, $ lalu dikali $ b , \, $ dan selanjutnya dibagi $ c \, $ , kita peroleh :
Operasinya ditambah dahulu, lalu dikali, dan terakhir dibagi.
Rata-rata gres = $ [(p + a) \times b ] : c $
Median gres = $ [(q + a) \times b ] : c $
Jangkauan gres = $ (r \times b ) : c \, $ (yang kuat hanya persobat semua dan pembagian).
Begitu seterusnya, catatan penting yang diingat merupakan caranya NGIKUT SOAL, maksudnya operasinya mengikut perintah pada soal.

Contoh :
1). Diketahui suatu data terdapat rata-rata 6 dan jangkauan 9. Jika setiap data ditambahkan 2 dan alhasil dikalikan dengan 5, tentukan nilai rata-rata dan jangkauan gres yang terbentuk.!
Penyelesaian :
*). Ingat, rata-rata akan berubah untuk semua operasi.
Rata-rata gres = $ (\text{rata-rata awal } + 2) \times 5 = (6 + 2) \times 5 = 8 \times 5 = 40 $
*). Ingat, jangkauan hanya berubah untuk operasi persobat semua dan pembagian.
Jangkauan gres = $ \text{jangkauan awal } \times 5 = 9 \times 5 = 45 $

Baca Juga:   Statistika Secara Umum

2). Suatu data terdapat rata-rata 3, mediannya 9, modusnya 7, kuartil pertamanya 2, jangkauannya 15, dan simpangan rata-ratanya 5. Kemudian setiap data dikalikan -2, selanjutnya ditambahkan 8, dan selanjutnya dibagi 4. Tentukan semua nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, jangkauan, dan simpangan rata-rata barunya!
Penyelesaian :
Operasinya : kali -2, lalu ditambahkan 8, dan dibagi 4.
*). Ingat, ukuran pemusatan dan ukuran letak data berubah untuk semua operasi.
Rata-rata gres = $ [(3 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 2 : 4 = \frac{1}{2} $
Median gres = $ [(9 \times (-2)) + 8 ] : 4 = (-10) : 4 = -\frac{5}{2} $
Kuartil pertama gres = $ [(2 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 4 : 4 = 1 $
*). Ingat, ukuran penyebaran data berubah untuk operasi persobat semua dan pembagian.
Jangkauan gres = $ (15 \times (-2)) : 4 = (-30) : 4 = – \frac{15}{2} $
Simpangan rata-rata gres = $ (5 \times (-2)) : 4 = (-10) : 4 = – \frac{5}{2} $

3). Suatu data terdapat rata-rata 5 dan jangkauan 3. Setiap data dikalikan $ y \, $ lalu alhasil dikurangkan dengan $ x $ , diperoleh rata-rata barunya 10 dan jangkauan barunya 9. Tentukan nilai $ x + y $ ?
Penyelesaian :
*). Permisalan nilai pengukurannya :
$ \overline{x}_{awal} = \, $ rata-rata awal, $ \overline{x}_{awal} = 5 $
$ \overline{x}_{baru} = \, $ rata-rata gres , $ \overline{x}_{baru} = 10 $
$ j_{awal} = \, $ jangkauan awal, $ j_{awal} = 3 $
$ j_{baru} = \, $ jangkauan baru, $ j_{baru} = 9 $
*). Menyusun persamaan dari perubahan data,
Operasinya : dikali $ y \, $ lalu dikurangkan $ x $
Rata-rata : $ \overline{x}_{baru} = ( \overline{x}_{awal} \times y) – x $
$ 10 = 5y – x \, $ ….pers(i)
Jankauan : $ j_{baru} = j_{awal} \times y $
$ 9 = 3y \rightarrow y = \frac{9}{3} \rightarrow y = 3 $
Pers(i) : $ 10 = 5y – x \rightarrow 10 = 5 \times 3 – x \rightarrow x = 15 – 10 = 5 $
Sesampai lalu nilai $ x + y = 5 + 3 = 8 $
Jadi, nilai $ x + y = 8 $.