Statistika : Ukuran Letak Data

Posted on

         Pondok Soal.com – Selain Ukuran Pemusatan Data, pada pengukuran statistika juga ada Ukuran Letak Data. Suatu data tak hanya sanggup kita bagi menjadi dua cuilan yang sama (median), tenamun sanggup kita bagi menjadi empat, sepuluh , dan bahkan seratus cuilan yang sama. Pada bahan ukuran letak data, kita akan mempelajari kuartil, desil, dan persentil. Untuk memilih nilai ukuran letak data, data harus kita urutkan dahulu dari nilai yang terkecil ke datum yang nilainya lebih besar. Sebelum membaca wacana ukuran letak data, sebaiknya kita baca dahulu bahan “Statistika Secara Umum” dan “Statistika : Penyajian Data“.

Kuartil (data dibagi menjadi empat)
       Kuartil merupakan nilai pembatas yang membagi data terurut menjadi empat cuilan yang sama. Kuartil terdiri dari tiga jenis ialah kuartil pertama ($Q_1$) yang disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua ($Q_2$) yang disebut juga median atau nilai tengah, dan kuartil ketiga ($Q_3$) yang disebut juga kuartil atas.

Keterangan :
$ X_{min} = \, $ data terkecil, $ X_{maks} = \, $ data terbesar,
$ Q_1 = \, $ kuartil ke-1, $ Q_2 = \, $ kuartil ke-2, $ Q_3 = \, $ kuartil ke-3.

$\spadesuit $ Kuartil Data Tunggal
       Untuk memilih nilai kuartil suatu data tunggal, kita gunakan rumus :

       $ \begin{align} \text{Letak } \, Q_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{4}(n+1)\right) \text{ atau } Q_i = X_{\frac{i}{4}(n+1)} \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, $ dan $ n \, $ merupakan kaya datum(kaya nilai).

Artinya sanggup dijabarkan sebagai berikut :
kuartil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} Q_1 = X_{\frac{1}{4}(n+1)} \end{align} $
kuartil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} Q_2 = X_{\frac{2}{4}(n+1)} \end{align} $
kuartil ke-3 : $ i = 3 \rightarrow \begin{align} Q_3 = X_{\frac{3}{4}(n+1)} \end{align} $

Contoh :
1). Data siswa yang memperoleh nilai 10 untuk ulangan matematika
selama 16 kali, ialah 9, 5, 8, 5, 7, 8, 6, 7, 5, 8, 6, 6, 6, 6, 7, 9.
Tentukan nilai kuartilnya!
Penyelesaian :
*). Langkah-langkah menetukan kuartilnya :
i) Untuk memilih nilai-nilai kuartil dari kumpulan data, langkah pertama yang harus Anda lakukan merupakan mengurutkan data tersebut.
ii) Kemudian, kuartil kedua ($Q_2$) ditentukan dengan membagi data menjadi dua cuilan yang sama.
iii) Kuartil pertama ($Q_1$) ditentukan dengan membagi data di bawah $Q_2$ menjadi dua cuilan yang sama.
iv) Kuartil ketiga ($Q_3$) ditentukan dengan membagi data di atas $Q_2$ menjadi dua cuilan yang sama.
Data diurutkan menjadi: $x_1, x_2, x_3, …, x_{16}$, yaitu:

*). Menetukan kuartilnya :
$ Q_1 = \frac{6+6}{2} = 6 $
$ Q_2 = \frac{6+7}{2} = 6,5 $
$ Q_3 = \frac{8+8}{2} = 8 $
Jadi, diperoleh nilai $ Q_1 = 6, \, Q_2 = 6,5 , \, $ dan $ Q_3 = 8 $

Cara II : Menggunakan rumus letak kuartil ,
$ \begin{align} Q_1 & = X_{\frac{1}{4}(n+1)} = X_{\frac{1}{4}(16+1)} = X_{4,25} \\ Q_1 & = x_4 + 0,25(x_5 – x_4) \\ & = 6 + 0,25(6-6) = 6 + 0 = 6 \\ Q_2 & = X_{\frac{2}{4}(n+1)} = X_{\frac{2}{4}(16+1)} = X_{8,5} \\ Q_2 & = x_8 + 0,5(x_9 – x_8) \\ & = 6 + 0,5(7-6) = 6 + 0,5 = 6,5 \\ Q_3 & = X_{\frac{3}{4}(n+1)} = X_{\frac{3}{4}(16+1)} = X_{12,75} \\ Q_3 & = x_{12} + 0,75(x_{13} – x_{12}) \\ & = 8 + 0,75(8-8) = 8 + 0 = 8 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ Q_1 = 6, \, Q_2 = 6,5 , \, $ dan $ Q_3 = 8 $

$\spadesuit $ Kuartil Data Berkelompok

       Langkah-langkah memilih kuartil berkelompok :
1). Tentukan letak kuartil (kelas kuartil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} Q_i = \text{data ke-} \frac{i}{4}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, $ dan $ n \, $ merupakan kaya datum(total frekuensi).
2). Hitung kuartil dengan rumus :
              $ \begin{align} Q_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{4}n – Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $

Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas kuartil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas kuatril ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } – \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } – \text{ batas bawah} + 1 )$

Baca Juga:   Statistika : Penyajian Data

Rumus kuartil sanggup dijabarkan sebagai berikut :
kuartil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} Q_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{4}n – Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
kuartil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} Q_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{4}n – Fks_2}{f_2} \right)p = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{1}{2}n – Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
kuartil ke-3 : $ i = 3 \rightarrow \begin{align} Q_3 = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{4}n – Fks_3}{f_3} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan $Q_1$ (kuartil bawah), $Q_2$ (median), dan $Q_3$ (kuartil atas) dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian :
*). Menentukan frekuensi kumulatifnya.

total frekuensinya 40 ($n = 40$).
*).Menentukan letak kuartil dan nilai kuartilnya :
*). Letak $ Q_1 $ = data ke- $ \left[\frac{1}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{1}{4}(40+1) \right] $ = data ke-10,25
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_1 $ terletak pada kelas ke-3 ialah interval 60 – 69.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_1 = 60 – 0,5 = 59,5 $
$ Fks_1 = 4 + 5 = 9 $
$ f_1 = 14 \, , \, $ dan $ p = 69 – 60 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_1 & = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{4}n – Fks_1}{f_1} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{4}.40 – 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{10 – 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{1}{14} \right).10 = 59,5 + 0,714 = 60,214 \end{align} $

*). Letak $ Q_2 $ = data ke- $ \left[\frac{2}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{1}{2}(40+1) \right] $ = data ke-20,5
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_2 $ terletak pada kelas ke-3 ialah interval 60 – 69.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_2 = 60 – 0,5 = 59,5 $
$ Fks_2 = 4 + 5 = 9 $
$ f_2 = 14 \, , \, $ dan $ p = 69 – 60 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_2 & = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{4}n – Fks_2}{f_2} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 – 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{20 – 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{11}{14} \right).10 = 59,5 + 7,857 = 67,357 \end{align} $

*). Letak $ Q_3 $ = data ke- $ \left[\frac{3}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{3}{4}(40+1) \right] $ = data ke-30,75
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_3 $ terletak pada kelas ke-4 ialah interval 70 – 79.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_1 = 70 – 0,5 = 69,5 $
$ Fks_3 = 4 + 5 + 14 = 23 $
$ f_3 = 10 \, , \, $ dan $ p = 79 – 70 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_3 & = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{4}n – Fks_3}{f_3} \right)p = 69,5 + \left( \frac{\frac{3}{4}.40 – 23}{10} \right).10 \\ & = 69,5 + \left( \frac{30 – 23}{10} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{7}{10} \right).10 = 69,5 + 7 = 76,5 \end{align} $
Jadi, diperoleh $ Q_1 = 60,214 ; \, Q_2 = 67,357 ; \, $ dan $ Q_3 = 76,5 $

Desil (Data dibagi menjadi 10 bagian)
       Desil merupakan nilai pembatas yang membagi data terurut menjadi sepuluh cuilan yang sama. Desil terdiri dari sembilan jenis, ialah desil pertama ($D_1$), desil kedua ($D_2$), dan seterusnya hingga desil sembilan ($D_9$).

Keterangan :
$ X_{min} = \, $ data terkecil, $ X_{maks} = \, $ data terbesar,
$ D_1 = \, $ Desil ke-1, $ D_2 = \, $ Desil ke-2, dan seterusnya $ D_9 = \, $ Desil ke-3.

Baca Juga:   Menentukan Frekuensi Interval Kelas Data Berkelompok

$\clubsuit $ Desil Data Tunggal
       Letak desil data tunggal memakai cara di atas.

Contoh :
Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.
47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45
Penyelesaian :
Data sehabis diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47.
Banyak data merupakan $ n = 13$.
$ \begin{align} \text{Rumus : } \, D_i & = X_{\frac{i}{10}(n+1)} \\ D_1 & = X_{\frac{1}{10}(13+1)} \\ & = X_{1,4} \\ & = x_1 + 0,4 (x_2 – x_1) \\ & = 33 + 0,4 (35 – 33) \\ & = 33 + 0,4 (2) \\ & = 33 + 0,8 \\ & = 33,8 \\ D_5 & = X_{\frac{5}{10}(13+1)} \\ & = X_{7} \\ & = 40 \end{align} $
Jadi, nilai desil ke-1 merupakan 33,8 dan desil ke-5 merupakan 40.

$\clubsuit $ Desil Data Berkelompok

       Langkah-langkah memilih Desil berkelompok :
1). Tentukan letak Desil (kelas desil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} D_i = \text{data ke-} \frac{i}{10}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3, \, …, 9$ dan $ n \, $ merupakan kaya datum(total frekuensi).
2). Hitung desil dengan rumus :
              $ \begin{align} D_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{10}n – Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $

Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas desil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas desil ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3, …,9 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } – \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } – \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus desil sanggup dijabarkan sebagai berikut :
Desil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} D_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{10}n – Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
Desil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} D_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{10}n – Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
dan seterusnya ……………,
Desil ke-9 : $ i = 9 \rightarrow \begin{align} D_9 = Tb_{9} + \left( \frac{\frac{9}{10}n – Fks_9}{f_9} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel berikut ini :

Penyelsaian :
*).Menentukan letak Desil ketiganya:
total frekuensinya 40 ($n=40$).
*). Letak $ D_3 $ = data ke- $ \left[\frac{3}{10}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{3}{10}(40+1) \right] $ = data ke-12,3
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ D_3 $ terletak pada kelas ke-3 ialah interval 51 – 60.
(sebab kelas 51 – 60 memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_3 = 51 – 0,5 = 50,5 $
$ Fks_3 = 5 + 3 = 8 $
$ f_3 = 5 \, , \, $ dan $ p = 60 – 51 + 1 = 10 $
$ \begin{align} D_3 & = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{10}n – Fks_3}{f_3} \right)p = 50,5 + \left( \frac{\frac{3}{10}.40 – 8}{5} \right).10 \\ & = 50,5 + \left( \frac{12 – 8}{5} \right).10 = 50,5 + \left( \frac{4}{5} \right).10 = 50,5 + 8 = 58,5 \end{align} $
Jadi, nilai desil ketiganya merupakan 58,5.

Persentil (Data dibagi menjadi 100 bagian)
       Jika data dibagi menjadi 100 cuilan yang sama, maka ukuran itu disebut persentil. Persentil terdiri dari 99 jenis, ialah persentil pertama ($P_1$), persentil kedua ($P_2$), dan seterusnya hingga persentil sembilan puluh sembilan ($P_{99}$).

$\spadesuit $ Persentil Data Tunggal
       Untuk memilih nilai persentil suatu data tunggal, kita gunakan rumus :

       $ \begin{align} \text{Letak } \, P_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{100}(n+1)\right) \text{ atau } P_i = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, … , 99 $ dan $ n \, $ merupakan kaya datum(total frekuensi).

Artinya sanggup dijabarkan sebagai berikut :
Persentil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} P_1 = X_{\frac{1}{100}(n+1)} \end{align} $
Persentil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} P_2 = X_{\frac{2}{100}(n+1)} \end{align} $
dan seterusnya , ………
Persentil ke-99 : $ i = 99 \rightarrow \begin{align} P_{99} = X_{\frac{99}{100}(n+1)} \end{align} $

Baca Juga:   Statistika Secara Umum

Contoh :
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian :
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
ada 10 data ($n=10$)
*). Letak persentil ke-30 dan nilainya :
$\begin{align} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \\ P_{30} & = X_{\frac{30}{100}(10+1)} \\ & = X_{3,3} \\ & = x_3 + 0,3 (x_4 – x_3) \\ & = 5 + 0,3 (6 – 5) \\ & = 5 + 0,3 \\ & = 5,3 \end{align} $
*). Letak persentil ke-75 dan nilainya :
$\begin{align} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \\ P_{75} & = X_{\frac{75}{100}(10+1)} \\ & = X_{8,25} \\ & = x_8 + 0,25 (x_9 – x_8) \\ & = 9 + 0,25 (10 – 9) \\ & = 9 + 0,25 \\ & = 9,25 \end{align} $
Jadi, nilai persentil ke-30 merupakan 5,3 dan desil ke-75 merupakan 9,25.

$\spadesuit $ Persentil Data Berkelompok

       Langkah-langkah memilih Persentil berkelompok :
1). Tentukan letak Persentil (kelas persentil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} P_i = \text{data ke-} \frac{i}{100}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3, \, …, 99$ dan $ n \, $ merupakan kaya datum(total frekuensi).
2). Hitung desil dengan rumus :
              $ \begin{align} P_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{100}n – Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $

Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas persentil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas persentil ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3, …,99 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } – \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } – \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus persentil sanggup dijabarkan sebagai berikut :
Persentil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} P_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{100}n – Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
Persentil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} P_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{100}n – Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
dan seterusnya ……………,
Persentil ke-99 : $ i = 99 \rightarrow \begin{align} P_{99} = Tb_{99} + \left( \frac{\frac{99}{100}n – Fks_{99}}{f_{99}} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan nilai persentil ke-60 dari data pada Tabel berikut ini :

Penyelsaian :
*).Menentukan letak persentil ke-60 :
total frekuensinya 40 ($n=40$).
*). Letak $ P_{60} $ = data ke- $ \left[\frac{60}{100}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{60}{100}(40+1) \right] $ = data ke-24,6
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ P_{60} $ terletak pada kelas ke-3 ialah interval 51 – 55.
(sebab kelas 51 – 55 memuat data ke-10, 11, 12, 13, …, 25).
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_{60} = 51 – 0,5 = 50,5 $
$ Fks_{60} = 3 + 6 = 9 $
$ f_{60} = 16 \, , \, $ dan $ p = 55 – 51 + 1 = 5 $
$ \begin{align} P_{60} & = Tb_{60} + \left( \frac{\frac{60}{100}n – Fks_{60}}{f_{60}} \right)p = 50,5 + \left( \frac{\frac{60}{100}.40 – 9}{16} \right).5 \\ & = 50,5 + \left( \frac{24 – 9}{16} \right).5 = 50,5 + \left( \frac{15}{16} \right).5 = 50,5 + 4,6875 = 55,1875 \end{align} $
Jadi, nilai persentil ke-60 merupakan 55,1875.